9-2(2)-利用极坐标计算二重积分分享资料

1、1, bxa ).()(21xyx 利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分X型区域型区域:)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy .),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 2.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,dyc ).()(21yxy Y型区域型区域:)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D3xy 1例例 6 6 改变积分改变积分 xdyyxfdx1010),(的次序的次序. 原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图 .10, 10 :xyxD也可表示为也可表

2、示为 .10, 10 :yxyD4 例例7 计算由四个平面计算由四个平面x 0 y 0 x 1 y 1所围成的所围成的柱体被平面柱体被平面z 0及及2x 3y z 6截得的立体的体积截得的立体的体积 四个平面所围成的立体如图四个平面所围成的立体如图 解解: dxdyyxVD)326( 1010)326(dyyxdx 101022326dxyxyy 1027)229(dxx所求体积为所求体积为5281 02.|,:|,DIyxdxdyDxy例例 求求其其中中xy011 2解解.|2中的绝对值符号去掉中的绝对值符号去掉必须将必须将xy 两两部部分分分分成成将将区区域域抛抛物物线线212、DDDxy

3、 11,0:21 xxyD11, 2:22 xyxD 22122),( ),( |),(DyxxyDyxyxxyyxf 21)()(22DDdxdyxydxdyyxIdyxydxdyyxdxxx 2211021122)()(1546 2D1D第三节第三节 二重积分计算方法（二）二重积分计算方法（二）利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分7AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分8

4、.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式(一一)区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 9AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式(二二)区域特征如图区域特征如图(曲边扇形曲边扇形), ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(10 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Drdrd

5、 二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式(三三)区域特征如图区域特征如图(极点在极点在区域内部区域内部).(0 rDoA)(r,2 011例例 1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd12例例 2 2 计算计算dxdyeDyx 22，其中，其中

6、 D 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.解解在在极极坐坐标标系系下下 D：ar 0， 20. dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae xy0a13解解D：bra ， 20 . dyxD 22 20bardrrd)(31233ab )(3233ab 14 xxdyyxdx2212210)(求求 解解 积分区域积分区域D如图所示如图所示 tan sec0 ,40| ),( D Dxxdddyyxdx 12122102)( dd tansec040112tansec40 d例例4.第四节第四节 三重积分的概念及计算法三重积分

7、的概念及计算法（直角坐标系下计算法）（直角坐标系下计算法）16一、三重积分的定义一、三重积分的定义.,),(),(),(,:Mzyxzyxzyx物体的质量物体的质量试求该试求该为连续函数为连续函数且且处的密度为处的密度为上的点上的点它在它在域域设有一物体占据空间区设有一物体占据空间区例例 方法：方法：分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限个小块个小块把物体任意分把物体任意分n.,21nVVV ),()(iiiiiVV 取取一一点点体体积积也也记记在在每每一一小小块块 iiiiiVM ),( niiiiiniiVMM11),( 则 niiiiiVM10),(lim 1718.叫做体积元素

8、叫做体积元素其中其中dv, 的的平平面面来来划划分分用用平平行行于于坐坐标标面面在在直直角角坐坐标标系系中中，如如果果.lkjizyxv 则则.积积元元素素叫叫做做直直角角坐坐标标系系中中的的体体其其中中dxdydzV 19二、三重积分的计算二、三重积分的计算xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作作直直线线过过点点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz方法一方法一(投影法）：投影法）：直角坐

9、标系中将三重积直角坐标系中将三重积分化为三分化为三 次积分计算次积分计算20函函数数，则则的的只只看看作作看看作作定定值值，将将先先将将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区间间计计算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得：得：fx, y,z dv =.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意：注意： 投影法是把三重积分化为二次积分和一次积分，且投影法是把三重积分化为二次积分和一次积

10、分，且积分顺序为积分顺序为“先一后二先一后二”，因此也称为，因此也称为“先一后二先一后二”法法. .21解解, 122 yxxyzo22.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI23 101010)(dzzyxdydxdxdydzM 1010)21(dyyxdx 101022121dxyyxy102)1(21 x 10)1(dxx23 例例2 解解 24221111122 =x,y,z | x + yz, - xy- x , -x 111112222),(yxxxdzzyxfdydxI积分区域可表示为积分区域可表示为:由曲面由曲面z x2 y2及平面及平面z 1所所化三重

11、积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(积分，其中积分区域积分，其中积分区域 xozy例例 3解解为三次为三次围成围成.25 3)1(zyxdxdydz yxxdzzyxdydx1031010)1(1(x y z)| 0 z 1 x y 0 y 1 x 0 x 1 解解 xyxdyzyxdx1010210)1(21 xdyyxdx1021081)1(21例例4xozy111积分区域可表示为积分区域可表示为:26dxyyxx 101081)1(21dxxx 108183)1(2110216183)1ln(21xxx )852(ln21 xozy111 xdyyxdx1021081)1(2127z方法二：方法二：用截面法计算三重积分用截面法计算三重积分.28z zDccdxdyzyxfdz),(21 dvzyxf),( 截面法是把三重积分化为一截面法是把三重积分化为一次积分和二次积分，次积分和二次积分， 且积分顺且积分顺序为序为“先二后一先二后一”，因此也称，因此也称为为“先二后一先二后一”法法. .说明说明: :29解