第四章统计检验

1、统计检验引言引言问题的数学本质问题的数学本质.问题的解决方法：假设检验法问题的解决方法：假设检验法. 某糖厂用自动包装机将糖装袋某糖厂用自动包装机将糖装袋. 已知额定每袋标已知额定每袋标准重量为准重量为0.5kg. 设每袋糖重服从正态分布设每袋糖重服从正态分布. 由以往经验由以往经验知重量的均方差知重量的均方差= 0.015kg 保持不变保持不变. 某日开工后某日开工后, 为为检验包装机工作是否正常检验包装机工作是否正常, 随机抽取该机所包装的随机抽取该机所包装的9袋袋,称得净重为称得净重为 (kg): 0.497 , 0.506 , 0.518, 0.524, 0.488, 0.511, 0

2、.510, 0.515, 0.512. 问该日该包装机工作是否正常问该日该包装机工作是否正常?一、参数检验一、参数检验假设检验的基本思想和概念假设检验的基本思想和概念 这类问题的一般数学描述：这类问题的一般数学描述：在显著性水平在显著性水平下，检验假设下，检验假设 =00H0 :, H1 :相关概念相关概念: H0原假设；原假设；H1备择假设备择假设 H0为真时为真时, 拒绝拒绝H0的错误的错误, 称为称为第第类错误类错误. H0为假时为假时, 接受接受H0的错误的错误, 称为称为第第类错误类错误. 即即“弃真弃真”即即“取伪取伪” 设设 (0 k (k 0)由由|00真真拒拒绝绝HHP213

3、2 P 94|32|2221KnmYX | KZP KZPKZP 0 x-KK /2N(0,1)2/ KZP故故“分析分析”改为改为“解解”为为正解正解故拒绝域为故拒绝域为2222194|32| znmYX 2 zK 参数假设检验具体步骤总结：参数假设检验具体步骤总结：(1) 根据实际问题提出假设根据实际问题提出假设H0与与H1;(3) 引进统计量，要求在引进统计量，要求在H0真时其分布已知真时其分布已知; (2) 由由H0参考参考H1确定确定拒绝域的形式，由拒绝域形拒绝域的形式，由拒绝域形式确定检验统计量式确定检验统计量; (5) 数据代入拒绝域不等式，若使不等式成立，则数据代入拒绝域不等式

4、，若使不等式成立，则拒绝拒绝H0，否则接受，否则接受H0. (4) 由由P拒绝拒绝H0| H0真真 ，确定最终拒绝域形式，确定最终拒绝域形式; 两正态总体均值差和方差比的假设检验两正态总体均值差和方差比的假设检验解解: :的的无无偏偏估估计计分分别别是是21, YX拒绝域形式拒绝域形式X2Y3| | |k (k 0)即即KnmSnSmnmYX 2)1()1(94|32|2221由由|00真真拒拒绝绝HHP2132 P |KZ | KZP KZPKZP /2)2(2)1()1(94)32(32222121 nmtnmSnSmnmYX 取取真真0H 2)1()1(94322221 nmSnSmnm

5、YXZ0 x-KKt(m+n-2)2/ KZP故故数据代入数据代入f(x)2(2 nmtK 解解:(1):(1)的的无无偏偏估估计计分分别别是是22212221, SS拒绝域形式拒绝域形式2S12 3S22),1(322221 kSS或或)1(322221 KSS(k, K待定待定)1, 1( nmF212222212332 SS取取222132SSZ 真真0H 由由|00真真拒拒绝绝HHP或或,322221322221kSSP 322221KSS KZPkZP 0 xF(m-1, n-1) /2Kkf (x)故故 /2)1, 1(2 nmFk )1, 1(21 nmFK 数据代入数据代入的的

6、无无偏偏估估计计分分别别是是22212221, )2( TT拒绝域形式拒绝域形式),1(322221 kTT或或)1(322221 KTT(k, K待定待定) miiXmT121211 niiYnT122221 由由|00真真拒拒绝绝HHP或或,322221322221kTTP 322221KTT KZPkZP 0 xF(m, n) /2Kkf (x)故故 /2),(2nmFk ),(21nmFK 数据代入数据代入212222212332 TT),(nmF取取222132TTZ 真真0H 解解：设第一堆砖的抗折强度设第一堆砖的抗折强度 XN(1, 12) 第二堆砖的抗折强度为第二堆砖的抗折强度

