惯性张量介绍

1、转动惯量创作：欧阳计时间：2021.02. 11转动惯量，又称惯性距、惯性矩（俗称惯性力距、惯性力矩， 易与力矩混淆），通常以I表示，SI单位为kg * m2,可说是一 个物体对于旋转运动的惯性。对于一个质点,I二mr2,其中m是其质量，r是质点和转轴的垂 直距离。NZ=£ m弃对于一个有多个质点的系统，O若该系统由刚体组成，可以用无限个质点的转动惯量和，即用 积分计算其转动惯量。如果一个质量为m的物件，以某条经过A点的直线为轴，其转 动惯量为厶。在空间取点&使得AB垂直于原本的轴。那么如 果以经过3、平行于原本的轴的直线为轴，AB的距离为d,则 =Ia + md2o力距在直

2、线运动，F - mao在旋转运动，则有t二I a ,其中t是力 矩，Q是角加速度。动能._ 1 2一般物件的动能是人=2mv o将速度V和质量m,用转动力学 的定义取代：得出简化得K = 2/W o如果一个人坐在一张可转动的椅子，双手拿重物，张开双 手，转动椅子，然后突然将手缩到胸前，转动的速度将突然增 加，因为转动惯量减少了。惯性张量对于三维空间中任意一参考点Q与以此参考点为原点的直角座 标系Qxyz ,个刚体的惯性张量I是厶c I 利 4J。(1)这里，对角元素人工、1列、&分别为对于x轴、y轴、z轴的惯 性矩。设定仗，炉勿为微小质量由“对于点q的相对位置。则这些惯性矩，可以精简地

3、用方程式定义为T 妲1 XX ,1 y2 + z2 dmT def 如=J1 x2 + z2 dm，(2)/w&翌i1 g2 + y2 dm而非对角元素，称为惯性积，可以定义为导引图A如图A , 一个刚体对于质心G与以点G为原点的直角座标系 Gxyz的角动量L&定义为Lg = r x v dm 这里，r代表微小质量力门在Gxyz座标系的位置，v代表微小质 量的速度。因为速度是角速度3叉积位置，所以，L& = / r x (a x I*) dm 计算x轴分量，相似地计算y轴与z轴分量，角动量为La = 3工y2 + z2 dm 气xy dm _ 仏 / xz dm Lay

4、 =血xy dm + ujy / a;2 + z2 dm _ 込 / yz dmLqx I z dm ujy / yz dm + cdx x2 + y2 dm如果，我们用方程式（1）设定对于质心G的惯性张量0,让角 速度3为（山，%，S'J，那么，Lg = Ig *。（4） 平行轴定理平行轴定理能够很简易的，从对于一个以质心为原点的座 标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的座标系统。假若已 知刚体对于质心G的惯性张量Ig,而质心G的位置是 仗，队訂，则刚体对于原点0的惯性张量L依照平行轴定理， 可以表述为I血=1g,xx + m（y2 + *）,Iyy =】g洌+ m（无+ w ）,J

5、 = Ig 产 + m（* +）， by =如=匕刊-mxyfI球=I旺=【g严一（6）G =隔=Ig 胪-m yzo证明：图Ba）参考图B,让 0 y ： ”）、©匕R分别为微小质量dm对质 心G夕原点。的相对位置：y = yf + y, z = zf + z o依照方程式(2),G= y,2+z,2dmlxx = J所以，相似地，可以求得？旳、厶，的方程式。b）依照方程式（3）,I 刊=_ jxfyf dm= xy dm0j0因为 x = x' + t, y = y' + y f 所以相似地，可以求得对于点o的其他惯性积方程式。对于任意轴的惯性矩图c参视图c ,

6、任意一点， 是设定点0为直角座标系的原点，点Q为三维空间里Q不等于0。思考一个刚体，对于OQ轴的惯性矩/ |可 x r|2 dm展开叉积,稍微加以编排,这里，P是微小质量师离OQ轴的垂直距离，是沿着OQ轴 的单位向量，匕S刀是微小质量由72的位置。一耳皿）2 + （闢 一 Tyxy2 dm.o特别注意，从方程式(2)、(3),这些积分项目，分别是刚体对于x轴、y轴、z轴的惯性矩与惯性积。因此， y-【QQ =耳丿工工+ 7/y/yy + 2叶罰书1巧+ 2丁工乐1 班+ 2?/回羯。如果已经知道，刚体对于直角座标系的三个座标轴，X 轴、 轴、z轴的惯性矩。那么，对于OQ轴的惯性矩，可以用此方程

7、 式求得。主惯性矩因为惯性张量I是个实值的三维对称矩阵，我们可以用对角线 化，将惯性积变为零，使惯性张量成为一个对角矩阵。所得 到的三个特征值必是实值；三个特征向量必定互相正交。我们I 3 =入 (8)或者，【直込入展开行列式，需要求解I列J NJ -J1W/'1 疔為 B 入。可以得到一个三次方程式。方程式的三个根入1、 入2、入3都是正的，实值的特征值。将特征值代入方程式(8),再 加上方向余弦方程式，+我们可以求到特征向量"1、©2、必3。这些特征向量都是刚体 的惯量主轴；而这些特征值则分别是刚体对于惯量主轴的主惯 性矩。假设x轴、y轴、z轴分别为一个刚体的惯

8、量主轴，这刚体的主 惯性矩分别为人、厶八厶，角速度是3。那么，角动量为 动能 刚体的动能K可以定义为人尹+訪V ",这里，©是刚体质心的速度，是微小质量相对于质心的速 度。在方程式里，等号右边第一个项目是刚体平移运动的动 能，第二个项目是刚体旋转运动的动能X"。由于这旋转运动是 绕着质心转动的，K? = * (cj x r) (cj x r) dm这里，a是微小质量dm绕着质心的角速度，r是dm对于质心的1 f1Kf =3 r x(3 x r) dm = -lj L相对位置。因此， 2 J2 o或者，宀扣T"所以K = -7HV2 + -(IXX(JX2 + Izzz 2 + 2 如0吗 + 2Ixx(Vg