第六章振动和波动物理学

1、1第六章第六章 振动和波动振动和波动2第六章第六章 振动和波动振动和波动 6-1 简谐振动简谐振动 6-2 简谐振动的叠加简谐振动的叠加 6-3 阻尼振动、受迫振动和共振阻尼振动、受迫振动和共振 6-4 关于波动的基本概念关于波动的基本概念 6-5 简谐波简谐波 6-6 波动方程和波的能量波动方程和波的能量 6-7 波的干涉波的干涉 6-8 多普勒效应多普勒效应* 6-9 声波、超声波和次声波声波、超声波和次声波36-1 简谐振动简谐振动一、简谐振动一、简谐振动(simple harmonic vibration )的基本特征的基本特征以弹簧振子为例讨论，以弹簧振子为例讨论，弹簧振子是典型的简

2、谐弹簧振子是典型的简谐振动振动xxMO弹簧的弹力弹簧的弹力kxF-=根据牛顿第二定律有根据牛顿第二定律有kxtxmmaF-=dd=22所以所以0dd222xtxmk2其解其解)cos(tAx（以后只取此式的形式）（以后只取此式的形式） 或或)sin(tAx4 任何物理量任何物理量x 的变化规律若满足方程式的变化规律若满足方程式 ,并且并且是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化过程就是简谐振动。过程就是简谐振动。0dd222xtx二、描述简谐振动的特征量二、描述简谐振动的特征量1. 振幅振幅A振动物体离开平衡位置的最大幅度振动物体离开平衡位置的最大幅度在

3、在SI制中，单位为制中，单位为 m(米米) 2. 周期和频率周期和频率周期周期T 振动物体完成一次振动所需的时间振动物体完成一次振动所需的时间 频率频率n n 振动物体在振动物体在1 秒内所完成振动的次数秒内所完成振动的次数圆频率圆频率 振动物体在振动物体在1 秒内所完成振动的次数秒内所完成振动的次数5yMOPxt三者关系三者关系T1 nT22n在在SI制中制中, 单位分别为单位分别为 周期周期 S (秒秒)、频率、频率 Hz (赫赫兹兹)、角频率、角频率 rads-1 (弧度弧度 / 秒秒) 二、简谐振动的矢量图解法和复数解法二、简谐振动的矢量图解法和复数解法简谐振动可以用旋转矢量来描绘简谐

4、振动可以用旋转矢量来描绘t=0时刻时刻, 投影点位移投影点位移cos0Ax 在任意时刻在任意时刻, 投影点的位移投影点的位移)cos(tAx简谐振动曲线如图简谐振动曲线如图以上描述简谐振动的方法称为简以上描述简谐振动的方法称为简谐振动的谐振动的矢量图解法矢量图解法.AtGHIJKLMNTT6简谐量的复数表示简谐量的复数表示cos()sin()()xAAtAtteii简谐量简谐量 是复数是复数 的实部，振幅与模相对应，相的实部，振幅与模相对应，相位与辐角相对应。位与辐角相对应。xx 例例 1：有一劲度系数为：有一劲度系数为32.0 N m-1 的轻弹簧的轻弹簧, 放置放置在光滑的水平面上，其一端

5、被固定在光滑的水平面上，其一端被固定, 另一端系一质量另一端系一质量为为500 g的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡位置衡位置10.0 cm 处，然后将物体由静止释放处，然后将物体由静止释放, 物体将物体将在水平面上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动在水平面上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动的位移、速度和加速度与时间的关系。的位移、速度和加速度与时间的关系。 7解：解：设物体沿设物体沿x 轴作简谐振动轴作简谐振动 A = 10.0 cm = 0.100 m 1 -1srad008srad5000032.mk当当t = 0 时时 ，x = A ，co

6、s =1 ， 即即 = 0 所以所以 x = 0.100 cos 8.00 t m 速度、加速度的最大值为速度、加速度的最大值为 vm = A = 8.000.100 m s 1 = 0.800 m s 1 am= 2 A = (8.00)2 0.100 m s 2 = 6.40 m s 2 v = 0.800 sin 8.00 t m s 1 a = 6.40 cos 8.00 t m s 2 所以所以8 例例 2：已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试：已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写出该振动的位移与时间的关系。写出该振动的位移与时间的关系。 P 2.0-2.0 x/cmt/s-4.0

7、 4.01O解：由图知解：由图知 A = 4.0102 m 当当 t =0 时，时， 0,2=00vAx由式由式 x0 = A cos v0 = A sin 解得解得 3)3(cos100 . 42tx所以所以 m 又由曲线知又由曲线知 当当 t =1s 时时, ,x =0, ,代入上式得代入上式得 04 01032.cos()m 9所以所以 32因因 0即即()2356rad srad s-1-1简谐振动的表达式为简谐振动的表达式为)365(cos100 . 42tx四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量以弹簧振子为例以弹簧振子为例x = A cos ( t+) v = A sin ( t+)

8、 EmvmAtk12122222sin ()Ek xkAtp1212222cos ()由以上两式可见，由以上两式可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所以动能也达到最大值。以动能也达到最大值。 10EEEmAtkAtkp121222222sin ()cos ()总能量总能量因为因为2 km/EmAkA1212222所以所以由此式可见由此式可见, , 尽

