勾股定理典型例题归类总结

1、。9. 已知Rt的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。ABC10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.(1) 如图，以Rt ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积S1、 S2、 S3 之间有何关系？并说明理由。（ 2）如图，以 Rt ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1 、 S2 、 S3 之间有何关系？（ 3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）题型二：利用勾股定理

2、测量长度例 1.如果梯子的底端离建筑物9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？跟踪练习：1. 如图（ 8），水池中离岸边D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.2. 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5 米，消防车的云梯最大升长为 13 米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A、12米B 、13米C、14米D、15米3. 如图，有两颗树，一颗高10 米，另一颗高 4 米，两树相距 8 米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞

3、行（）-可编辑修改 -。A、8米B、10米C、12米D、14米题型三：勾股定理和逆定理并用例 3.如图 3，正方形ABCD中， E 是 BC边上的中点， F 是 AB上一点，且FB1 AB 那么 DEF是直角三4角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。跟踪练习：1. 如图，正方形 ABCD中， E 为 BC边的中点， F 点 CD边上一点，且 DF=3CF，求证： AEF=90°题型四：利用勾股定理求线段长度例 1. 如图 4，已知长方形 ABCD中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD上取一点 E，将 ADE折叠使点 D 恰好落在 BC边上的点F，

4、求 CE的长 .跟踪练习：1. 如图，将一个有45 度角的三角板顶点C 放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点B 在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板的最大边AB的长 .2. 如图，在 ABC中， AB=BC， ABC=90°， D 为 AC 的中点， DEDF，交 AB 于 E，交 BC于 F，（ 1）求证：BE=CF;（ 2）若 AE=3， CF=1，求 EF 的长 .-可编辑修改 -。3. 如图， CA=CB,CD=CE, ACB= ECD=90°,D 为 AB 边上的一点 . 若 AD=1， BD=3，求 C

5、D的长 .题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例 1.有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5 米的墙上，任何东西只要移至5 米以内，灯就自动打开，一个身高1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？跟踪练习：1. 如图，每个小正方形的边长都是1，ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断 ABC的形状，并说明理由 . （ 1）求证： ABD=90°（ 2）求的值2. 下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（）A、 9， 12，15B、7,24,25C、D、，-可编辑修改 -。3. 在 ABC中，下列说法 B= C- A； A: B: C=3：4：5； a

6、:b:c=5:4:3；：=1:2:3 ，其中能判断ABC为直角三角形的条件有（）A、2个B、3个C、4个D、5个4. 在 ABC中， A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c. 判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？（ 1） a=26， b=10， c=24; （ 2）a=5， b=7， c=9; （3） a=2，A、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个5.已知 ABC的三边长为 a、b、 c，且满足，则此时三角形一定是（）A、等腰三角形B 、直角三角形C 、等腰直角三角形D 、锐角三角形6.在 ABC中，若 a= n 21， b=2n，c= n21，则 ABC是（）A、

7、锐角三角形B 、钝角三角形C 、等腰三角形D、直角三角形7.如图，正方形网格中的ABC是（）A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形8. 已知在 ABC中， A、 B、 C的对边分别是a、 b、 c，下列说法中，错误的是（）A、如果 C- B= A, 那么 C=90° B、如果 C=90°，那么C、如果（ a+b）（ a-b ） =，那么 A=90° D 、如果 A=30°，那么 AC=2BC9. 已知 ABC的三边分别为a， b， c，且 a+b=3， ab=1，求的值，试判断ABC的形状，并说明理由10. 观察下列各式：，

8、 ，根据其中规律，写出下一个式子为_11. 已知， m n， m、n 为正整数，以， 2mn，为边的三角形是_三角形 .12. 一个直角三角形的三边分别为 n+1，n-1 ，8，其中 n+1 是最大边， 当 n 为多少时， 三角形为直角三角形？题型六：旋转问题：例题 6.如图， P 是等边三角形ABC内一点， PA=2,PB=23 ,PC=4, 求 ABC的边长 .跟踪练习1. 如图， ABC为等腰直角三角形， BAC=90°，E、F 是 BC上的点，且 EAF=45°，试探究 BE 2、 CF 2、 EF 2-可编辑修改 -。间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题

9、 7. 如图，矩形纸片 ABCD的边 AB=10cm，BC=6cm，E 为 BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点 B 恰好落在 CD边上的点 G处，求 BE的长 .跟踪练习1. 如图， AD是 ABC的中线， ADC=45°，把 ADC沿直线 AD翻折，点 C 落在点 C的位置， BC=4,求 BC 的长 .( 一 )折叠直角三角形1. 如图，在 ABC中， A = 90 °，点 D 为 AB上一点，沿 CD折叠 ABC，点 A 恰好落在 BC边上的 A' 处，AB=4， AC=3，求 BD的长。2.如图， Rt ABC中， B=90°， AB=3， A

