勾股定理及应用(含解答)讲解

1、勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为 c，那么 a2 b2 = c 2 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（ 1）注意勾股定理的使用条件： 只对直角三角形适用， 而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（ 2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（ 3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长即c2 = a 2b2， a2= c 2 b2，b2= c 2 a2点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证， 依据是对图形经过割

2、补、拼接后面积不变的原理如，利用四个如图1 所示的直角三角形三角形，拼出如图2 所示的三个图形请读者证明如上图示，在图（ 1）中，利用图 1 边长为 a，b，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（ 1）中的小正方形的边长为（ba），面积为（ ba）2，四个直角三1角形的面积为 4×ab = 2ab 由图（ 1）可知，大正方形的面积 = 四个直角三角形的面积小正方形的的面积，即 c2 = （ba）2 2ab，则 a2 b2 = c 2 问题得证请同学们自己证明图（ 2）、（ 3）点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题第一

3、步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点点击四：直角三角形边与面积的关系及应用- 1 -直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系. 设 a 、 b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边， S 为面积，于是有：( a b) 2a22abb2 ， a2b2c2 ， 2ab41 ab 4S ，1 (a b)22所以 (a b)2c24S .即Sc2 .4也就是说，直角三

4、角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一. 利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便.点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式如图 2，在 RtABC 中 ,C900 , A、 B、 C的对边分别为 a、b、c,则 c2=a2+b2, a 2 =c2-b 2 , b2=c2-a 2,点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；（3）用于推导线段平方关系的问题等（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2 、3 、5 的点，即作出长为n 的线段针对练习 :1下列说法正确的是（）A若 a、 b、c

5、是 ABC的三边，则 a2 b2c2若 a、 b、c 是Rt ABC的三边，则 a2b2 c2AB若 a、 b、c 是Rt ABC的三边，A2 b2c2C90 ，则 a若 a、 b、c 是Rt ABC的三边，C2b2c2D90 ，则 aC2一个直角三角形中，两直角边长分别为3 和 4，下列说法正确的是（）BA斜边长为 25B三角形周长为 25C斜边长为 5D三角形面积为 203如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A0B1C2D34如图，数轴上的点 A 所表示的数为 x，则 x 210 的立方根为（）1-2A-101- 2 -A 2-10

6、 B -2-10 C 2D-25把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2 倍，则斜边扩大到原来的（）A2倍B4 倍C6倍D8 倍6小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开 5 m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A 8cmB 10cmC 12cmD 14cm7ABC中， AB15，AC ，高 AD ，则 ABC的周长为（）1312A 42B 32C42 或 32D37 或 338如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c ，若 a， c 的面积分别为 5 和 11，则 b 的面积为（）（） 4（） 6（） 16（） 55bacl9. 已知直

7、角三角形的周长为 2 7 ，斜边上的中线为 1，求它的面积 .10. 直角三角形的面积为 120，斜边长为 26，求它的周长 .11. 如图，在 Rt ABC中， ACB=90°， CDAB于 D，AB=13cm，AC于 BC之和等于17cm，求 CD的长 .类型之一：勾股定理例 1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和 5cm，那么这个直角三角形的面积是cm2解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可根据勾股定理公式的变形，可求得解：由勾股定理，得13252=144，所以另一条直角边的长为12所以这个直角三角形的面积

8、是1×12×5 = 3022（cm）类型之二：在数轴上表示无理数例 3：在数轴上作出表示 10的点- 3 -解析：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把10 视为直角三角形斜边的长，再确定出两直角边的长度后即可在数轴上作出解：以10 为斜边的直角三角形的两直角边可以是3 和 1，所以需在数轴上找出两段分别长为 3 和 1 的线段，如图所示，然后即可确定斜边长， 再用圆规在数轴上作出长为10 的线段即可下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用例 5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的设其中的第一个直角三角形