9、管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化间作周期性变化, , 但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比成正比。 由公式由公式 Emvk xkA121212222得得 vkmAxAx ()2222此式表明，此式表明，在平衡位置处，在平衡位置处，x = 0, = 0, 速度为最大；速度为最大；在最大位移处，在最大位移处，x = A, , 速度为零速度为零。 11 例例 3：长为：长为l 的无弹性细线，一端固定在的无弹性细线，一端固定在A点，另一点，另一端悬挂质量为端悬挂质量为m的物体。静止时，细线沿竖直方向，

10、的物体。静止时，细线沿竖直方向，物体处于点物体处于点O，是系统的平衡位置。若将物体移离平，是系统的平衡位置。若将物体移离平衡位置，与竖直方向夹一小角度衡位置，与竖直方向夹一小角度 ，由静止释放，由静止释放, 物体物体就在平衡位置附近往返摆动就在平衡位置附近往返摆动, 称为称为单摆单摆。证明。证明单摆的单摆的振动是简谐振动振动是简谐振动，并分析其能量。，并分析其能量。 hOAmgsinmgcosgmf解解:物体受物体受 和和 两个力作用两个力作用, gmf根据牛顿第二定律得根据牛顿第二定律得mltmgdd22 sin当偏角当偏角 很小时很小时， sin 所以所以 mltmgdd22 12即即 d

11、d2220 t其中其中2gl解微分方程得解微分方程得 = 0 cos ( t+) 这说明在偏角这说明在偏角 很小时很小时, 单摆的振动是简谐振动单摆的振动是简谐振动 单摆系统的机械能包括两部分单摆系统的机械能包括两部分: Emvm lmltk1212122220222()sin ()动能动能 势能势能 Ep = m g h = m g l (1-cos ) 将将cos 展开展开 cos! 1246246因为因为 很小很小, 上式只取前两项上式只取前两项 13所以所以 Emglmgltp12122022cos ()因为因为 2gl所以所以 Emglml1212022202 上式表示上式表示, ,

12、 尽管在简谐振动过程中，单摆系统的尽管在简谐振动过程中，单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量是恒动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。定不变的，并与振幅的平方成正比。 总能量总能量 pkEEE)(cos)(sintl gmtlmE22022202212114)2A1A21xyox2x16-2 简谐振动的叠加简谐振动的叠加一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成设有两个同频率的简谐振动设有两个同频率的简谐振动)cos(111tAx)cos(222tAx合振动合振动)cos()cos(221121tAtAxxx

13、由矢量图得由矢量图得)cos(tAx（仍为同频率谐振动）（仍为同频率谐振动）x)A而而)cos(212212221AAAAAarctanAAAA11221122sinsincoscos15讨论讨论：1., 2 , 1 , 0212kk2., 2 , 1 , 0) 12(12kk合振幅减小，合振幅减小，振动减弱振动减弱21AAA 合振幅最大，合振幅最大，振动加强振动加强21AAA123. 一般情况一般情况 为任意值为任意值2121AAAAA2AA1A2AA1A2AA1AA1A2A1A2A16xyO二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成两简谐振动分别为

14、两简谐振动分别为)cos(1111tAx)cos(2222tAx合振动合振动)cos()cos(22211121tAtAxxx合振动不再是简谐振动，合振动不再是简谐振动，而是一种复杂振动而是一种复杂振动矢量图解法矢量图解法 如图如图A1A2A121AA2A21由矢量图得合振动的振幅为由矢量图得合振动的振幅为AAAA At12221221212cos()()17 由于两个分振动频率的微小差异而由于两个分振动频率的微小差异而 产生的合振产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象动振幅时强时弱的现象称为拍现象。 合振动在合振动在1s内加强或减弱的次数称为内加强或减弱的次数称为拍频拍频。拍频为拍频为12

15、nnn三角函数法三角函数法设两个简谐振动的振幅和初相位相同设两个简谐振动的振幅和初相位相同合振动为合振动为)2cos()2cos(2)cos()cos(12122121ttAtAtAxxx)cos(11tAx)cos(22tAx18拍的振幅为拍的振幅为)cos(tA2212振幅的周期为振幅的周期为121222)(T拍频为拍频为nnn122121T拍的振动曲线如右图拍的振动曲线如右图三、两个互相垂直的简谐振动的合成三、两个互相垂直的简谐振动的合成两简谐振动为两简谐振动为)cos(tAx（1）)cos(tBy（2）19以以cos 乘以乘以(3)式，式，cos 乘以乘以(4)式，后相减得式，后相减得

16、 改写为改写为sinsincoscosttAxsinsincoscosttBy（3）（4）)sin(sincoscostByAx（5）)(sin)cos(222222ABxyByAx以以sin 乘以乘以(3)式，式，sin 乘以乘以(4)式后相减得式后相减得 (5)式、式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程式分别平方后相加得合振动的轨迹方程 )sin(cossinsintByAx（6）20 此式表明，此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的形状决定于分振动的相位差（形状决定于