7、为 YN(2, 22) S12=40.96, S22=14.44, S12/S22= 40.96/14.44=2.837 F0.025(9, 7)=4.82, F0.975(9,7)=1/F0.025(7,9)=1/4.20=0.283 在显著性水平在显著性水平=0.05下，检验假设下，检验假设 H0: 12 = 22 , H1: 12 22接受接受H0, 即在即在=0.05下认为抗折强度的方差无差异下认为抗折强度的方差无差异.283. 0837. 2, 且且即在即在=0.05下认为两堆砖是同一批生产的下认为两堆砖是同一批生产的. 在显著性水平在显著性水平=0.05下，检验假设下，检验假设 H

8、0: 1=2 , H1: 12 t 0.025(16)=2.1199接受接受H0. 体验过前面假设检验过程，我们看到对于不同体验过前面假设检验过程，我们看到对于不同参数形式或者已知条件，必须采用不同的检验分布参数形式或者已知条件，必须采用不同的检验分布和方法和方法。那么有没有统一的检验方法可以对所有的。那么有没有统一的检验方法可以对所有的参数检验都可行呢？参数检验都可行呢？ 这种方法存在的，我们称其为似然比检验法。这种方法存在的，我们称其为似然比检验法。下面我们讨论单参数模型的似然比检验法。下面我们讨论单参数模型的似然比检验法。 这种方法的这种方法的优点在于可以忽略总体分布和参数优点在于可以忽

9、略总体分布和参数的种种条件限制，采用统一的方法进行检验，的种种条件限制，采用统一的方法进行检验，可以可以证明在样本充分大的情况下结论跟我们前面的方法证明在样本充分大的情况下结论跟我们前面的方法是一致的。是一致的。一个结论：一个结论：二、非参数检验二、非参数检验1、总体分布的检验、总体分布的检验检验的基本原理：检验的基本原理：(i)针对问题针对问题 假设样本假设样本 但是总体分布未知，但是总体分布未知，由观测值由观测值x1，xn检验假设检验假设其中其中 为已知分布，若存在未知参数为已知分布，若存在未知参数，则用点估计替代参数则用点估计替代参数21) 分布的分布的 拟合优度检验拟合优度检验);()

10、(:);()(:0100 xFxFHxFxFH，XXXiidn1 0( )F x(ii) 构造统计量：构造统计量： 将将F(x)的定义域划分为的定义域划分为k个互不相交的区个互不相交的区间间 (ai , ai+1 ，i =1,2, k；记；记fi为样本观察值为样本观察值x1, x2, , xn落在第个区间落在第个区间(ai ,ai+1 内的频数，内的频数，并记为：并记为： Pi=Pai X ai+1= F(ai+1)-F(ai ) 为以为以F(x)为分布函数的随机变量在区间为分布函数的随机变量在区间 (ai, ai+1 上取值的概率，上取值的概率，i =1,2, k。 则当则当H0为真时，为真

11、时，实际频率实际频率与与其概率其概率Pi之间的之间的差异并不显著差异并不显著，于是显然可以用统计量来刻画它于是显然可以用统计量来刻画它们间总的差异的大小。其中们间总的差异的大小。其中nPi为理论频数为理论频数，fi为为实际频数。当实际频数。当H0为真时，下式的值就应当较小为真时，下式的值就应当较小 221()kiiiifnPnP(iii) 显著性检验：显著性检验： 可以证明，当可以证明，当n充分大时充分大时(n50)，若，若H0为为真，则统计量真，则统计量 近似服从近似服从 (k -r -1)分布。其中分布。其中r为分布为分布F(x)中待定参数的个数。中待定参数的个数。 221()kiiiif

12、nPnP2在给定检验水平在给定检验水平 下，若下，若22(1)k r 就拒绝就拒绝H0，说明总体，说明总体X的真实分布函数与的真实分布函数与F(x)间间存在显著差异；否则接受存在显著差异；否则接受H0 ，即可以认为两者，即可以认为两者在水平在水平 下并无显著差异。下并无显著差异。组合圆黄皱黄圆绿皱绿nn i31510110832556组合组合圆黄圆黄皱黄皱黄圆绿圆绿皱绿皱绿概率概率9/163/163/161/16试给定检验水平试给定检验水平0.05下，证明孟德尔理论。下，证明孟德尔理论。组合组合圆黄圆黄皱黄皱黄圆绿圆绿皱绿皱绿理论频数理论频数312.75104.25104.2534.75实际频