9、 OA1A2 是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3 =A3A4= =A8A9=1，请你先把图中其它 8 条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8 条线段的长的乘积OA1OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA8解：2；3；2；5；6；7；22；3；这 8条线段的长的乘积是 7270例 6：2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短直角边为 a，较长直角边为 b，那么 ab 2 的值为（）（A）1

10、3（B）19（C）25（D）169解析：由勾股定理，结合题意得a2+b2=13.2由题意，得(b-a)=1.22由，得a+b -2ab =1 .把代入，得13-2ab=1 2ab=12. (a+b) 2 = a 2+b2+2ab =13+12=25.因此，选 C.类型之四：勾股定理的应用（一）求边长- 4 -例 1： 已知：如图，在 ABC中， ACB90o， AB5cm，BC3cm，CDAB于 D，求CD的长 .（二）求面积（三）作线段例3作长为、的线段解析：作法： 1作直角边长为 1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；2以斜边 AB为一直角边，作另一直角边长为1 的直角三角形 ABB

11、1；3顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2 B3，这时斜边 AB、AB1、AB2 、AB3 的长度就是、证明：根据勾股定理，在RtACB中，AB>0，AB=其他同理可证点评由勾股定理，直角边长为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边长为、1 的直角三角形的斜边长就是类似地也可作出；将上图无限地向两个方向画下去就可得到“勾股树”，请你试试看（四）证明平方关系例 4： 已知：如图，在 ABC 中， EC 90， AD 是 BC 边上的中线， DEAB 于E ，求证： AC 2AE 2BE2.EB解析：根据勾股定理，在 Rt ACD 中， AC 2AD 2CD 2，D在 Rt ADE

12、 中， AD 2AE 2DE 2 ，在 Rt BDE 中，ACDE 2BD 2BE2， AC2AE 2DE 2CD 2AE 2BD 2BE 2CD 2.又 BD CD ， AC2AE 2BE 2.- 5 -点评证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.（五）实际应用一、选择题1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、 4、 6、8、10、12（单位： cm），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（）（A）2、4、8（B）4、8、10（C）6、8、10（D）8、10、122

13、、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（）A.25 ，48，80 B15， 17，62C25， 59，74D 32，60，683、如果直角三角形的三条边2，4，a，那么 a 的取值可以有（）（A）0 个（B）1 个（C）2 个（D）3 个4、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是 2 厘米，则斜边的长是（）（A）2 厘米（ B）4 厘米（ C）6 厘米（ D）8 厘米5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S1 、S2、S3 ，则 S1 、S2 、S3 之间的关系是（）（A）S1 +S2 >S3（B）S1

14、 +S2 <S3（C）S +S2=S（D）S 2 +S2 =S213123二、填空题1、若直角三角形斜边长为6，则这个三角形斜边上的中线长为 _.2、如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm和 12cm，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于cm3、如图， CD是 RtABC斜边 AB上的中线，若 CD=4，则 AB=4、在 ABC中， A： B： C1：2：3已知 BC3cm，则 ABcm5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心 A和 B 的距离为.- 6 -CADB60A8 米02B012 米C6140第 5题图8 米第 6题图6

15、、如图：有两棵树，一棵高8 米，另一棵高 2 米，两树相距 8 米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米三、解答题一、选择题1、如图，字母 A 所代表的的正方形的面积为（数字表示该正方形的面积）（）A、 13B、85C、 8D、都不对2、在 RtABC中，有两边的长分别为3 和 4，则第三边的长（）A、 5B、 7C、5或 7D、5 或 113、等腰三角形底边上的高是 8，周长是 32，则三角形的面积是（）A、 56B、48C、 40D、324、若线段 a、b、 c 能构成直角三角形，则它们的比为（）A、 2:3:4B、 3:4:6C、5:12:13D、4:6:75、一个长方形