17、分振动的相位差（ ）。）。 xA o-A-BBaby讨论：讨论： 1. 0 或或 时时02)(ByAx即即xABy合振动的轨迹是通过坐标原点合振动的轨迹是通过坐标原点的直线，如图所示。的直线，如图所示。 0 时，时，相位相同，取正号，斜率为相位相同，取正号，斜率为B/A。 时，时，相位相反，取负号，斜率为相位相反，取负号，斜率为-B/A。 合振动的振幅合振动的振幅 22BAC212. 当当 2时时xAyB22221 合振动的轨迹是以坐标轴为合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的正椭圆，如右图所示。主轴的正椭圆，如右图所示。 = /2 时，时，合振动沿顺时针方向进行；合振动沿顺时针方向进行； = /2

18、时，时，合振动沿逆时针方向进行。合振动沿逆时针方向进行。 A=B，椭圆变为正圆，如右图所示。，椭圆变为正圆，如右图所示。xABoy-A-BxAA-A-Ayo223.3.如果如果()不是上述数不是上述数值，那么合振动的轨迹值，那么合振动的轨迹为椭圆，其范围处于边为椭圆，其范围处于边长分别为长分别为2A(x方向方向) )和和2B(y方向方向)的矩形内。的矩形内。 两个分振动的频率相两个分振动的频率相差较大，但有简单的整差较大，但有简单的整数比关系，合振动曲线数比关系，合振动曲线称为称为利萨如图形利萨如图形。 23*四、振动的分解四、振动的分解 一个复杂的振动可以是由两个或两个以上的一个复杂的振动可

19、以是由两个或两个以上的 简谐振动所合成。简谐振动所合成。 把有限个或无限个周把有限个或无限个周期分别为期分别为T ,T/2,T/3, ( (或角频率分别为或角频率分别为 ,2,2 , , 3 3 , ,) )的简谐振动合成的简谐振动合成起来，所得合振动也一起来，所得合振动也一定是周期为定是周期为T T 的周期性的周期性振动。振动。 24 将复杂的周期性振动分解为一系列简谐振动的将复杂的周期性振动分解为一系列简谐振动的操作，称为操作，称为频谱分析频谱分析。 将每项的振幅将每项的振幅A和对应的角频率和对应的角频率 画成图线，就画成图线，就是该复杂振动的是该复杂振动的频谱频谱 (frequency

20、spectrum)，其中其中每一条短线称为每一条短线称为谱线谱线。 OA周期性函数周期性函数 f (t) 的的傅里叶级数傅里叶级数可表示为可表示为10nnntnAAtf)(cos)(256-3 阻尼振动、受迫振动和共振阻尼振动、受迫振动和共振一、阻尼振动一、阻尼振动 (damped vibration)振幅随时间减小的振动称为振幅随时间减小的振动称为阻尼振动阻尼振动。以物体受流体阻力作用下的振动为例以物体受流体阻力作用下的振动为例阻力为阻力为物体的振动方程物体的振动方程txvfdd0dddd22xktxtxm令令 则有则有,mmk220dddd220220 xtxtx式中式中0称为振动系统的称

21、为振动系统的固有角频率固有角频率，称为称为阻阻尼常量尼常量。26讨论：讨论：1. 当当 2 02 时，阻尼较小时，阻尼较小 ，上式，上式的解为的解为 )(costAxte0其中其中 220振动曲线如图，是一种准周期性运动。振动曲线如图，是一种准周期性运动。 周期为周期为22022T2. 当当 2 02 时时， 阻尼较大，即过阻阻尼较大，即过阻尼，不再是周期性的了尼，不再是周期性的了, 如图。如图。3. 当当 2 02时，临界阻尼状态，如图。时，临界阻尼状态，如图。t欠阻尼欠阻尼)(txt过阻尼过阻尼)(txt临界阻尼临界阻尼)(tx27二、受迫振动二、受迫振动 (forced vibratio

22、n)在周期性外力作用下发生的振动，称为在周期性外力作用下发生的振动，称为受迫振动受迫振动。引起受迫振动的周期性外力称为引起受迫振动的周期性外力称为驱动力驱动力。设驱动力为设驱动力为 F cos t，则振动方程，则振动方程 tFxktxtxmcosdddd22此式表示此式表示, 受迫振动是由阻尼振动受迫振动是由阻尼振动 和简谐振动和简谐振动 两项叠加而成的。两项叠加而成的。 )(costAte0)cos(tA或或thxtxtxcos2022dd2dd(1)其解其解)(cos)(costAtAxte0(2)28可见，可见，稳定状态的受迫振动是一个与简谐驱动力稳定状态的受迫振动是一个与简谐驱动力同频

23、率的简谐振动同频率的简谐振动。 将将(3)式代入式代入(1)得得thtAtAcos)sin()cos()(2220由此得由此得将将cos ( t ) 和和 sin ( t ) 展开，则展开，则 thtAAtAAcossincos2sin)(+cossin2cos)(220220hAAsin2cos)(220(4)受迫振动达到稳定状态时受迫振动达到稳定状态时)cos(tAx(3)0cos2sin)(220AA(5)29由由(6)式求得式求得2222204)(2sin2222202204)(cos由式由式(6)和式和式(7)看出，受迫振动的初相位看出，受迫振动的初相位 和振和振幅幅A不仅与振动系统

