时　等差数列的性质

1、第2课时等差数列的性质学习目标：1.理解等差中项的概念，并能利用等差中项判断一个数列是否为等差数列(重点、难点)2.掌握等差数列的有关性质，能运用等差数列的性质解题(重点)3.了解一次函数同等差数列通项公式间的关系(重点)自 主 预 习·探 新 知1等差数列与一次函数(1)等差数列的通项公式ana1(n1)d，当d0时，an是关于n的常函数；当d0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点(2)等差数列通项公式的推广：在等差数列an中，已知a1，d，am，an(mn)，则d，从而有anam(nm)d.思考1：已知等差数列中任意两项是

2、否可以直接求公差？提示等差数列an的图象是均匀分布在一条直线上的孤立的点，任选其中两点(n，an)(m，am)(mn)，类比直线的斜率公式可知公差d.2等差中项如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A.我们把A叫做a和b的等差中项3等差数列的性质(1)项的运算性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.(2)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1ana2an1a3an2.(3)若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)c·an公差为cd的等差数

3、列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)(4)an的公差为d，则d>0an为递增数列；d<0an为递减数列；d0an为常数列思考2：等差数列an中，若a57，a919，则a2a12_，a7_.提示a2a122a7a5a926，a2a1226，a713.思考3：还记得高斯怎么计算123100的吗？提示利用1100299.基础自测1若an是等差数列，若a23，a85，则公差d_，an_.解析d，ana2(n2)×3.答案2若点(1，an)，(2，an1)在直线yx3上，则an1与an的关系为_解析

4、由题意可知an1an1, 即an1an1.答案an1an13若an是等差数列，且a2a6a101，则a4a8_.解析a2a10a4a82a6，a6，a4a8.答案4在等差数列an中，a7a916，a41，则a12_.解析由a7a9a4a12，得a12a7a9a416115.答案15合 作 探 究·攻 重 难等差中项及其应用已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求p，q的值思路探究由x1，x4，x5成等差数列得出一个关于p，q的等式，结合x13推出2pq3，从而得p，q.解由x13，得2pq3， 又x424p4q，x525p5

5、q，且x1x52x4得，325p5q25p8q， 由得，q1，p1.规律方法在等差数列an中，由定义有an1ananan1(n2，nN*)，即an，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.跟踪训练1在1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列. 【导学号：57452038】解(1)1，a，b，c,7成等差数列，b是1与7的等差中项，b3.又a是1与3的等差中项，a1.又c是3与7的等差中项，c5，该数列为1,1,3,5,7.等差数列的性质及应用(1)等差数列an中，a13a8a15120，求2a9a10的值；(2)数列an为等差数

6、列，已知a2a5a89，a3a5a721，求数列an的通项公式；(3)在等差数列an中，a158，a6020，求a75的值思路探究(1)利用等差中项求解；(2)利用mnpq，则amanapaq求解；(3)利用d求解解(1)由等差数列的性质，得a13a8a155a8120，a824，又2a9a8a10，2a9a10a10a8a10a824.(2)a2a82a5，3a59，a53，a2a8a3a76， 又a3a5a721，a3a77. 由解得a31，a77或a37，a71.a31，d2，或a37，d2.由通项公式的变形公式ana3(n3)d，得an2n7或an2n13.(3)a60a15(6015

7、)d，d，a75a60(7560)d2015×24.规律方法解决本类问题一般有两种方法一是运用等差数列an的性质：若mnpq2w，则amanapaq2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.提醒：递增等差数列d>0，递减等差数列d<0，解题时要注意数列的单调性对d的取值的限制.跟踪训练2已知等差数列an，满足a2a3a418，a2a3a466，求a2，a3，a4.解an为等差数列，2a3a2a4，3a318，a36，设公差为d，则(6d)×6×(6d

8、)66，d225，d±5，或等差数列的设法与求解探究问题1若三个数成等差数列，如何设这三个数使计算较为方便？提示设等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为ad，a，ad，这样计算较为方便2若四个数成等差数列，如何设这四个数使计算较为方便？提示设这四个数分别为a3d，ad，ad，a3d，计算较为方便已知三个数组成等差数列，首末两项之积为中项的5倍，后两项的和为第一项的8倍，求此三个数思路探究根据这三个数成等差数列，可设这三个数为xd，x，xd.解设此三个数分别为xd，x，xd，由题意得解得或故此三数分别为0,0,0或3,9,15.母题探究：(变条件)本例条件改为：三个数成单调递增等差数

9、列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求此数列解设所求数列为ad，a，ad(d>0)，根据题意得到方程组由得a6.将a6代入，得d2，d2(舍)所以所求数列为4,6,8.规律方法设等差数列的三个技巧(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：，xd，x，xd，此时公差为d.(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：，a3d，ad，ad，a3d，此时公差为2d.(3)等差数列的通项可设为anpnq.当 堂 达 标·固 双 基1在等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为_解析由等差中项的性质知a35，又a47，公差da4a3752.答案22中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 018，则该数列的首项为_解析设数列首项为a1，则2 018a11 010×2，解得a12.答案23在等差数列an中，a3a737，则a2a4a6a8_. 【导学号：57452039】解析根据等差中项的性质，得a2a8a4a6a3a72a537，a2a4a6a84a57