第8章弯曲应力

1、1工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力回顾与比较内力内力AF应力应力PITFAyFSM?思考：思考：弯曲梁截面上内力的分布规律是怎样的？弯曲梁截面上内力的分布规律是怎样的？第第 8 章章 弯曲应力弯曲应力2工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力8.1 纯弯曲梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲横力弯曲( (剪切弯曲剪切弯曲) )3工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力一、平面假设4工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲

2、应力弯曲应力梁表面变形具有如下特征 (1) 横线（横线（m-m,n-n）仍是直线，只是发生相对转动，）仍是直线，只是发生相对转动，但仍与纵线（但仍与纵线（a-a，b-b）正交。）正交。(2) 纵线（纵线（a-a,b-b）弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，）弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，另一侧缩短。另一侧缩短。 5工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力u梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个角度。这一假设称平面假设。u另外还假设：梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力作用。6工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力根据上述

3、假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生伸长变形，另一部分则产生缩短变形，二者交界伸长变形，另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为中中性层性层。中性层与横截面的交线为截面的。中性层与横截面的交线为截面的中性轴中性轴。 思考：思考：横截面上位于中横截面上位于中性轴两侧的各点受力情性轴两侧的各点受力情况？中性层呢？况？中性层呢？ 7工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力1. 变形几何关系 a-a弯曲后长度： 则a-a的应变（纵向正应变）：dy表明：表明：纯弯曲时梁横截面上

4、各点的纵向线应变沿截纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布。面高度线性分布。ydddy)(8.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力8工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力2. 物理关系对于线弹性材料，当应力小于比例极限时，根据胡克定律有：EyE表明：表明：正应力沿着截面高度按线性分布正应力沿着截面高度按线性分布 。请问：请问：能否直接用来计算应力？能否直接用来计算应力？9工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力3. 静力关系 0AiydAzMMdAyMAiz10工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力0AzydASyE将将AzAy

5、ydASzdAS定义：定义：分别称为图形对于分别称为图形对于y轴和轴和z轴轴的的截面一次矩截面一次矩或或静矩静矩，单位，单位m3或或mm3。注：注：通过截面通过截面形心（图形几何形状的中心）形心（图形几何形状的中心）的坐标轴，的坐标轴，图形对其静矩等于零。图形对其静矩等于零。11工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力0AiydAzMyE将将0AAyzdAEdAzAyzyzdAI其中其中 是横截面对是横截面对y和和z轴的轴的惯性积惯性积。由于由于y轴是横截面的对称轴，必然有轴是横截面的对称轴，必然有Iyz=0。12工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力MdAy

6、MAizyE将将AAdAyEdAyM2其中其中 为横截面对为横截面对z轴（中性轴）的轴（中性轴）的惯性矩（截面二次轴矩）惯性矩（截面二次轴矩）。AzdAyI211zEIM是梁轴线变形后的曲率。是梁轴线变形后的曲率。EIz称为梁的称为梁的抗弯刚度。抗弯刚度。13工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力yE将将zEIM1u纯弯曲正应力的计算公式zIMy得到：得到：问：问：正应力正负如何确定？正应力正负如何确定？说明：说明：只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，该公式就适用。个平面内，该公式就适用。14工程力学教程电子教案工程力学教程电子教

7、案弯曲应力弯曲应力8.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力u梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。 u进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁，l/h=5），剪应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计，u公 式 仍然适用。u对于缓慢变化的变截面梁，以及曲率很小的曲梁也可近似适用。 zIMy15工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力u横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。u一般情况下，正应力不仅与M有关，还与 有关，即与截面的形状和尺寸有关。u用 表示，则Wz称为抗弯截面系数，单位m3。ZmaxmaxmaxIyMZmaxmaxWMmaxZZyIW zIy

8、16工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力u常见截面的 Iz 和 WzAdAyI2ZmaxZZyIW 圆截面圆截面644ZdI323ZdW空心圆截面空心圆截面)1 (6444ZDI)1 (3243ZDWDd /17工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力常见截面的常见截面的 Iz 和和 Wz矩形截面矩形截面123ZbhI 62ZbhW 空心矩形截面空心矩形截面12123300ZbhhbI)2/()1212(03300ZhbhhbW18工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力u强度条件对抗拉和抗压强度相等的材料（如碳钢），只要绝对值最大的正应力不