24、自身的性质有关，而且与驱不仅与振动系统自身的性质有关，而且与驱动力的频率和幅度有关。动力的频率和幅度有关。 将上两式代入将上两式代入(4)式得式得2222204)(hA(7)由由(4)式求得式求得2202tanarc(6)30三、共振三、共振 (resonance) 当驱动力的角频率接近系统的固有角频率时，当驱动力的角频率接近系统的固有角频率时，受迫振动振幅急剧增大的现象受迫振动振幅急剧增大的现象 ，称为，称为共振共振。振幅振幅达到最大值时的角频率达到最大值时的角频率称为称为共振角频率共振角频率。 对对(7)式求极大值得共振角频率为式求极大值得共振角频率为可见，可见，系统的共振角频率既与系统的

25、共振角频率既与系统自身的性质有关，也与阻系统自身的性质有关，也与阻尼常量有关尼常量有关。 将将(8)式代入式代入(7)式得共振时振幅峰值为式得共振时振幅峰值为220r2hA220r2(8)316-4 6-4 关于波动的基本概念关于波动的基本概念一、波的产生和传播一、波的产生和传播弹性介质和波源弹性介质和波源机械波产生的条件机械波产生的条件弹性介质弹性介质是指由弹性力组合的连续介质。是指由弹性力组合的连续介质。 波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力将波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力将振动传播开去，从而形成振动传播开去，从而形成机械波机械波。 波动波动(wave) (或行波或行波)是振动状

26、态的传播，是能是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。量的传播，而不是质点的传播。二、横波二、横波(transverse wave)和纵波和纵波(longitudinal wave) 横波横波参与波动的质点的振动方向与波的传参与波动的质点的振动方向与波的传播方向相垂直的波，如电磁波。播方向相垂直的波，如电磁波。32 纵波纵波参与波动的质点的振动方向与波的传参与波动的质点的振动方向与波的传播方向相平行的波，如声波。播方向相平行的波，如声波。 任一波，例如：水波、地表波，都能分解为任一波，例如：水波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。横波与纵波来进行研究。三、波线和波面三、波线和波

27、面 波线波线(wave ray)（或波射线）（或波射线） 从波源沿各传播方向所画的带箭头的线。从波源沿各传播方向所画的带箭头的线。 波面波面(wave surface)（或相面、波阵面）（或相面、波阵面） 波在传播过程中，所有振动相位相同的点波在传播过程中，所有振动相位相同的点 连成的面。连成的面。33球面波，平面波球面波，平面波在各向同性的均匀介质中，在各向同性的均匀介质中，波线与波面垂直。波线与波面垂直。四、波速、波长以及波的周期和频率四、波速、波长以及波的周期和频率波速波速u：单位时间内振动传播的距离，也就是波面：单位时间内振动传播的距离，也就是波面 向前推进的速率。向前推进的速率。固体

28、中横波的波速固体中横波的波速 Gu (G为切变模量，为切变模量， 为密度为密度) 固体中纵波的波速固体中纵波的波速 Yu (Y为杨氏模量为杨氏模量) 流体中纵波的波速流体中纵波的波速 Bu B为体变模为体变模量，定义为量，定义为VVpB34波长波长l：沿同一波线上相位差为：沿同一波线上相位差为2 的两个相邻质的两个相邻质 点间的距离。点间的距离。横波：波长等于两相邻波峰之间或相邻波谷之间的距离。横波：波长等于两相邻波峰之间或相邻波谷之间的距离。纵波：波长等于两相邻密部之间或相邻疏部之间的距离。纵波：波长等于两相邻密部之间或相邻疏部之间的距离。周期周期T：一个完整的波：一个完整的波(即一个波长的

29、波即一个波长的波)通过波线通过波线 上某点所需要的时间。上某点所需要的时间。频率频率n n：单位时间内通过波线上某点完整波的数目单位时间内通过波线上某点完整波的数目。关系：关系：T1nTulnl35五、波动所遵从的基本原理五、波动所遵从的基本原理1. 波的叠加原理波的叠加原理 两列或两列以上的波可以互不影响地同时通过某两列或两列以上的波可以互不影响地同时通过某一区域一区域；在相遇区域内共同在某质点引起的振动在相遇区域内共同在某质点引起的振动，是各列波单独在该质点所引起的振动的合成是各列波单独在该质点所引起的振动的合成。 2. 惠更斯原理惠更斯原理 波所到之处各点，波所到之处各点，都可以看作是发

30、射子都可以看作是发射子波的波源，在以后任波的波源，在以后任一时刻，这些子波的一时刻，这些子波的包络就是波在该时刻包络就是波在该时刻的波面的波面。 36 惠更斯原理不仅适用于机械波，也适用于其它波，惠更斯原理不仅适用于机械波，也适用于其它波，如电磁波等。如电磁波等。例：例：在波线上有相距在波线上有相距2.5 cm的的A、B两点，已知点两点，已知点B的振动相位比点的振动相位比点A落后落后30 ，振动周期为，振动周期为2.0 s ，求波，求波速和波长。速和波长。 解：因在波线上相距解：因在波线上相距l两点的相位差为两点的相位差为2 所以所以m30. 0m105 . 2622l1 -1 -2sm150