13、数实际频数31510110832例：某厂有一台经常需要维修的设备，该设例：某厂有一台经常需要维修的设备，该设备中有一个易损坏的重负荷轴承，设备故备中有一个易损坏的重负荷轴承，设备故障的主要原因是轴承损坏。为了制定该设障的主要原因是轴承损坏。为了制定该设备的维修计划和维修预算，需要了解该轴备的维修计划和维修预算，需要了解该轴承的寿命分布。下表给出了承的寿命分布。下表给出了100个轴承寿命个轴承寿命的观察数据，问：该轴承寿命是否服从正的观察数据，问：该轴承寿命是否服从正态分布？态分布？107 155 105 148 49 143 120 115 142 87 103 141 118 168 123

14、 105 80 107 172 122 89 69 97 135 92 31 68 88 95 146 99 121 104 63 12 57 120 139 107 156 167 136 173 136 179 129 88 75 144 105 192 149 128 111 127 91 103 145 113 114 123 136 8 190 181 121 158 83 223 93 72 120 130 103 144 89 113 60 76 176 94 190 139 140 151 145 142 118 185 140 59 118 212 117 52 128 16

15、8 174 155 116 解：由表中数据，用Excel可求得 =120.95， S2=402.582 ， 故可作原假设 H0：X N (120，402) 将实轴划分为如下7个互不相交的区间。用Excel的FREQUENCY函数计算数据落在各区间内的频数，用NORMDIST函数求出各理论频数nPi ，统计量的计算如表所示。x区 间 fi nPi iiinPnPf2)( (- , 70 11 10.56 0.0183 (70, 90 10 12.10 0.3645 (90, 110 18 17.47 0.0161 (110, 130 21 19.74 0.0804 (130, 150 19 17

16、.47 0.1340 (150, 170 10 12.10 0.3645 (170, +) 11 10.56 0.0183 合计 100 100 0.9961 取显著性水平 = 0.05 本例中k = 7，r = 2，k r -1 = 4。故在水平 = 0.05下接受原假设H0 ，即可认为该轴承的使用寿命服从N (120，402)分布。问：为什么要k = 7， k 取其他的可以么，8,9？220.050.9961(4)9.4862) 正态概率纸检验正态概率纸检验 由于正态分布式统计中使用最为广泛的一种分由于正态分布式统计中使用最为广泛的一种分布，因此正态性检验可以说是最主要的一个分布检验。布，

17、因此正态性检验可以说是最主要的一个分布检验。上一节我们讲了拟合优度检验可以检验正态性，这里上一节我们讲了拟合优度检验可以检验正态性，这里我们介绍一种非常直观的检验：我们介绍一种非常直观的检验：正态概率纸检验法正态概率纸检验法。 首先将样本进行排序，并且记为首先将样本进行排序，并且记为(1)(2)( )nxxx记记 为标准正态分布为标准正态分布N(0.1)的下的下i/n分位点。分位点。/ i n0 xN(0,1)/ i ni/n可以证明：若数据服从正态分布，可以证明：若数据服从正态分布，数据对（数据对（ ， ）(i=1,2n)做做成直角坐标系中的点，那么这些点成直角坐标系中的点，那么这些点应该大

18、致呈一种直线分布情况。应该大致呈一种直线分布情况。( ) ix/ i n在实际操作中，我们在一种特殊的在实际操作中，我们在一种特殊的x-q坐标系中做出坐标系中做出来（来（ ， ）的散点图，在这种坐标系中，）的散点图，在这种坐标系中，x轴轴使用的是均匀刻度，而使用的是均匀刻度，而q轴使用的是转换后的轴使用的是转换后的 的坐标系。的坐标系。( ) ix/ i nq例如例如某校某校60名学生的一次考试成绩如下名学生的一次考试成绩如下:93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55检验其正态性。检验其正态性。说明：很多计算工具已经可以直接调用相应的命令说