不定积分第一类换元法精编版

1、不定积分第一类换元法(凑微分法)一、方法简介设f(x)具有原函数F(u)，即F(u)=f(u),jf(u)du=F(u)+C，如果U是中间变量，u=%x)，且设中(x)可微，那么根据复合函数微分法，有dF(x)=f(x)(x)dx从而根据不定积分的定义得f，(x)、(x)dx=F(x)C=.f(u)duu=,x).则有定理：设f(u)具有原函数，u=%x)可导，则有换元公式f(x),(x)dx=.f(u)duu=3由此定理可见，虽然jfpp(x)啊(x)dx是一个整体的记号，但如用导数记号曳dx中的dx及dy可看作微分，被积表达式中的dx也可当做变量x的微分来对待，从而微分等式中(x)dx=d

2、u可以方便地应用到被积表达式中。几大类常见的凑微分形式：1f(ax+b)dxf(ax+b)d(ax+b)(a#0);a2 Jf(sinx)cosxdx=Jf(sinx)dsinx,Jf(cosx)sinxdx=f(cosx)dcosx,_dxdxJf(tanx)=if(tanx)dtanx,Jf(cotx)=一jf(cotx)dcotx；cosxsinxJf(lnx)1dx=if(lnx)dlnx,if(ex)exdx=ff(ex)dex;xnn41nn1dx11ff(x)xdx=Jf(x)dx(n#0),f(一)=一jf(一)d(),nxxxx“(衣)半=2“(7(占)；x1 Jf(arcs

3、inx),dx-x2f(arcsinx)darcsinx;f(arctanx)dx1x2=ff(arctanx)darctanx;二、典型例题一1一f(axb)dxf(axb)d(axb)(a=0);a例3.xdx11x2(1x2)3例1.(2x-1)2010dx31 例2.x1x2例4.fxxdx1.1-x41.解：令u=2x-1,du=2dx,(2x-1)2010dx2011u2011(2x-1)20112011解：令t=x2,tdt1(t11)dt1x2_1t2.1t.11t1d(t1)=d(t1)2t1=12(t1)-12.1tC=1(x21产一1x2C23233.解:xdx1d(1x

4、2)=I,1x2、(1x2)322221x-(lx),(1x2)(1x2)3令1x2=tdtVt+t2d(_t_1)一1一=2,1tC=2.11x2C3xx4.解：tdx=f3x1-x4xdxdx1-x4x41d(1-x)一4匚xdx24-x1.2厂arcsinxC2121一x441=亏(arcsinx一1x)C2Jf(sinx)cosxdx=Jf(sinx)dsinx,Jf(cosx)sinxdx=Jf(cosx)dcosx,dxf(tanx)cosx例1.tanxdx2例3.1sinxcosx1dx21sinx例5.dx31sinxcosx例7.设a,b为常数,dx=jf(tanx)dta

5、nx,ff(cotx)=-ff(cotx)dcotx；sinx例2.dx2sin2x例4.1sinxcosx例6.s4nxco气dx1sinxcosx:tanx.1=22dxasinxbcosxdu=-sinxdx,du1.解：设u=cosx,sinx,tanxdx=dx=-cosxu一du=sinxdx-ln(u)C-ln(cosx)C2.解:3.解:x.，、.dx=xd(cotx)-xcotxcotxdxsinx=-xcotxlnsinxC:dxdx=o22-cosx2-cosx1sinxcosx1sin2d(cosx)2d(sinx)12sin2x1,2cosxcos2x(2sec2x-

6、1)2、2“2-cosx质耐)dx1.2cosxlnarctan(sinx)2,22-cosxdtanx212tan2x1.2cosx1八lnarctan(sinx)arctan(2tanx)C222-cosx-24.解:dx-_4sinxcosxc2.2sinxcosx,4dxsinxcosxsinx,.dxcosxc2.2sinxcosx,2dxsinxcosx5.解：fsinxcosdcosx4-cosx1dcosxcosx1dxsinx+lncscx3cosxcosxtanxcosx-cotxC_22sinxcosx,dtanxx.2tanxcos21tanxx+lntanx+C1dt

7、anx=tantanx26.解：令u=2x,sinxcosx.44sinxcosx再令v=cosu,有1dx=2sin2x21.2、cos2xsin2x2dcosu1dx=442112cosucosu221.八1-arctanvC=-arctan(cos2x)C22sinu,du212cosusinu2dvTV7.解:Itanx222dx=cosx(atanxb)tanxdtanx222atanxb12a2d(a2tan2xb2)222atanxb122.2_2ln(atanxb)C2a3f(lnx)1dxxrrziIIr_t/X、x,r_t/X、,xJf(lnx)dlnx,)f(e)edx=

8、Jf(e)de;例1.（d；n）3例2.e5xdx21 例3.edx24e例7.xedx1ex-2例4.二d=2例5.dx1(1e2)2lntanx例8.dxcosxsinx1.解:dxx(12lnx)dlnx12lnxd(1+2lnx)1c,c=一f=ln1+2lnx+C1+2lnx22.解：令u=5x,du=5dxe5xdx=1eudu=1euC55u+C解：令u=3+4ex,du=4exdxdx4e1x-ln(34ex)C4.解：令u=ln1.du=dxxdx1.八du=arcsinuCxd-ln=arcsin(lnx)C5.解:1exdx=(1e2)2-2exdx(1e2)2(1e)2