31、sm21030.Tul波速为波速为37（C.Huygens , 16291695）点击深色键返回原处点击深色键返回原处386-5 简谐波简谐波 (simple harmonic wave)波源作简谐振动时所形成的波称为波源作简谐振动时所形成的波称为简谐波简谐波。波面为平面的简谐波称为波面为平面的简谐波称为平面简谐波平面简谐波。已知已知O点振动表达式点振动表达式 y0 = A cos t y0表示振动方向上的位移，表示振动方向上的位移，A是振幅，是振幅，是角频是角频率或叫圆频率。率或叫圆频率。 O点振动传到点振动传到P点需要时间点需要时间 ，相位落后，相位落后 ，故故P点的振动为点的振动为uxu

32、xn2)(cos)2cos(uxtAuxtAyn此式是沿此式是沿x轴正方向传播的平面简谐波的表达式，轴正方向传播的平面简谐波的表达式，称为称为平面简谐波波函数平面简谐波波函数。39由由、n、T、l和和u之间关系，之间关系， ， ， 得平面简谐波函数的另一些形式得平面简谐波函数的另一些形式 n22TnluTu yAtTxyAtxyAtkxyAtxcos()cos()cos()cos()222lnll式中式中 称为称为波数波数，表示在表示在2 2 米内所包含的米内所包含的 完整波的数目完整波的数目。 l2k40波函数的物理意义波函数的物理意义1. 当当x 一定时一定时，波函数表示了，波函数表示了距

33、原点为距原点为x 处的质点在不同时处的质点在不同时刻的位移。即刻的位移。即x 处质点的振动处质点的振动方程。方程。2. 当当t 一定时一定时，波函数表示了，波函数表示了给定时刻给定时刻Ox轴上各质点的位轴上各质点的位移分布情况。移分布情况。3. 当当t 和和x都变化时都变化时，波函数表示了所有质点的位移，波函数表示了所有质点的位移随时间变化的整体情况。随时间变化的整体情况。ptTyO4. x前的负号表示波沿前的负号表示波沿x轴正方向传播，称为轴正方向传播，称为右行波右行波；若波沿若波沿x轴负方向传播，负号改为正号，即为轴负方向传播，负号改为正号，即为左行波左行波。puxyOx41一般情况下坐标

34、原点的振动应写为一般情况下坐标原点的振动应写为 )cos(tAy0平面简谐波波函数为平面简谐波波函数为)2cos(lxtAy平面简谐波波函数的复数表示平面简谐波波函数的复数表示 )(uxtAyie该该复数的实部复数的实部才是我们关心的平面简谐波波函数。才是我们关心的平面简谐波波函数。 或者或者 )(kxtAyie42 例例1: 以以y = 0.040 cos 2.5 t m 的形式作简谐振动的的形式作简谐振动的波源，在某种介质中以波源，在某种介质中以100 m s-1的速率传播。的速率传播。 (1) 求求平面简谐波函数；平面简谐波函数；(2) 求在波源起振后求在波源起振后1.0 s、距波源距波

35、源20 m处质点的位移、速度和加速度。处质点的位移、速度和加速度。 解：解：(1)以波源为原点、传播方向为以波源为原点、传播方向为x轴正方向轴正方向,根据题意知根据题意知：A = 0.040 m， = 2.5 rad s 1 ， u = 100 m s 1 )(cosuxtAy波函数为波函数为m100520400)(.cos.xty所以所以(2) 在在x = 20 m 处质点振动表示为处质点振动表示为 y = 0.040 cos 2.5 (t 0.20) m = 0.040 cos (2.5 t 0.50 ) m 43在波源起振后在波源起振后1.0 s时的位移为时的位移为 y = 0.040

36、cos 2.0 m = 4.0 10 2 m 速度为速度为 0sm0 . 2sin040. 05 . 2)20. 0(5 . 2sindd1 -tAtyv加速度为加速度为 2-2-2222sm5 . 2sm0 . 2cos040. 0)5 . 2()20. 0(5 . 2cosddtAtya式中负号表示加速度的方向与位移的方向相反。式中负号表示加速度的方向与位移的方向相反。 44 例例2: 有一简谐波，坐标原点按有一简谐波，坐标原点按y=Acos( t+ )的规律的规律 振动。已知振动。已知A =0.10 m，T =0.50 s，l l =10 m，试求：，试求：(1) 此平面简谐波的波函数；

37、此平面简谐波的波函数；(2) 波线上相距波线上相距2.5m的两的两点的相位差；点的相位差；(3) 假如假如t = 0时处于坐标原点的质点的时处于坐标原点的质点的振动位移为振动位移为 y0 = 0.050m，且向平衡位置运动，求初，且向平衡位置运动，求初相位，并写出波函数。相位，并写出波函数。 解解: (1)波函数为波函数为)(2cos)2cos(lnlxtAxtAy由题意知：由题意知：A = 0.10 m，l l = 10 m， 1 -s021.Tnm)100 . 2(2cos10. 0 xty所以所以45(2) 两点间相位差两点间相位差2105 . 22)5 . 2(2llxx(3)将将t

