数学苏教版选修11作业 导数及其应用 章末综合检测

1、(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1如果质点按规律s(t)t2t(距离单位：m，时间单位：s)运动，则质点在3 s时的瞬时速度为_解析：质点在3 s时的瞬时速度即s(3)5 m/s.答案：5 m/s2设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0_.解析：f(x)xln x，f(x)ln xx·ln x1，由f(x0)2得ln x012，x0e.答案：e3若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不单调，则实数k的取值范围是_解析：f(x)2x2ln x的定义域为(0，)，f(x)4

2、x，由f(x)0得x.由题意知，解得1k<.答案：1k<4.函数f(x)(x1)2(x2)2的极大值是_,解析：f(x)(x1)2(x2)2，,f(x)2(x1)(2x3)(x2)；,令f(x)0，得可能的极值点x11，x2，x32.列表如下：x(，1)12(2，)f(x)000f(x)极小值极大值极小值f是函数的极大值答案：5.若直线ykx3与曲线y2ln x相切，则实数k_.,解析：依题意，设切点为(x0，y0)，则有,，由此得232ln x0，x0e.k2.答案：26已知xR，奇函数f(x)x3ax2bxc在1，)上单调递增，则a，b，c应满足的条件是_解析：由f(x)是奇函

3、数，得ac0.f(x)3x2b，又f(x)在1，)上单调递增，故b3x2，在1，)上恒成立，即b3.答案：ac0，b37已知函数f(x)在1，)上为减函数，则实数a的取值范围是_解析：f(x)，又f(x)在1，)上为减函数，f(x)0在1，)上恒成立，即ln a1ln x在1，)上恒成立，故ln a应大于等于(x)1ln x的最大值，(x)max1，故ln a1，ae.答案：e，)8函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对于任意xR，f(x)>2，则f(x)>2x4的解集为_解析：设h(x)f(x)(2x4)，则h(x)f(x)2>0，故h(x)在R上为增函数，又h(1)f(

4、1)20，当x>1时，h(x)>0，即f(x)>2x4.答案：(1，)9已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是_解析：f(x)3x22axa6，由已知，f(x)0应该有两个不等的实数根，4a212(a6)>0，解得a>6或a<3.答案：a>6或a<310函数yx33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为_解析：y3x23a，令y0，可得：ax2.又x(0,1)，0<a<1.答案：0<a<111设f(x)x3x22x5，当x2,2时，f(x)m<0恒成立，则实数m的取值范围为_解析

5、：f(x)3x2x2，由f(x)>0得3x2x2>0，即x<或x>1；由f(x)<0得3x2x2<0，即<x<1，所以函数的单调增区间是，(1，)；函数的单调减区间是；f(x)<m恒成立，m大于f(x)的最大值；当x时，f(x)为增函数，所以f(x)maxf；当x时，f(x)为减函数，所以f(x)maxf；当x1,2时，f(x)为增函数，所以f(x)maxf(2)7；因为7>，f(x)在x2,2上的最大值为7；m的取值范围为m>7.答案：m>712方程x36x29x100的实根个数是_解析：设f(x)x36x29x10，则

6、f(x)3x212x93(x1)(x3)，故函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1,3)上为减函数，在(3，)上为增函数；而f(1)6，f(3)10；故函数f(x)的图象与x轴有且只有1个交点，即方程x36x29x100的实根个数是1个答案：113一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20千米时，每小时消耗的煤的费用为40元；火车行驶的其它费用为每小时200元，则火车行驶的速度为_(千米/小时)时，火车从甲城开往乙城的总费用最省(已知甲、乙两城距离为a千米，且火车最高速度为每小时100千米)解析：设火车速度为x千米/小时，每小时消耗的煤的费用为p元，依题