16、的长是宽的2 倍，其对角线的长是5cm，则长方形的面积（）A、5cm2B、 25cm2C、10cm2、2D 75cm6、一个三角形三个内角之比为1： 2： 1，其相对应三边之比为（）A、 1:2:1B、1:2 : 1C、1:4:1D、12:1:27、斜边长 25，一条直角边长为7 的直角三角形面积为（）A、 81B、82C、 83D、848、若直角三角形中， 有一个锐角为 30 ，且斜边与较短直角边之和为18，则斜边长为 （）A、 4cmB、6cmC、 8cmD、12cm9、如图 ABC中， C90°， AD平分 BAC， DEAB于 E，下面等式错误的是（）- 7 -222222A

17、、 AC+DC=ADB、 ADDEAE2222212C、 AD=DE+ACD、 BD BE4BC10. 图是 2002 年 8 月北京第 24 届国际数学家大会会标， 由 4 个全等的直角三角形拼合而成 .若图中大小正方形面积分别是62 1 和 4，则直角三角形的两条直角边长分别为（）2A、6，4B、62 1 ， 4C、62 1 ，4 1D、6， 4 12222二、填空：1、在 ABC中， C90°， a，b，c 分别为 A B C的对边（1）若 a=6，c=10 则 b=（2）若 a=12， b=5则 c=（3）若 c=25， b=15 则 a=（4）若 a16，b=34 则 b=

18、2、三边长分别为1， 1， 1 的三角形是角三角形 .3、在 ABC中， AB=10， AC=8， BC=6，则 ABC的面积是4、如图点 C 是以为 AB直径的半圆上的一点，ACB90 , AC3, BC4 则图中阴影部分的面积是6、在 RtABC中，C90 , AB : AC5 : 3 且 BC=136则 AC=7、直角三角形的一直角边为8cm，斜边为 10cm，则这个直角三角形的面积是斜边上的高为8、 ABC中，C90 ,a30 则 a:b:c=9、三角形三个内角之比为1：2：3，它的最长边为a，那么以其余两边为边所作的正方形面积分别为10、有两根木条，长分别为60cm 和 80cm，现

19、再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条 x 长度的取值范围三解答题- 8 -1、如如图要建一个苗圃，它的宽是 a=4.8 厘米，高 b=3.6 米. 苗圃总长是 10 米（1）求苗圃的占地面积（2）覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米?2、如图在四边形ABCD中， BAD 90 , CBD90 , AD 4, AB 3, BC 12 求正方形 DCEF的面积3、如图在锐角 ABC中，高 AD=12， AC=13，BC=14求 AB的长4、八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿插到离湖边1 米的水底，只见竹竿高出水面 1 尺，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变）竿顶和湖沿的水面刚好平齐

20、，求湖水的深度和竹竿的长5、如图己知在 ABC中，C90 ,B15 , DE 垂直平分 AB，E 为垂足交 BC于 D，BD=16cm，求 AC长6、某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园，如图ACB 90 , AC 80 米，BC=60米，若线段 CD为一条水渠，且 D在边 AB上，己知水渠的造价是10 元/ 米，则点 D在距 A点多远，水渠的造价最低，最低价是多少？- 9 -勾股定理及应用勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”例 1已知一直角三角形的斜边长是2，周长是 2+6 ，求这个三角形的面积分析 由斜边长是2，周长是2+6 ，易知两直角边的和

21、是6 ，又由勾股定理可知两直角边的平方和为4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握解：设直角三角形的两直角边为a、b，根据题意列方程得：a2b222 ,ab22 6即a2b24,ab6.式两边同时平方再减去式得：2ab=2， 1 ab= 1 22 S=1 2因此，这个三角形的面积为1 2练习 11已知：如图2-1 ，AD=4，CD=3， ADC=90°， AB=13， ACB=90°， ?求图形中阴影部分的面积CDAB2-12已知：长方形ABCD，AB CD，ADBC， AB=2， ADD