38、= 0和和y = 0.050 m代入振动方程得代入振动方程得 0.050 = 0.10 cos 于是于是 cos = 0.50 ， = 2由题意知，初时刻位移为正值，向平衡位置运动，由题意知，初时刻位移为正值，向平衡位置运动，所以取所以取3波函数应写为波函数应写为 m3)100 . 2(2cos10. 0 xty466-6 波动方程和波的能量波动方程和波的能量 *一、一维波动方程一、一维波动方程 ( (wave equation) ) 为了从动力学角度研究波的传播规律，假设一为了从动力学角度研究波的传播规律，假设一列平面纵波沿横截面为列平面纵波沿横截面为S、密度为、密度为的均匀直棒传的均匀直棒

39、传播，取棒沿播，取棒沿x轴，波函数表示为轴，波函数表示为 ),(txyy 取棒元取棒元x，如图。两端面受，如图。两端面受到弹性力到弹性力f1和和f2，于是棒元的，于是棒元的运动方程运动方程 2212)(tyxSff47xxyYSf)(1同样同样x+x处的弹力处的弹力f2为为 xxxyYSf)(2棒元所受的合力为棒元所受的合力为 xxyYSxyxyYSffxxx2212)()(棒元原长为棒元原长为 x ，长变为长变为 y ，拉伸应变为拉伸应变为 ，取，取棒元无限缩小时，拉伸应变为棒元无限缩小时，拉伸应变为 ，x处的拉伸应处的拉伸应变记为变记为 。根据胡克定律知。根据胡克定律知x处的弹性力处的弹性

40、力f1： yxyx()yxx因棒元因棒元x很小，略去很小，略去上式中上式中x的高次项，的高次项，得得纵波的波动方程纵波的波动方程2222xyYty48横波的情形横波的情形 如图棒元的剪应变为如图棒元的剪应变为 ，无限缩小时为，无限缩小时为 ， 在在 x 处受弹性力为处受弹性力为 yxyxxxyGSf)(1(G剪切模量剪切模量) ) 在在x+x处所受弹性力处所受弹性力 xxxyGSf)(2棒元所受合力棒元所受合力 xxyGSxyxyGSffxxx)()(2212根据牛顿第二定律得根据牛顿第二定律得2212)(tyxSff49即即 2222)()(tyxSxyxSG整理得整理得2222xyGty上

41、式就是上式就是横波的波动方程。横波的波动方程。 因横波波速为因横波波速为 ，纵波波速为，纵波波速为 ， 所以波动方程统一为所以波动方程统一为 uYGu 22222xyuty这就是这就是波动方程的一般形式波动方程的一般形式 。50二二、波的能量、波的能量 波源的能量随着波传播到波所到达的各处。波源的能量随着波传播到波所到达的各处。以平面简谐纵波为例，如图。取棒元以平面简谐纵波为例，如图。取棒元x ，质量为质量为m = Sx 其动能其动能22k2121vxSvmE波函数为波函数为)(cosuxtAy振动速度振动速度 )(sinuxtAtyvdd棒元的动能棒元的动能 )(sin)(21222kuxt

42、xSAE波传到时棒元的形变波传到时棒元的形变 xyn51ykxyYSYSfn应变弹性力为应变弹性力为式中式中k是把棒看作弹簧时棒的劲度系数。是把棒看作弹簧时棒的劲度系数。 势能为势能为222p)(21)(21)(21xyxSYyxYSykE 由波函数和波速由波函数和波速 可得可得Yu2)(sin)(sin)(uxtYAuxtuAxy 22222222将此式代入上式，得将此式代入上式，得 )(sin)(21222puxtxSAE棒元的总机械能棒元的总机械能 )(sin)(222pkuxtxSAEEE52这表明，这表明，介质中所有参与波动的质点都在不断地接介质中所有参与波动的质点都在不断地接受来自

43、波源的能量，又不断把能量释放出去受来自波源的能量，又不断把能量释放出去。 介质中单位体积的波动能量，称为介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度波的能量密度。 )(sin222uxtAxSEVEw波的能量密度在一个周期内的平均值，称为波的能量密度在一个周期内的平均值，称为平均平均能量密度能量密度。 2221Aw 上式表示，上式表示，波的平均能量密度与振幅的平方、波的平均能量密度与振幅的平方、 频率的平方和介质密度的乘积成正比频率的平方和介质密度的乘积成正比。 53三三、波的能流和能流密度、波的能流和能流密度 (energy flux density) 单位时间内通过介质中某面单位时间内通过介

44、质中某面积的能量积的能量，称为通过该面积，称为通过该面积的的能流能流。 在一个周期内的平均值，称为通过在一个周期内的平均值，称为通过该该面的面的平均能流平均能流 。uSAuSwP2221 单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能流，称为能流，称为能流密度能流密度，也称，也称波强度波强度。 uAuwSPI2221Su546-7 波的干涉波的干涉 (interference) 一、波的干涉现象和规律一、波的干涉现象和规律 两列频率相同、振动方向相同并且相位差恒定的两列频率相同、振动方向相同并且相位差恒定的波相遇，波相遇，在交叠区域的某些位置上，振动始终加强