9、超过许用应力即可；对抗拉和抗压强度不等的材料（如铸铁），则拉和压的最大应力都应不超过各自的许用应力。 WMmaxmax19工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力u例题8-3-1：BAl = 3mq=60kN/mxC1m1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径30zy180120KC 截面，单位截面，单位mm20工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力mkN605 . 0160190CM计算支反力和计算支反力和C

10、截面上的弯矩截面上的弯矩kN90AyFkN90ByF解：解：BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120KFAYFBY1. C 截面上截面上K点正应力点正应力4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .6110832. 510)218030(1060533ZKCKIyM21工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力2. C 截面最大正应力截面最大正应力BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120KC 截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩45Zm10832. 5IMPa55.9210832. 51021801060533

11、ZmaxmaxIyMCC22工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K3. 全梁最大正应力全梁最大正应力Mxm67.5kN8/2ql FSx90kN90kN最大弯矩最大弯矩mkN5 .67maxM截面惯性矩截面惯性矩45m10832. 5zIMPa17.10410832. 5102180105 .67533ZmaxmaxmaxIyM23工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力4. C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩截面惯性矩45Zm10832. 5Im4 .19

12、4106010832. 510200359CZCMEIEIM1BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K24工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力yz8065202080 35 单位单位: mm 对于图示对于图示 T形截面梁形截面梁,已知已知:Iz=290.610-8 m4求横截面上的最大拉应力和最大压应力。求横截面上的最大拉应力和最大压应力。例题例题 8-3-2 3AB1 3 kN8 kNC2xM2.5 kNm3 kNm25工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力MPa1 .36mN106 .29010351032833 ）（上上B 解：

13、解：B 截面：截面：MPa1 .67)1 .36(3565 下下B C 截面：截面：MPa0 .5635 . 21 .6735 . 2 下下下下BC 3AB1 3 kN8 kNC2xM2.5 kNm3 kNm26工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力MPa.1 .67,MPa0 .56maxmax al yz8065202080 35 单位单位: mm36.1 MPa67.1 MPaB截面上：截面上：30.2 MPa56.0 MPaC 截面上：截面上：xM2.5 kNm3 kNm27工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力 若例若例8-3-2中的梁截面为工字形

14、，则横截面的中的梁截面为工字形，则横截面的最大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最大的横截面上？最大的横截面上？思考题思考题 8-3-13AB1 3 kN8 kNC2yzxM2.5 kNm3 kNm28工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力 图图a所示简支梁由所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图简化后的尺寸见图b。已知已知F=150 kN。试求危险截试求危险截面上的最大正应力面上的最大正应力 max和同一横截面上翼缘与腹板和同一横截面上翼缘与腹板交界处交界处a点处点处( (图图b) )的正应力

15、的正应力 a。例题例题 8-3-329工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力1. 在不考虑梁的自重在不考虑梁的自重(1.041kN/m)的情况下，该梁的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最为危险截面，相应的最大弯矩值为大弯矩值为 mkN3754m10kN1504max FlM解解:30工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力由型钢规格表查得由型钢规格表查得56a号工字钢截面号工字钢截面3cm2342 zW4cm65586 zIMPa160m102342mN10375363maxmax zWM MPa148m106558

16、6m021. 02m56. 0mN10375483max zaaIyM 于是有于是有危险截面上点危险截面上点a 处的正应力为处的正应力为31工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力MPa148 MPa1602m56. 0m021. 02m56. 0maxmax yyaa 该点处的正应力该点处的正应力 a亦可根据直亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴梁横截面上的正应力在与中性轴z 垂垂直的方向按直线变化的规律，利用直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的已求得的该横截面上的 max=160 MPa来计算：来计算：32工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲

17、应力显然，梁的自重引起的最大正应力仅为显然，梁的自重引起的最大正应力仅为而危险截面上的最大正应力变为而危险截面上的最大正应力变为MPa7 .165Pa107 .165m102342mN103886363max MPa7 . 5MPa1607 .165 远小于外加荷载远小于外加荷载F 所引起的最大正应力。所引起的最大正应力。mkN388mkN13mkN375842max qlFlM 如果考虑梁的自重如果考虑梁的自重(q=1.041 kN/m)则危险截面未则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为变，但相应的最大弯矩值变为33工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力u例题8-3-3：图