10、C=5将 ABC折叠使 C 与 A 重合，折痕为DE，求 BE 的长-可编辑修改 -。（二）折叠长方形1. 如图，长方形ABCD中， AB=4，BC=5， F 为 CD上一点，将长方形沿折痕AF 折叠，点D 恰好落在BC上的点 E 处，求 CF的长。2. 如图，长方形 ABCD中， AD=8cm， AB=4cm，沿 EF 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 与 C' 重合 . （1）求DE的长 ; （2）求折痕 EF的长 .3. （ 2013?常德）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边 CD落在对角线 AC上，折痕为 CE，且 D 点落在对角线 D处若 AB=3， AD=4，则 E

11、D的长为（）4.如图，长方形ABCD中， AB=6， AD=8，沿 BD折叠使 A 到 A处 DA交 BC于 F 点 .（ 1）求证： FB=FE（ 2）求证： CA BD（ 3）求 DBF的面积-可编辑修改 -。7. 如图，正方形 ABCD中，点 E 在边 CD上，将 ADE沿 AE对折至 AFE，延长 EF 交边 BC于点 G,G 为 BC的中点，连结AG、 CF. （ 1）求证： AG CF; （2）求的值 .题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例 1、如图，公路MN和公路 PQ在 P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160 米，点 A 到公路 MN的距离为80 米，假使拖拉机行驶时

12、，周围100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿 PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18 千米 / 小时，那么学校受到影响的时间为多少？例 2. 一辆装满货物高为 1.8 米，宽 1.5 米的卡车要通过一个直径为 5 米的半圆形双向行驶隧道， 它能顺利通过吗？跟踪练习：1. 某市气象台测得一热带风暴中心从 A 城正西方向 300km处，以每小时 26km的速度向北偏东 60°方向移动，距风暴中心 200km的范围内为受影响区域。试问 A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请-可编辑修改 -。求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影

13、响，请说明理由。2. 一辆装满货物的卡车 , 其外形高 2.5 米, 宽 1.6 米, 要开进厂门形状如下图的某工厂 , 问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ?3. 有一个边长为 50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）4. 如图，铁路上 A， B 两点相距 25km，C，D 为两村庄， DA AB 于 A，CB AB于 B，已知 DA=15km,CB=10km，现在要在铁路 AB上建一个土特产品收购站 E，使得 C， D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在离 A 站多少 km 处？题型九：关于最短性问题例 1、如右图 119，壁虎在一座底面半

14、径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取 3.14 ，结果保留1 位小数，可以用计算器计算）-可编辑修改 -。例 2.跟踪练习：1. 如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点，最少要花几秒钟？2. 如图，是一个三级台

15、阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm 和 1cm，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点， A点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物 . 请你想一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，最短线路是多少？A531B3. 一个长方体盒子的长、宽、高分别为 8cm，6cm，12cm,一只蚂蚁想从盒底的 A 点爬到盒顶的 B 点, 你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？BAA4. 如图将一根 13.5 厘米长的细木棒放入长、 宽、高分别为 4 厘米、 3 厘米和 12 厘米的长方体无盖盒子中，能全部放进去吗？A？3题型十：勾股定理与特殊角-可编辑修改

16、-。（一）直接运用30°或 45°的直角三角形1. 如图，在 ABC中， C = 90 °， B = 30 °， AD是 ABC的角平分线，若AC=23 ，求 AD的长。2. 如图，在 ABC中， ACB = 90°， AD是 ABC的角平分线， CD AB于 D， A= 30 °， CD=2，求 AB的长。3. 如图，在 ABC中， AD BC于 D， B= 60 °， ,C= 45 °， AC=2，求 BD的长。（二）作垂线构造30°或 45°的直角三角形（ 1）将 105°转化为

17、45°和 60°1. 如图，在 ABC中， B= 45 °， A=105°， AC=2，求 BC的长。2. 如图，在四边形 ABCD中， A= C= 45°， ADB= ABC=105° , 若 AD=2,求 AB的长；若 AB+CD=2 3 +2，求 AB 的长。-可编辑修改 -。CDAB（ 2）将 75°转化为30°和 45°3. 如图，在 ABC中， B= 45°， BAC=75°， AB= 6 ，求 BC的长。题型十一：运用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程1.如图，在