45、，在交叠区域的某些位置上，振动始终加强，而在另一些位置上，振动始终减弱或抵消而在另一些位置上，振动始终减弱或抵消，这种现，这种现象称为象称为波的干涉波的干涉。 能够产生干涉现象的波，称为能够产生干涉现象的波，称为相干波相干波。 相干条件：相干条件：频率相同、振动方向相同且相位差恒定。频率相同、振动方向相同且相位差恒定。 激发相干波的波源激发相干波的波源，称为，称为相干波源相干波源。 设有两个相干波源设有两个相干波源S1和和S2，其其波源振动表达式波源振动表达式 )cos()cos(2202011010tAytAy1r2r1S2SP55两列波传播到两列波传播到P点引起的振动为点引起的振动为 )2

46、cos()2(cos22221111llrtAyrtAyP点的合振动为点的合振动为 y = y1 + y2 = A cos ( t+ ) 其中其中 )cos(l121221222122rrAAAAA)2cos()2cos()2sin()2sin(=tan222111222111llllrArArArAl12122rr 1r2r1S2SP56干涉加强干涉加强的条件：的条件： , 2 , 1 , 0, 2kkA = A1+A2 干涉减弱干涉减弱的条件：的条件： , 2 , 1 , 0, ) 12(kkA = A1 A2 若若1 = 2，则有，则有 ,2102221kkrrl干涉相长干涉相长 ,)(

47、21021221kkrrl干涉相消干涉相消 称为波程差。称为波程差。57二、驻二、驻 波波 (standing wave) 当两列振幅相同的相当两列振幅相同的相干波沿同一直线相向传干波沿同一直线相向传播时，合成的波是一种播时，合成的波是一种波形不随时间变化的波波形不随时间变化的波，称为称为驻波驻波。 始终静止不动点称为始终静止不动点称为波节波节；振幅始终最大的点；振幅始终最大的点称为称为波腹波腹。 设有两列相干波，分别沿设有两列相干波，分别沿 x 轴正、负方向传播轴正、负方向传播,表达式为表达式为)(2cos1lnxtAy)(2cos2lnxtAy58根据叠加原理，合成的波为根据叠加原理，合成

48、的波为 )(cos)(2cos21lnlnxtAxtAyyytxAlcos)2cos2( 驻波的特点驻波的特点：没有振动状态或相位的传播，而是：没有振动状态或相位的传播，而是介质中各质点作稳定的振动或段与段之间的相位突介质中各质点作稳定的振动或段与段之间的相位突变，与行波完全不同。变，与行波完全不同。振幅最大的位置振幅最大的位置：波腹，对应于：波腹，对应于cos21xl即即xkk 240 1 2l, , ,振幅为零的位置振幅为零的位置：波节，对应于：波节，对应于02coslx59即即 ,)(210412kkxl 驻波的能量：驻波的能量：在驻波中，波腹附近的动能与波节在驻波中，波腹附近的动能与波

49、节附近的势能之间不断进行着互相转换和转移，却没附近的势能之间不断进行着互相转换和转移，却没有能量的定向传播有能量的定向传播。 入射波在反射时入射波在反射时产生了产生了 的相位跃变的现象，称的相位跃变的现象，称为为半波损失半波损失(half-wave loss)。 反射点形成波节、波腹的情况是由反射点形成波节、波腹的情况是由波阻抗波阻抗的量来的量来决定的。决定的。 波阻抗波阻抗 Z = u 如果波被波阻抗较小的介质反射回来，反射点形如果波被波阻抗较小的介质反射回来，反射点形成波腹；如果波被波阻抗较大的介质反射回来，反成波腹；如果波被波阻抗较大的介质反射回来，反射点形成波节射点形成波节。 60 例

50、：例：在同一介质中有两个相干波源分别处于点在同一介质中有两个相干波源分别处于点P和和点点Q，假设平面简谐波沿，假设平面简谐波沿P到到Q连线的方向传播。已知连线的方向传播。已知PQ = 3.0 m。两波源的频率。两波源的频率n n = 100 Hz，振幅相等，振幅相等，P比比Q的相位超前的相位超前 /2，波速，波速u = 400 m s 1 。在。在P、Q延长延长线上线上Q一侧有一点一侧有一点S，S到到Q的距离为的距离为r，试写出两波源，试写出两波源在该点产生的分振动，并求它们的合成。在该点产生的分振动，并求它们的合成。 解：解：取点取点P为坐标原点，建立如图所示的坐标系为坐标原点，建立如图所示

51、的坐标系 由题意知由题意知 P Q = /2， = 2 n n = 200 rad s 1 设设 Q = 0，则有则有 P = /2 P在点在点S 引起的振动为引起的振动为 2)4003(200cos)(cosrtAuPStAyPPPQSxr61Q在点在点S引起的振动为引起的振动为)(cos)(cos400200rtAuQStAyQQ两个分振动的相位差两个分振动的相位差为为223)400(2002)4003(200rtrt满足满足 = (2k+1) 的条件，点的条件，点S的振动是干涉相消。的振动是干涉相消。由于由于与与r无关，所以在无关，所以在 x 轴上轴上Q以右的区域都满足以右的区域都满足干

