结构力学 动力计算

1、一一. .运动方程及其解运动方程及其解tPtPsin)(P -P -荷载幅值荷载幅值)cos)(tPtP-荷载频率荷载频率特解特解tPykycymsin11 或或)(sin22atmPyyy 一般解一般解)()()(*tytyty)cossin()(21tCtCetyttDtDtysincos)(21*运动方程运动方程齐次方程通解齐次方程通解tcosDtsinD) t (y*21特解一阶导数特解一阶导数特解二阶导数特解二阶导数tsinDtcosD) t (y*2221 22222214)(2mPD2222222224)(mPD代入代入(a)(a)，整理后整理后得得到方程：到方程：tsinmPt

2、sinD)(DtcosDD)(2221212222令等号两边令等号两边sint和和cos t 的相应系的相应系数分别相等，从得数分别相等，从得到的方程：到的方程：mPD)(DDD)(22212122202可解得可解得：)sin()(*tAty222222221)(4)(1mPDDA222tan)sin()cossin()(21tAtCtCetyt00)0()0(yyyy(b) )sin( )sin()sin()(2211tAteAteAtytt200201)(yyyA0001tanyyy由初始条件可由初始条件可确定积分常数确定积分常数方程方程(a)的的 通解通解为为：其中：其中：2222222

3、2222)2()()(2)2(mPA)-(22tan22222初位移、初速度引初位移、初速度引起的自由振动分量起的自由振动分量动荷载激起的按结动荷载激起的按结构自振频率自由振构自振频率自由振动的分量动的分量,称为称为伴生伴生自由振动自由振动纯受迫振动纯受迫振动（稳态振动）（稳态振动）若特解写为若特解写为：1. 体系按干扰力频体系按干扰力频率振动率振动2. 振动不衰减振动不衰减二二. . 几点讨论（几点讨论（稳态稳态）)sin()(tAty22222224)1 (1mPA在稳态振动阶段在稳态振动阶段DsAA222222411D211mPPAs定义定义干扰力幅值引干扰力幅值引起的静位移起的静位移为

4、：为： D D动力系数动力系数（考虑阻（考虑阻尼时的放大系数）尼时的放大系数）1 . 1 . 振幅振幅D02.03.0令令重要的特性：重要的特性：1. 当当时时,1，D0, 结构可看做静结构可看做静止，即无变形位移（结构刚度极大）（止，即无变形位移（结构刚度极大）（ D近似与阻尼无关）近似与阻尼无关）。3. 当当 时时,1。 D迅速增大，即荷迅速增大，即荷载频率接近于自振频率时，振幅会迅速增载频率接近于自振频率时，振幅会迅速增大。称为大。称为“共振共振”。通常把。通常把0.75 / 1.25称为共振区称为共振区。共振共振 ： 有阻尼有阻尼 无阻尼无阻尼 （共振区内阻尼不能忽略共振区内阻尼不能忽

5、略）DD212 . 位移与荷载之间的相位关系位移与荷载之间的相位关系222tan相位相位2212tan若若0 0（无阻尼）：（无阻尼）：1011022tan)sin()(tAtytPtPsin)(有有阻尼：阻尼：（位移总是（位移总是滞后于振动滞后于振动荷载）荷载）22012001tan:tan:tan:3. 强迫振动时能量的转换强迫振动时能量的转换振动荷载振动荷载P sin(t)在振动在振动一周内所输入的能量：一周内所输入的能量：sinAPUp粘滞阻尼力粘滞阻尼力D (t) 在振动一在振动一周内所消耗的能量：周内所消耗的能量：2AcUD1、当荷载与位移之间无、当荷载与位移之间无相位差时相位差时

6、(无阻尼）无阻尼）:00PU）（无能量补充无能量补充2、当荷载与位移之间存在、当荷载与位移之间存在相位差时（有阻尼）相位差时（有阻尼）:DPPUU 0输入能量等于消输入能量等于消耗能量耗能量4. 不考虑阻尼（不考虑阻尼（0 0）时的计算结果时的计算结果tAtysin)()(22mPA22211mPsyA 112PmPys22/11当当 时，时，A趋趋于无穷，于无穷，)sin()(tAty5. 弹性动内力幅值的计算弹性动内力幅值的计算（A）. 由于考虑线弹性，结构的弹性内力与位移（变由于考虑线弹性，结构的弹性内力与位移（变形）成正比，故位移达到幅值时，内力即达到幅值。形）成正比，故位移达到幅值时

7、，内力即达到幅值。（2）. 确定振动位移达到幅值时的时刻确定振动位移达到幅值时的时刻 即由下式解出即由下式解出t=t*（1）. 确定振动位移函数确定振动位移函数 的具体表达式的具体表达式 即算出初相位即算出初相位)sin()(tAty222tan( )sin()y tAtA（3）. 将此时的振动荷载将此时的振动荷载 及惯性力及惯性力 一起加于梁上，按一般静力学求内力方法求解内力（不必考虑阻尼一起加于梁上，按一般静力学求内力方法求解内力（不必考虑阻尼力的作用）力的作用）*tsinP)t ( I*mPsint*I=-m(t*)mPsint（B）. 当振动荷载与惯性力共线（即与位移共线）时。当振动荷

8、载与惯性力共线（即与位移共线）时。PPAFDD111111因此因此 ，将，将 加到质点上，作出相应的内力加到质点上，作出相应的内力图，即为动内力的幅值图图，即为动内力的幅值图 。（即将结构在。（即将结构在P=1作用下的内力图作用下的内力图放大放大 倍就是结构的弹性动内力幅值图。）（不考虑倍就是结构的弹性动内力幅值图。）（不考虑阻尼）阻尼）PFDPDmDPmPsint*I=-m(t*)例例. .图示为块式基础图示为块式基础. .机器与基础的质量为机器与基础的质量为 ; ;地基竖向地基竖向 刚度为刚度为 ; ;竖向振动时的阻尼比为竖向振动时的阻尼比为 机器转速为机器转速为N=800r/min, ,

9、其偏心质量引起的离心力为其偏心质量引起的离心力为P=30kN. .求竖向求竖向 振动时的振幅。振动时的振幅。kg101563mkg/m105 .13143K020.解：解：m100228.0105 .13143033KPys)s/1 (79.9110156105 .131436mKtPtPsin)()s/1 (78.83260N8452112222.)/()/(/D)(.yAsmm1333081148968.7991250179912501.).(.）（由于自振频率由于自振频率的计算误差的计算误差共振共振2521D)(.yAsmm570 当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各当动荷

10、载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可值乘以动力系数按静力方法来计算即可。 例：已知例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。k212mEImkPsint2m解：解：1)1)求求kEIl21214832111EIlE

11、IlEIl1925192483331113111613451921s.mlEIm2)2)求求552. 11122m.EIlPPymax3533311107551090192451020552119253)3)求求ymax， MmaxmkNlPM.04.31420552. 141)(41max212例、一简支梁（例、一简支梁（I28b），惯性矩），惯性矩I=7480cm4，截面系数，截面系数W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量。在跨度中点有电动机重量G=35kN，转速转速n=500r/min。由。由于具有偏心，转动时产生离心力于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为的竖向分量为Psint。忽略梁的质。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m）解：解：1 1）求自振频率和荷载频率）求自振频率和荷载频率 S.GlEIg134345740035980748010124848Sn13 .526050014. 326022 2）求动力系数）求动力系数88545735211112222.EIPlEIGlyst