18、ABC中， C= 90°， AD平分 CAB交 CB于 D，CD=3,BD=5，求 AD的长。2.如图，在 ABC中， ADBC于 D，且 CAD=2 BAD,若 BD=3， CD=8，求 AB的长。( 二 ) 巧用“连环勾”列方程1.如图，在 ABC中， AB=5， BC=7，AC=42 , 求 S ABC .-可编辑修改 -。2.如图，在 ABC中， ACB= 90°， CD AB于 D， AC=3， BC=4，求 AD的长。3.如图， ABC中， ACB=90°， CD AB于 D， AD=1， BD=4，求 AC的长4. 如图， ABC中， ACB=90&

19、#176;，CD AB 于 D， CD=3， BD=4，求 AD的长题型十二：勾股定理与分类讨论（一）锐角与钝角不明时需分类讨论1.在 ABC中， AB=AC=5，求 BC的长2.在 ABC中， AB=15， AC=13， AD为 ABC的高，且AD=12，求 ABC的面积。-可编辑修改 -。（二）腰和底不明时需分类讨论3. 如图 1， ABC中， ACB=90°， AC=6， BC=8，点 D 为射线 AC上一点，且ABD是等腰三角形，求ABD的周长 .（三）直角边和斜边不明时需分类讨论1. 已知直角三角形两边分别为2 和 3，则第三边的长为 _2. 在 ABC中， ACB=90&

20、#176;， AC=4，BC=2，以 AB为边向外作等腰直角三角形ABD，求 CD的长3. 如图， D(2,1),以 OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在 x 轴上的顶点坐标.题型十三：或问题的证明-可编辑修改 -。1. 如图 1， ABC中， CA=CB， ACB=90°， D 为 AB 的中点， M、N 分别为 AC、 BC上一点，且DM DN. （ 1）求证： CM+CN=BD（ 2）如图 2，若 M、N 分别在 AC、 CB的延长线上，探究CM、 CN、 BD之间的数量关系式。2. 已知 BCD=， BAD=，CB=CD. （

21、 1）如图 1，若 =90°，求证： AB+AD=AC；（ 2）如图 2，若 =90°，求证： AB-AD=AC；（ 3）如图 3，若 =120°， =60°，求证： AB=AD=AC；（4）如图 3，若 =120°，求证： AB-AD=AC；-可编辑修改 -。题型十四：问题的证明1. 如图， OA=OB， OC=OD， AOB= COD=90°，M、 N 分别为 AC、BD的中点，连MN、 ON.求证： MN=ON.2. 已知 ABC中， AB=AC， BAC=90°， D 为 BC 的中点， AE=CF，连 DE、EF.

22、 （ 1）如图1，若 E、 F 分别在AB、 AC上，求证： EF=DE；（ 2）如图 2，若 E、 F 分别在 BA、 AC的延长线上，则(1) 中的结论是否仍成立？请说明理由-可编辑修改 -。3. 如图， ABD中， O为 AB的中点， C 为 DO延长线上一点， ACO=135°， ODB=45°探究 OD、OC、 AC之间相等的数量关系4. 如图， ABD是等腰直角， BAD=90°， BC AD， BC=2AB，CE平分 BCD，交 AB 于 E，交 BD 于 H求证：（ 1） DC=DA；（ 2） BE=DH题型十五： 勾股定理（逆定理）与网格画图1.

23、 如图，每个小正方形的边长为1， A、 B、 C 是小正方形的顶点，则ABC的度数为-可编辑修改 -。2. 如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个三角形，使它的三边长分别是3,2，且三角形的三个顶点都在格点上3. 如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上4. 在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3 个5. 如图，在4 个均匀由16 个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4 个三角形中，与众不同的是_中的三角形，图4 中最长边上的高为_6. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点

24、叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：（ 1）画一条线段MN，使 MN=；（ 2）画 ABC，三边长分别为3， 2。7. 如图，在5×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段 AB 的端点在格点上-可编辑修改 -。（ 1）图 1 中以 AB 为腰的等腰三角形有 _个，画出其中的一个，并直接写出其底边长（ 2）图 2 中，以 AB为底边的等腰三角形有 _ 个，画出其中的一个，并直接写出其底边上的高题型十六： 利用勾股定理逆定理证垂直1. 如图，在 ABC中，点 D 为 BC边上一点，且AB=10， BD=6， AD=8， AC=7，其求 CD的长 .2. 如图，在四边形ABCD中， B=90°， AB=2，CD=5， AD=4，求.3. 如图，在 ABC中， AD为 BC边上的中线，AB=5,AC=13,AD=6，求 BC的长 .-可编辑修改 -。4. 已知 ABC中， CA=CB, ACB=，点 P 为 ABC内一点，将 CP绕点 C顺时针旋转 得到 CD，连 AD（ 1）如图 1，当 =60°