52、涉相消条件，该区域的所有质点都是静止不动的。干涉相消条件，该区域的所有质点都是静止不动的。 626-8 多普勒效应多普勒效应 一、多普勒效应一、多普勒效应 (Doppler effect) 当波源和观察者中之一，或两者以不同速度同时相当波源和观察者中之一，或两者以不同速度同时相对于介质运动时，观察者所观测到的波的频率将高于对于介质运动时，观察者所观测到的波的频率将高于或低于波源的振动频率或低于波源的振动频率，这种现象称为，这种现象称为多普勒效应多普勒效应。 观察者所观测到的频率观察者所观测到的频率，取决于单位时间内通过观察取决于单位时间内通过观察者的者的完整波的数目完整波的数目，即，即 nlu

53、波源静止，观察者以速波源静止，观察者以速率率Vo向着波源运动向着波源运动 nllnnuVuVuuVuooolS0sV0Vu频率升高频率升高63波源静止，观察者以波源静止，观察者以Vo离开波源运动时离开波源运动时 nnuVuo nnuVuo总之，总之，波源静止，观察者以速率波源静止，观察者以速率Vo运动时运动时 观察者静止，波源以观察者静止，波源以Vs向着观察者运动时向着观察者运动时 nlnnuuuVuuVss观察者静止，波源以观察者静止，波源以Vs离开观察者运动时离开观察者运动时 ssVuuVuuunnlnSsVlssTV频率降低频率降低频率升高频率升高频率降低频率降低64总之，总之，观察者静

54、止，观察者静止，波源以速率波源以速率Vo运动时运动时 nnuuVs以上两种情况综合起来，即以上两种情况综合起来，即波源、观察者都运动波源、观察者都运动时有时有 nnuVuVos频率改变的原因频率改变的原因：在观察者运动的情况下在观察者运动的情况下，频率改变频率改变是由于观察者观测到的波数增加或减少是由于观察者观测到的波数增加或减少；在波源运动在波源运动的情况下的情况下，频率改变是由于波长的缩短或伸长。频率改变是由于波长的缩短或伸长。 注意：弹性波不存在横向多普勒效应。注意：弹性波不存在横向多普勒效应。光波多普勒效应光波多普勒效应，根据，根据相对性原理和光速不变相对性原理和光速不变原理推得原理推

55、得VcVcnn65光波存在光波存在横向多普勒效应横向多普勒效应，当光源和观察者的相对速，当光源和观察者的相对速度度V 垂直于它们的连线时垂直于它们的连线时 221cVnn 分子、原子或离子由于热运动而使它们发射或吸收分子、原子或离子由于热运动而使它们发射或吸收的光谱线频率范围变宽，这称为的光谱线频率范围变宽，这称为谱线多普勒增宽谱线多普勒增宽。 当光源远离接收器时，接收到的频率变小，因而波当光源远离接收器时，接收到的频率变小，因而波长变长，这种长变长，这种现象叫做现象叫做 “红移红移”。如将来自星球的。如将来自星球的和地面的同一元素的光谱比较，发现几乎都发生红移和地面的同一元素的光谱比较，发现

56、几乎都发生红移。这是。这是 “大爆炸大爆炸”宇宙学理论的重要依据。宇宙学理论的重要依据。66例：例：静止不动的超声波探测器能发射频率为静止不动的超声波探测器能发射频率为100 kHz的超声波。有一车辆迎面驶来，探测器接收到从车辆的超声波。有一车辆迎面驶来，探测器接收到从车辆反射回的超声波频率为反射回的超声波频率为112 kHz。如果空气中的声速为。如果空气中的声速为340 ms1 ，试求车辆的行驶速度。，试求车辆的行驶速度。 解：超声波传向车辆时解：超声波传向车辆时uVunn超声波反射回探测器时超声波反射回探测器时Vuu nn所以所以VuVu nn解得解得1 -1 -sm219sm100112

57、100112340 .nnnnuV67 * *二、冲击波二、冲击波 (shock wave) 波源相对于介质的运动速率波源相对于介质的运动速率vs超过波在该介质中的超过波在该介质中的传播速率传播速率u，波源总是跑在波的前面，在各相继瞬间，波源总是跑在波的前面，在各相继瞬间产生的波面的包络为一圆锥面，称为产生的波面的包络为一圆锥面，称为马赫锥马赫锥，如图，如图， 这个以波速传播的圆锥波面称为这个以波速传播的圆锥波面称为冲击波冲击波，简称，简称击波击波。马赫锥的半顶角，称为马赫锥的半顶角，称为马赫角马赫角，Mvu1ssin式中式中M = vs /u称为称为马赫数马赫数 。 “ “冲击波冲击波”虽然

58、以波来称呼，虽然以波来称呼，但实际上它不同于一般意义的波，但实际上它不同于一般意义的波，它只是一个以波速向外扩展的、它只是一个以波速向外扩展的、聚集了一定能量的圆锥面。聚集了一定能量的圆锥面。 68*6-9 声波、超声波和次声波声波、超声波和次声波 频率高于频率高于20 000 Hz的波叫做的波叫做超声波超声波。20到到20 000 Hz之间能引起听之间能引起听觉的称为觉的称为可闻声波可闻声波，简称声波。，简称声波。频率低于频率低于20 Hz的叫做的叫做次声波次声波；声波声波20 000 Hz20Hz一、声一、声 波波(sound wave) 1. 声波在空气中的传播声波在空气中的传播 固体中传播的声波既可固体中传播的声波既可以是纵波，也可以是横波，以是纵波，也可以是横波，而在流体中传播的