第四章一阶系统

1、第四章第四章 一阶系统一阶系统4.1 概述概述 一个系统阶数是由此系统包含多少状态变量决定的。一个系统阶数是由此系统包含多少状态变量决定的。 一个复杂的高阶的系统从结构上可分解成若干的低阶一个复杂的高阶的系统从结构上可分解成若干的低阶子系统。子系统。 复杂系统的特性并不等于组成它的简单子系统的特性之复杂系统的特性并不等于组成它的简单子系统的特性之和。和。 一个复杂系统的行为往往是由某些主回路和某些主要一个复杂系统的行为往往是由某些主回路和某些主要的变量决定的的变量决定的 复杂系统中往往存在一些起主导作用的主回路或主要复杂系统中往往存在一些起主导作用的主回路或主要变量。变量。 4.2 一阶系统的

2、重要参数一阶系统的重要参数 4.2.1 指数增长及其参数指数增长及其参数 （1）指数增长方程式）指数增长方程式 LEV 状态RT 速率CONST 常数图3。1 正反馈一阶系统流图L LEV.K=LEV.JDT*（RT.JK）由此式可以改写为：由此式可以改写为： （LEV.K-LEV.J）/DT=RT.JK脱去脱去DYNAMO的符号，并令的符号，并令DT趋于趋于0，则可得微分方程式：，则可得微分方程式： dLEV(t)/dt=RT(t) 假定假定 RT(t)=CONST*LEV(t) CONST为比例常数为比例常数 所以所以 dLEV(t)/dt=CONST*LEV(t) 可解的：可解的： 式中

3、：式中： LEV(t)状态在状态在t时刻的值；时刻的值； LEV(0)状态的初始值；状态的初始值； CONST比例常数；比例常数； e自然对数基。自然对数基。tCONSTeLEVLEV*)0() t (2)时间常数时间常数T 时间常数定义为时间常数定义为CONST的倒数，即的倒数，即T=1/CONST，T具有时间的量纲。具有时间的量纲。 P91 时间常数的物理意义。时间常数的物理意义。 时间常数时间常数T决定正反馈系统中的增长或减少的速决定正反馈系统中的增长或减少的速度。当时间常数大时（或度。当时间常数大时（或CONST小），相应的小），相应的LEV（t）为较平缓的增长曲线。反之，）为较平缓的

4、增长曲线。反之，LEV（t）为较陡峭的变化曲线。为较陡峭的变化曲线。（3）倍增时间）倍增时间Td 倍增时间定义为变量由初始值增至二倍的初始倍增时间定义为变量由初始值增至二倍的初始值所需要的时间。值所需要的时间。 Td=0.69*T 倍增时间约等于倍增时间约等于70的时间常数的时间常数T。即每经过。即每经过一段时间一段时间Td，LEV的值将较前增加一倍。的值将较前增加一倍。 P92的图的图5.2表示了倍增时间常数与时间常数的表示了倍增时间常数与时间常数的关系。关系。一阶负反馈系统的重要参数一阶负反馈系统的重要参数(1)方程式的基本形式方程式的基本形式LEV 状态RT 速率CONST 常数图3.

5、1 一阶负反馈系统的典型流图DISC 偏差GL 目标值方程式：方程式： L LEV.K=LEV.J+DT*RT.JK R RT.KL=CONST*DISC.K A DISC.K=GL-LEV.K 同理解得：同理解得：tCONSTeLEVGLGLLEV*)0() t (（2）时间常数）时间常数T P93（3）减半时间常数（或半衰期）减半时间常数（或半衰期）Th Th=0.69T4.3 正反馈系统正反馈系统 工资工资-物价增长系统的应关系图物价增长系统的应关系图工资工资要求物价所受压力物价+A 感到来自B国的威胁B国的武器A国的武器B国感到来自A国的威胁+军备增长系统因果关系图4.2.1 正反馈的

6、一般结构正反馈的一般结构LEV 状态RT 速率CONST 常数图3。1 正反馈一阶系统流图 L LEV.K-LEV.J+DT*RT.JK N LEV=1R RT.KL=CONST*LEV.KC CONST=0.2C DT=1计算步骤如计算步骤如P954.2.2 正反馈过程的特征正反馈过程的特征 （1） 指数增长指数增长 （2） 指数崩溃指数崩溃 （3）超指数增长）超指数增长 P98（4）指数增长的特点）指数增长的特点P97t15Td之后，状态变量的值猛然暴涨。之后，状态变量的值猛然暴涨。时间时间变量变量变量变量变量变量0指数增长和指数崩溃曲线指数增长和指数崩溃曲线4.4 负反馈系统负反馈系统室

7、温冷却器加热器温度继电器期望室温 负反馈系统是负反馈回路起主导作用的系统。它负反馈系统是负反馈回路起主导作用的系统。它具有跟随目标（寻的）的特性。具有跟随目标（寻的）的特性。货物到达库存发货订货生产期望库存4.4.1 负反馈结构的因果与相互关系图、流负反馈结构的因果与相互关系图、流图与方程式图与方程式 负反馈结构的因果关系图包含四个基本单元负反馈结构的因果关系图包含四个基本单元期望状态（目标）、偏差、校正量（速率）、期望状态（目标）、偏差、校正量（速率）、系统状态（水平）。系统状态（水平）。系统状态和水平行动或速率差别期望状态或目标+-+LEV 状态RT 速率DISC偏差CONST比例常数GL

