4-2 向量组的线性相关性分享资料

1、1231100 ,2,2 .123aaa 例设向量组123aaa ,321线性相关所以向量组aaa因为有 ，即1230aaa123100:0 ,1 ,0 .001E eee 又例设向量组一、线性相关性的概念一、线性相关性的概念时，才有03210332211eee因为只有当所以向量组所以向量组 E E 线性无关线性无关. .从而，我们可以得出结论：从而，我们可以得出结论： 向量组向量组 A A: : a a1 1 , a , a2 2 , , a, am m 线性相线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组关的充分必要条件是齐次线性方程组02211mmaxaxax有非零解有非零解.0 ,: 2211

2、2121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组注意注意1211122 1. , kk0, kkk0.nnnn 若线性无关 则只有当时 才有成立., 2. 线线性性相相关关性性无无关关就就是是不不是是线线对对于于任任一一向向量量组组定义定义则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A 3. ,0 ,0,.向量组只包含一个向量时 若则说线性相关 若则说线性无关.4. 组组是是线线性性相相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量 5.,.对于含有两个向量的向量组 它线性相关的充要条件是两向量的分量对应

3、成比例。几何意义是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向量共面定理定理 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m12311050 ,2,2 .123aaa 前面的例向量组312aaa ,321线性相关所以向量组aaa因为有 若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线性独立）。线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方

4、程组中的应用).,( .0 A, 0 212211mmmAxxxxA 其中其中有非零解有非零解即即方程组方程组线性相关就是齐次线性线性相关就是齐次线性向量组向量组结论结论.)(; ),( , 2121mARmAmm 必必要要条条件件是是向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分于于向向量量个个数数的的秩秩小小矩矩阵阵条条件件是是它它所所构构成成的的线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组 定理定理2 2例 向量组.111,011,001321aaa因为矩阵因为矩阵 A = ( a1 , a2 , a3 ) 的行列式的行列式 |A| 0, 所以所以 R (A ) = 3 . 由定理由定理

5、2知，向量组知，向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的是线性无关的.072,311,121321aaa031712211,321aaa例增例增1 讨论向量组讨论向量组解解 先求矩阵（先求矩阵（a1 , a2 , a3 ) 的秩的秩.由由 的线性相关性的线性相关性.000330211知知 R (a1 , a2 , a3) = 2 3, 所以向量组所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关线性相关.， 742520111321 .21321的的线线性性相相关关性性，及及，试试讨讨论论向向量量组组 解解12312312 , 2 .对矩阵（，），施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 可同时看出矩阵

6、（，）及（，）的秩，利用定理即可得出结论已已知知例例5分析分析 751421201),(321 2325rr ， 000220201., 2),(,2),(2121321321线线性性无无关关向向量量组组线线性性相相关关；，向向量量组组可可见见 RR 75122020112rr 1312rrrr 550220201123112223331123 , , .bbbb b b 已知向量组线性无关试证线性无关例例6 60 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即线性无关，故有线性

7、无关，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx证证02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 1211 (1) , :, . , .mmmABBA 若向量组 ：线性相关 则向量组也线性相关反言之 若向量组线性无关 则向量组 也线性无关定理定理3 3证明：已知证明：已知12,mA 向量组 ：线性相关 则121122, 0mmmk kkkkk存在一组不全为零的数使因为因为11221 00mmmkkk所以，所以，11 :, mmB向量组线性相

8、关。证毕。1231233157 :,212054A aaa 例讨论向量组和.5231,4253,5112,0231: 4321的线性相关性向量组aaaaB450212513321A450450450321000000450321解解 因为因为 知知 R R( ( a a1 1 , a , a2 2 , a , a3 3 ) = 2,) = 2, 所以向量组所以向量组 a a1 1 , a , a2 2 , a , a3 3 线性相关线性相关. . 根据定理根据定理 3(1)3(1)可知，向量组可知，向量组 a1 , a2 , a3a1 , a2 , a3 , , a a4 4 也线性相关也线性

9、相关. .）设）设（2 ), 2 , 1(, 12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj .,.,.2121性性相相关关也也线线则则向向量量组组线线性性相相关关反反言言之之，若若向向量量组组关关也也线线性性无无：则则向向量量组组线线性性无无关关：若若向向量量组组添添上上一一个个分分量量后后得得向向量量即即ABbbbBAbmmjj . 3 时一定线性相关时一定线性相关于向量个数于向量个数小小当维数当维数维向量组成的向量组，维向量组成的向量组，个个）（mnnm111,011,001例例 13 13 已知向量组已知向量组线性无关，线性无关，.,:,: (4) 121且且表表示示式式是是唯

10、唯一一的的线线性性表表示示必必能能由由向向量量组组向向量量则则线线性性相相关关组组而而向向量量线线性性无无关关设设向向量量组组AbbBAmm 123,111,011,001讨论讨论 的线性相关性。的线性相关性。由定理由定理 3(3)可知向量组可知向量组123,111,011,001线性相关线性相关 123向量111,011,001根据定理根据定理 3(4)3(4)可得可得, 能由向量组能由向量组线性表示，且表示方法唯一线性表示，且表示方法唯一 3 1:. . .定理 （）可推广为 一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组线性相关特别地，含有零向量的向量组必线性相关反之，若一个向量组线性无关，

11、则它的任何部分组都线性无关说明说明 321,.定理 （ ）是对增加一个分量（即维数增加维）而言的，若增加多个分量 结论也成立. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）. , )3(0 )2( 0 )1(:两两式式不不一一定定同同时时成成立立或或者

12、者线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是，两两个个向向量量；线线性性无无关关的的充充要要条条件件是是一一个个向向量量；线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是一一个个向向量量试试证证明明 kk 证明证明（）、（）略（）、（）略（）充分性（）充分性., 0, 0, 即可即可令令则则不妨设不妨设得得使使存在不全为零的数存在不全为零的数线性相关线性相关xykxyxyxyx 必要性必要性., 0)(1, 线线性性相相关关知知由由定定义义则则有有不不妨妨设设 kkm ,2101111 mmmmbbaa maa,1mbb,1若有不全为若有不全为0 0的数的数使使成立成立, ,则则线性相关线性相关, ,

13、亦线性相关亦线性相关. .8(2)、举例说明下列命题是错误的举例说明下列命题是错误的：01111 mmmmbbaa 解：已知有不全为零的数解：已知有不全为零的数使使m ,21上式可化为上式可化为0)()(111 mmmbaba 选取选取1122,mmaeaeae1122,mmbe bebemee,1maa,1mbb,1为单位向量，所以为单位向量，所以均线性无关均线性无关这样，尽管前式成立。而由于其中和因此，上述命题是错误的。8(4)、举例说明下列命题是错误的举例说明下列命题是错误的：maa,1mbb,1m ,210, 01111 mmmmbbaa 若若 和和均线性相关均线性相关, , 则有不全

14、为则有不全为0 0的数的数, , 使使同时成立同时成立. .解：任意设12341200,.0034bb 则 21221121221143020 bbaa021 与题设矛盾。所以上述命题是错误的。与题设矛盾。所以上述命题是错误的。 144433322211,aabaabaabaab 4321,bbbb习题四习题四 9 9、设、设证明向量组证明向量组线性相关线性相关. . ;证：由已知条件得112223334441,aba aba aba aba1123123412341 abbabbbabbbba于是1234 0bbbb从而1234 , b b b b所以，向量组线性相关1010设设rraaabaabab 2121211,且向量组且向量