9、(1e2)26.解:xx23dxxx947.解:xxe(1e)21e2歹1dx=32x(-)2x-12(ln3-ln2)Inln2(ln3-ln2)dx=xd(e2)ex-2、ex-23vd顷31、x2ln(二)-13x顷-1（2）x13x-2x3x2x2xd(，ex-2)=2xex2-2!ex-2dx原式=2x,ex-2=2xex-22一4(1一次dtt22-2dt2tx2x222tve-2=t,e=2t,x=ln(2t),dx=dt2tx312tx-2tdt=2x、e-2-42t2=2x.ex-21tc-4t8arctanCe；C22=2xex-2-4.ex-24、2arctanQ时Int

10、anxjIntanx.8.角牛：dx=dtanx=lntanxd(lntanx)cosxsinxtanx八，、2_(lntanx)c一24f(xn)xnJ1dx=】f(xn)dxn1dx(n#0),f(E=,11f()d(一),xx例1.2dxf(.x)dx=2f(、.x)d(、.x).x例2.J二一dx4.1x2x1x4例3.dx1-x例4.京1nx+!1nx,b)2例5；37dx1例6.dx(a0)1x(ax)例7arcsin膈11-x1 1.解：dJx=dx.x3x_dx=2e3xdxe3%l(3.x)=2e3C332dx21x212:2)d(1x)1x3.解:x(1x).dx=.l-x

11、21x1x.dx=,1-x1对丁右端第一个积分，凑微分得1(1-x2)3(1_x2)xdx_+_-x21x2dx2-xJxdx=-x2第二个积分中，2X-d-x2=-，1一x2Cdx=用代换x=sintsin211-costcostdt=dtcost2=11sin2tC=arcsinx一x.1一x-(lnxa)2(lnxb)2C3(a-b)C2422112一原式=-arcsinx-五(x2)1-xC4.解:x(lnxa-,lnxb广七；,、dxdxx(ab)1a5.解:13(x-1)xx22一dx=-用(1-)2d(*=G：(1-l)2d(1：)1.2,16.解:dx.x(a-x)=2d-xa

12、一(x)=2arcsin+c2.a7.解:arcsinx,dx1一x=-2arcsin.xd(、1-x).1.lnxad(lnxa)lnxbd(lnxb)-ba-b=-21-xarcsin。x+2dVxJ-x-2一1一xarcsin.x2,xC态.、dx5f(arcsinx)=f(arcsinx)darcsinx1-x2=Jf(arctanx)darctanx;-dxf(arctanx)21x22arccosx10.3例1.dx1-x2arctan、,x囹例2.dxx(1x)例3.1arctanxdx1x(1x)xdx1例4.42、31-x(arcsinx)例5.1.解:2arccosxdx=

13、i-102arccosxd.1-x22arccosx10carccosx=C2ln102.解:arctanx,dx=.x(1x)2arctanxd.x=2arctan、xd(arctan一x)3.解:=(arctan.x)2C.1arctanx,一:dx.x(1x)_.1arctan.xx1(x)2X=2i：/1-arctanxd(arctan、，x1)-=-(1arctan、x)2C4.解:xdx4，dx2,1-x4(arcsinx2)32(arcsinx2)3,1-x4darcsinx2312(arcsinx2)2arcsinx1x顼2dxxJ-x2-(arcsinx2广C5.解:arcs

14、inx1.、2厂dx=arcsinxd(arcsinx)=?(arcsinx)C令x=sint,x2：1-x2dsintsin2E-sin21arcsinx,dxx2.1-x2.1-x2、.,=arcsinxd()=-arcsinx(1_x2arcsinxinxCarcsinx2x21x21一x2dxarcsinx=J1二之arcsinx、,)dxx21-x2InxCx21J4例1.一dxx1,1arctan-例2./dx11x例3.in-dx11-x21-x例4.ln(x.1x2山乂11x2例5.1cosx1dxsinx例6.ex()dx1cosx1.解:x21.*x2x2xdxd(x-)x

15、(x-1)22x2.解:3.解:1=2arctan1xx1 2x2-1-CarctanC2x1(arctan)x11(1)2x()=x1x2,1arctandx1x21x(inl)=1-x17indx1-x21-x,1、.1、=-(arctan_)d(arctan)xx112Z(arctan)C21-x21x.1x1x、=一ind(ln)1-x1-x11x2c=4(inK)C4.解:,dx=ln(x+Jx牟俊霖等2004年洞察考研数学（理工类）一一名师授课听课笔记M航空工业出版社,2003.同济大学数学系高等数学（第五版）M高等教育出版社，2003.+1)+Cln(x、1x2)1x2.x21dx=.ln(x1x2)d(ln(x,x21)22刘玉琏、傅沛仁等数学分析讲义（第五版）M高等教育出版社，2008.李正元、李永乐、袁荫棠2011年数学复习全书数学一（理工类）M国家行政学院出版社，2010.八=-