22、C，长方形 ABCD的面积为 S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长3若线段 a、b、c 能组成直角三角形，则它们的比值可以是（）A1：2：4B1：3：5C3：4：7D5：12：13-10-例 2如图 2-2 ，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、 C 重合， ?若其长BC为 a，宽 AB为 b，则折叠后不重合部分的面积是多少？分析 图形沿 EF折叠后 A、C 重合，可知四边形 AFED与四边形 CFED全等，则对应边、角相等， AF=FC，且 FC=AE，则 ABF ADE，?由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积解：图形沿 EF折叠后 A、

23、C 重合，四边形 AFED与 CFED关于 EF对称，则四边形 AFED四边形 CFED AFE= CFE AF=FC， D=D=B=90°AB=CD=AD2-2 ADBC， AEF= EFC AEF= AFE则 AE=AF RtABFRt AD E在 Rt ABF中， B=90°，AB2+BF2=AF2 设 BF=x，b2+x2=（a-x ） 2， x= a2b22a S=2S ABF=2×1bx=2×1·b·a2b2b( a2b2 )=222a2a练习 21如图 2-3 ，把矩形 ABCD沿直线 BD向上折叠，使点 C 落在 C的

24、位置上，已知 AB=?3，BC=7，重合部分 EBD的面积为 _2如图 2-4 ，一架长2.5m 的梯子，斜放在墙上，梯子的底部 B?2-3离墙脚 O?的距离是0.7m，当梯子的顶部 A 向下滑 0.4m 到 A时，梯子的底部向外移动多少米？-11-2-43 如图 2-5 ，长方形 ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使 C 点与 A 点重合， ?则折叠后痕迹 EF的长为（ ）A3.74B 3.75C 3.76D3.77例 3 试判断，三边长分别为 2n2+2n，2n+1，2n2 +2n+1（n 为正整数） ?的三角形是否是直角三角形？分析 先确定最大边， ?再利用勾股定理的判定定

25、理判断是否为直角三角形解： n 为正整数，（ 2n2 +2n+1）- （2n2 +2n）=2n2 +2n+1-2n2-2n=1>0 ，（ 2n2+2n+1） - （ 2n+1） =2n2+2n+1-2n-1=2n 2>0 2n2+2n+1 为三角形中的最大边又（ 2n2 +2n+1）2=4n4 +8n3+8n2+4n+1，（ 2n2+2n）2+（ 2n+1） 2=4n4+8n3+8n2+4n+1（ 2n2 +2n+1）2=（2n2+2n）2 +（ 2n+1） 2这个三角形是直角三角形练习 31若 ABC的三边 a、 b、c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则 AB

26、C是（）A等腰三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形12如图 2-6 ，在正方形 ABCD中，F 为 DC的中点， E 为 BC上一点，且 EC= BC，猜想 AF?与 EF的位置关系，并说明理由-12-2-6322） ABC中的三边分别是 m-1 ，2m， m+1（m>1），那么（A ABC是直角三角形，且斜边长为2m+1B ABC是直角三角形，且斜边长为2mC ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定D ABC不是直角三角形例 4 已知：如图 2-7 所示， ABC中， D是 AB的中点，若 AC=12，BC=5，CD=65求证： ABC是直角三角形分析 欲证 ABC是直角三角

27、形， 在已知两边 AC、BC的情况下求边 AB的长，比较困难；但注意到 CD是边 AB的中线，我们延长 CD到 E，使 DE=CD，?从而有 BDE? ADC，这样 AC、BC、2CD就作为 BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定证明：延长 CD到 E，使 DE=CD，连结 BE AD=BD，CD=ED， ADC=BDE ADC BDE（ SAS） BE=AC=12 A=DBE ACBE2-72222在 BCE中， BC+BE=5 +12 =16922）2CE =（2CD） =（2×6.5=169222BC+BE=CE EBC=90°又 ACBE， ACB=180° - EBC=90° A