第六章第三节逐次超松弛迭代法

1、1 3 逐次超松弛迭代法（SOR方法）By alex234 例1 方程组341085121045432143214324321xxxxxxxxxxxxxxxx5图表6.1图表6.26 从表62得到461056. 5 xx算法63 应用SOR方法解方程组bAx 732 SOR方法的收敛性现在，我们来讨论逐次超松弛迭代法的收敛性问题 证明 由(35)式，有nUIUILIT)1 ()1det()1det()det()det(18 证明证明 9iqiqq2222222)()(qqq10 33 相容次序、性质A和最佳松弛因子11 注意： 例34001041001411004A 定义3 12 例4 图6.

2、113 在每一个内部结点上，我们用二阶中心差代替问题(37)中的二阶导数 ),(222)(),(),(2),(iiyxiiiiiixuhyhxuyxuyhxu),(222)(),(),(2),(iiyxiiiiiixuhhyxuyxuhyxu则有 142),(22),(22),(4),(),(),(),()()(hyxuhyxuhyxuyhxuyhxuyuxujijijiiiiiyxyxjiji041,1, 1, 1jijijijiijuuuuu (3.9)图6.215040404040404111302221221231232224042315141404221413120221131211

3、012012111uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu由于边界结点上问题(37)的解的值已知为(3.10)5 , 1 , 0),0 ,(0iifui5 , 4 , 3),2 ,(2iifui, 3 , 2 , 1 , 0),3 ,(3iifui, 2 , 1), 0(ijfuij),1 , 5(51fu因此方程组(310)可写成16)2 , 0() 3 , 1 (4)2 , 3(4) 1 , 5()2 , 4()0 , 4(4)2 , 3()0 , 3(4)0 , 2(4)0 , 1 () 1 , 0(4122211122221413141312122312111122

4、111ffuuufuuufffuuffuuufuuuuffuuu(3.11)或写成)2 , 0()3 , 1 ()3 , 2()2 , 3() 1 , 5()2 , 4()0 , 4()2 , 3()0 , 3()0 , 2()0 , 1 () 1 , 0(410001140010004100001410010141100014122241312111ffffffffffffuuuuuu(3.12) 方程组(312)的系数矩阵是强优对角的，因而是非奇异的因此方程组(312)有唯一解 Tuuuuuuu122241312111,我们可以将它的分量作为问题(37)的数值解，即问题(37)的解在内部结

5、点处的近似值17(39)是常用的所谓五点格式(参见图63) 注意: 图6.318例如 410001140010004100001410010141100014ATuuuuuuu122241312111,)2 , 0()3 , 1 ()3 , 2()2 , 3() 1 , 5()2 , 4()0 , 4()2 , 3()0 , 3()0 , 2()0 , 1 () 1 , 0(fffffffffffff图6.419定理4 若矩阵且具有相容次序，则它必具有性质A20 );,(,sriababababirisisirrisisiri;,rrssrssrsrrsssrrabababab),(srjia

6、bijij21 定理6 证明 22 充分性 在例4中，如果将图62的结点编号2与5对调，那么得到的方程组的系数矩阵是40001104411100010001140011004011000423 它具有(3.13)的形式这个矩阵实际上又是交换方程组(3.12)的系数矩阵(具有性质A)的第2行与第5行，第2列与第5列得到的，因此排列矩阵5 , 2IP 定理7 定理8 24证明 25 定理9 证明 26)(det() 1()det() 1()det()det(IBIBIBIBnn) 1(det()()1det()det()1()det()det(11IULLIUILIIUILIIT)1det()de

7、t(2121212IULITnn据定理8有)19. 3()1det(1det()det(212212IBIULITnnnn270)1det(21IB0)1det(21IB 引理 02xbxx(320)28的根的模小于l的充分必要条件是cbc1,1 (321)证明 290)1)(1 ()(11212121xxxxxxbc0)1)(1 ()11212121xxxxxxbc121xxc2121211, 1xxxxxx 定理10 30 证明 B31定理11 2212212)1 (11)1 (12b(323)那么 2, 10,2)1(4()(22122bbT若若(324) 证明 2212212)1(4(

8、322212222)1(4(221222)1(4(),( (3.25)33 现在证明),()(T(327),(1),(3435从而，由(325)和(327)式，有22122)1(4()T（故(324)式成立 362122212212)1(4(2)1(4()1(4(dd (3.29) 而且44)2(224222以及222422212244)1(4(bbTT若),()(330) 而且，由(324)式，显然有 1)bbT（(331) 37因子为 212)(1 (12Bb例5 方程组243024410143034321xxx的系数矩阵410143034A04104104304301ADIB3824. 185112b表一表二3934 SOR方法的收敛速度 定理12 1)(2)(21101limTRTRb(335)40证明 (1)在定理12的假设下，据定理11显然有 21)()(BT(336) 因此)(2)(ln2)(ln)(11BRBTTR41yyy211ln21212212212)2(2) 1(