18、示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知,kN5 .62,m16. 0,m267. 0,1302Fbammd材料的许用应力材料的许用应力.MPa60mm1601d分析分析弯矩弯矩 最大的截面最大的截面? ?M抗弯截面系数抗弯截面系数 最小的最小的截面？截面？zW zWMmaxmax34工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力（1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图解：解：F Fa aF Fb b（3 3）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核（4 4）强度校核）强度校核B B截面：截面：MPa5 .41Pa105 .4116. 0322675 .6232

19、6331maxdFaWMzBB MPa4 .4613. 0321605 .6232332maxdFbWMzCCC C截面：截面：（5 5）结论：）结论：机车轮轴满足强度条件机车轮轴满足强度条件35工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力8.4 弯曲切应力u梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 ，又有切应力 。 u切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式仍然适用的基础上，假定切应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出切应力的计算公式。36工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应

20、力一、矩形截面梁u如图所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力Q。现分析距中性轴z为y的横线 上的剪应力分布情况。 u经分析可以假设：1）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力 。2）剪应力沿截面宽度均匀分布。37工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力38工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力式中，式中， 为微块的侧面面积，为微块的侧面面积， 为面积为面积 中距中距中性轴为中性轴为 处的正应力，处的正应力， 。39工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力由微块沿由微块沿x方向的平衡条件方向的平衡条件 ，得，得 故求得横截面上距中性轴为故求得横截面

21、上距中性轴为y处横线上各点的剪应力为处横线上各点的剪应力为,sFdxdMbISFzzs*40工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力该切应力的计算公式也适用于其它截面形式的梁。该切应力的计算公式也适用于其它截面形式的梁。式中，式中，Fs为截面上的剪力；为截面上的剪力； Iz为整个截面对中性轴为整个截面对中性轴z的惯性矩；的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度；为横截面在所求应力点处的宽度； 为面积为面积 对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。*zSAbISFzzs*41工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力对于矩形截面梁，可取对于矩形截面梁，可取dA=bdy1 ，

22、于是，于是222111*42*yhbdybydAyShyAzbISFzzs*2242yhIFzs42工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力2242yhIFzs在截面上、下边缘处，在截面上、下边缘处，y=h/2 , =0；在中；在中性轴上，性轴上，y=0，剪应力，剪应力值最大，其值为值最大，其值为上式表明，沿截面高上式表明，沿截面高度度, 剪应力剪应力按抛物线按抛物线规律变化。规律变化。bhFbhIIhFszzs23,12,8max32max43工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力二、工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。矩形切应力计算结果表明，在翼缘上

23、切应力很小，在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化。u最大剪应力在中性轴上，其值为 dISFzzsmax*max44工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力dISFzzsmax*max 为中性轴一侧截面面为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的轧制的工字钢，式中的 可以从型钢表中查得。可以从型钢表中查得。 max*zS max*zzSI计算结果表明，腹板承担的剪力约为计算结果表明，腹板承担的剪力约为（0.950.97）Fs ，因此也可用下式，因此也可用下式计算计算 的近似值。的近似值。maxdhFs1max式中式中h1为腹板的高度，为

24、腹板的高度，d为腹为腹板的宽度。板的宽度。 45工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力u补充：静矩和形心的计算AzAyydASzdAS定义：定义：分别称为图形对于分别称为图形对于y轴和轴和z轴轴的的截面一次矩截面一次矩或或静矩静矩，单位，单位m3或或mm3。dA. .Cyzyyzz重心（形心）坐标：重心（形心）坐标：ASzASyyz_,46工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力u组合截面的静矩由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和:niiixniiiyyASxAS11 及其形心坐标）个简单图形的面积分别为第和iyxAi