8、 目标值方程式：方程式： L LEV.K=LEV.J+DT*RT.JK N LEV=0 R RT.KL=CONST*DISC.K C CONST=0.1 A DISC.K=GL-LEV.K C GL=100式中：式中： LEV状态（单位）状态（单位） RT速率（单位速率（单位/时间）时间） CONST常数（常数（1/时间）时间） DISC偏差（单位）偏差（单位） GL目标值（单位）目标值（单位）4.4.2 负反馈系统的特性负反馈系统的特性过渡区过渡区稳定区稳定区时间时间LEV 状态状态 状态随时间变化曲线包括两个区段：瞬态状态随时间变化曲线包括两个区段：瞬态（过渡区）和稳态（稳定区）两个部分。

9、（过渡区）和稳态（稳定区）两个部分。 在过渡区段，在过渡区段，LEV值与目标值值与目标值GL不相等。此不相等。此时时LEV具有寻的与瞬变的特点；在稳定区，具有寻的与瞬变的特点；在稳定区，LEV值接近或近似地达到目标值，稳定不变。值接近或近似地达到目标值，稳定不变。RT也最也最终近似地达到终近似地达到“0”。 4.4.3 寻的负反馈系统的行为的三种模式寻的负反馈系统的行为的三种模式（1）GL 0，LEV0，(LEV(0)-GL) 0，LEV0，(LEV(0)-GL) 0；（3）GL0，LEV 0。 模式模式3如教材如教材P105 图图5.25所示所示 模式模式3称为零目标结构。目标值称为零目标结

10、构。目标值GL为为“0”，状态值由，状态值由LEV（0）指数衰减至）指数衰减至“0”。时间时间GLLEV模式模式2模式模式14.5 负反馈系统的补偿特性负反馈系统的补偿特性 负反馈系统具有当其状态变量受外生输入负反馈系统具有当其状态变量受外生输入（或输出）速率作用时仍力图使状态变量趋于（或输出）速率作用时仍力图使状态变量趋于目标值的特性，称为目标值的特性，称为补偿特性补偿特性。LEV 状态RT2 速率2RT1 速率1DISC偏差CRT 常数CONST比例系数GL 目标图 带有不变的外生输入速率的负反馈系统系统的方程式如下：系统的方程式如下： L LEV.K=LEV.J+DT*(RT2.JK-R

11、T1.JK) R RT1.KL=CONST*DISC.K A DISC.K=GL-LEV.K C GL=100 R RT2=CRT C CRT=8 NTRT纯速率（单位纯速率（单位/时间）时间） R NTRT.KL=RT1.JK+RT2.JK X = CONST*DISC.K+ CRT X = CONST*(GL-LEV.K) + CRT 根据根据RT1.KL 、RT2.KL和和NTRT.KL，可绘制，可绘制系统的速率系统的速率状态曲线图：状态曲线图：P107下面求新的目标值：下面求新的目标值：假定假定NTRT=0，则可得：，则可得： CRT=-CONST(GL-LEV) =-CONST*GL

12、+LEV*CONST LEV=CRT/CONST+GL LEV=NGL=CRT/CONST+GL NGL=T*CRT+GL=1/0.1*8+100=180 由此可见，系统新的平衡值较期望的目标值由此可见，系统新的平衡值较期望的目标值GL增加了增加了T*CRT，即为时间常数，即为时间常数T与不变的输入与不变的输入速率速率CRT（或（或RT2）的乘积。）的乘积。 综上所述，负反馈系统的补偿功能，当系统综上所述，负反馈系统的补偿功能，当系统在附加输入或输出速率的情况下，可自动建立起在附加输入或输出速率的情况下，可自动建立起新的平衡，新的平衡值与原期望的目标值不同。新的平衡，新的平衡值与原期望的目标值

13、不同。其差值与与系统的时间常数及外生速率有关。其差值与与系统的时间常数及外生速率有关。 例如：库存控制系统的负反馈补偿特性。例如：库存控制系统的负反馈补偿特性。P108INV 库存OR 订货率SR 销售率CONST每周订货比率DISC偏差DINV期望库存STEP阶跃函数图 简单的库存控制系统流图方程式：方程式： L INV.K=INV.J+DT*(OR.KLSR.KL) N INV=DINV R OR.KL=CONST*DISC.K C CONST=0.5 A DISC.K=DINV-INV.K C DINV=200 R SR.K=STEP(20，4)如如P108 如如5.29所示。所示。求新的目标值求新的目标值NGL： 方法方法1： 2002040 GL=DINV=200 NGL=200-40=160方法方法2： NGL=GL+T*SR=200-1/0.5*20=200-40=1604.5 S形增长的反馈结构形增长的反馈结构如如P 110 图图5.30所示。所示。S增长的反馈结构，包含指数和渐