25、ii,(47工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力u组合截面的形心坐标公式yASxASxy niiixniiiyyASxAS11 将将代入代入解得解得组合截面的形心坐标公式为：组合截面的形心坐标公式为：niiniiiniiniiiAyAyAxAx1111 （注：被注：被“减去减去”部分图形的面积应代入负值）部分图形的面积应代入负值）48工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力u强度条件：正应力强度条件切应力强度条件解决三类问题：强度校核、截面设计、许可载荷计算强度校核、截面设计、许可载荷计算某些特殊情形，如梁的跨度较小或载荷靠近支座时，某些特殊情形，如梁的跨度

26、较小或载荷靠近支座时，焊接或铆接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪焊接或铆接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向，胶合梁的胶合层）等，能力较差（木梁的顺纹方向，胶合梁的胶合层）等，还需进行弯曲剪应力强度校核。还需进行弯曲剪应力强度校核。 WMmaxmax dISFzzsmax*maxmax49工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力u例题8-4-1：吊车梁如图所示，若起吊重量P=30kN,吊车梁跨度l=8m，梁材料的=120MPa， =60MPa。若梁由工字钢制成，试选择工字钢的型号。解解: 吊车梁可简化成一简支吊车梁可简化成一简支梁，如图所示。梁，如图所

27、示。（1）首先按正应力强度条件确）首先按正应力强度条件确定梁的截面：定梁的截面：当载荷作用于梁中点时，梁的弯当载荷作用于梁中点时，梁的弯矩为最大，其值为：矩为最大，其值为：50工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力根据强度条件根据强度条件 有有从型钢表中查得从型钢表中查得28a工字钢的工字钢的 。 （2）校核最大剪应力）校核最大剪应力作用点的强度作用点的强度:当小车移至支座处时梁当小车移至支座处时梁 内剪力最大，即内剪力最大，即Fsmax=P=30kN51工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力根据剪应力的强度条件根据剪应力的强度条件 dISFzzsmax*m

28、axmax由型钢表查得由型钢表查得28a工字钢的工字钢的 显然最大剪应力作用点是安全的。因而根据正应力强显然最大剪应力作用点是安全的。因而根据正应力强度条件所选择的截面是合用的。度条件所选择的截面是合用的。本例结果表明，梁中最大剪应力是较小的，这是本例结果表明，梁中最大剪应力是较小的，这是因为在设计型钢时，已令腹板有足够的厚度，以保证因为在设计型钢时，已令腹板有足够的厚度，以保证剪应力的强度。剪应力的强度。 52工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力 图图a所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心C的位置，如图的位置，如图b所示。已知横截面

29、对于中性轴所示。已知横截面对于中性轴z 的的惯性矩惯性矩Iz=5493104 mm4，b=2 m。铸铁的许用拉应铸铁的许用拉应力力 t=30 MPa，许用压应力许用压应力 c=90 MPa 。试求梁试求梁的许用荷载的许用荷载F。例题例题 8-4-253工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力86134C截面截面B截面截面(d)铸铁的拉压强度不等，其强度条件为铸铁的拉压强度不等，其强度条件为 t,max t ， c,max c。由。由M图可知，图可知，C、B截面上正应力的分布规律如截面上正应力的分布规律如图图d所示。所示。C、B截面上的最大拉应力分别为截面上的最大拉应力分别为 可

30、见全梁的最大拉应力为可见全梁的最大拉应力为 。显然。显然 zIFb1342/1max,c862/1max,t zBIFb zCIFb1344/1max,t Bmax,tmax,t 解解:BC54工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力1. 由由 t,max t 确定确定F。Pa1030m105493)m1086)(m22/(648-3max, t F F119200N=19.2kN86134C截面截面B截面截面(d)BC55工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力F236893N=36.893kN2. 由由 c,max c 确定确定F。Pa1090m105493

31、)m10134)(m22/(648-3maxc, F F=19.2kN，可见梁的强度由拉应力确定。可见梁的强度由拉应力确定。86134C截面截面B截面截面(d)BC56工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力u例题8-4-3：悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的= 10 MPa，=1MPa，求许可载荷。Fl100505050z1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图解：解：SF FM Fl57工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力 21maxmax6bhlFWMz2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 3.75kNN375061015010010692721 lbhF bhFAFS2/32/32max3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 kN013/101501001023/2662bhFSF FM FlFl100505050z58工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲应力弯曲应力4.4.按胶合面强度条件计算许可载荷按胶合面