7、意有pkx3(k为比例系数)，由x20时，p40，解得k，故总费用y·a(0<x100)，由于ya，令y0，解得x10，又当0<x<10时，y<0；当10<x100时，y>0，当x10时，y取最小值，即要使费用最省，火车速度应为10千米/小时答案：1014设a>0，b>0，e是自然对数的底数则下列结论正确的是_若ea2aeb3b，则a>b；若ea2aeb3b，则a<b；若ea2aeb3b，则a>b；若ea2aeb3b，则a<b.解析：a>0，b>0，ea2aeb3beb2bb>eb2b.对于函数

8、yex2x(x>0)，yex2>0，yex2x在(0，)上单调递增，因而a>b成立答案：二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分) 设函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与y0在原点相切，若函数的极小值为4，(1)求a，b，c的值；(2)求函数的递减区间解：(1)函数的图象经过(0,0)点，c0，又图象与x轴相切于(0,0)点，y3x22axb，03×022a×0b，得b0，yx3ax2，y3x22ax；令y0得：x0或xa，结合f(x)图象知：a>0，当0<x<a时

9、，y<0，当x>a时，y>0；当xa时，函数有极小值4；3a24，得a3.a3，b0，c0.(2)由(1)可得f(x)x33x2，f(x)3x26x<0，解得0<x<2，递减区间是(0,2)16(本小题满分14分)已知函数f(x)ax21(a>0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围解：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切

10、线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)，即a11b，且2a3b，解得a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)，当a3，b9时，h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21.h(x)与h(x)在(，2上的变化情况如下：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由此可知：当k3时，函数h(x)在区间k,2上的最大值为h(3)28；当3<k<2时，函数h(x) 在区间k,2上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(，317(本小题满分14分) 已知函数f(x)ax3bx24x的极小值为8，其导函数yf(x)的图象经过点(2

11、,0)，如图所示(1)求f(x)的解析式；(2)若函数yf(x)k在区间3,2上有两个不同的零点，求实数k的取值范围解：(1)f(x)3ax22bx4，且yf(x)的图象过点(2,0)，所以2为3ax22bx40的根，代入得：3ab10，由图象可知，f(x)在x2时取得极小值，即f(2)8，得b2a.由解得a1，b2，f(x)x32x24x.(2)由题意，方程f(x)k在区间3,2上有两个不等实根，即方程x32x24xk在区间3,2上有两个不等实根f(x)3x24x4，令f(x)0，解得x2或x，可列表：x3(3，2)2(2，)2f(x)00f(x)3极小值8极大值8由表可知，当k8或3<

12、;k<时，方程x32x24xk在区间3,2上有两个不等实根，即函数yf(x)k在区间3,2上有两个不同的零点18(本小题满分16分)烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比现有A，B两座烟囱相距20 km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点C，使该点的烟尘浓度最低解：不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，设ACx(0<x<20)，则BC20x.依题意得点C处的烟尘浓度y(k为比例系数)y.令y0，得(3x20)·(3x2400)0，又0<

13、;x<20，x.当x时，y<0；当x时，y>0；在区间(0,20)上，当x时，y取最小值故当点C位于距A点 km处时，该点的烟尘浓度最低19(本小题满分16分) 如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)的一部分新世纪公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积解：以M为原点，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则D(4，2)设抛物线方程为y22px(p>0)由点D在抛物线上，得228p，解得p.抛物线方程为y2x(0x

14、4，y0)设P(y2，y)(0y2)是曲线MD上任一点，则PQ2y，PN4y2，矩形游乐园面积SPQ·PN(2y)·(4y2)8y32y24y.S3y24y4，令S0，解得y或y2(舍去)当y时，S>0，S为增函数；当y时，S<0，S为减函数当y时，S有极大值，此时PQ2y2，PN4y242，S×(km2)又当y0时，S8；当y2时，S0.当y，x时，游乐园面积最大，最大面积为 km2.故当点P到x轴距离为、到y轴距离为时，游乐园面积最大，最大面积为 km2.20(本小题满分16分)设f(x)x3kx(k>0)(1)若f(2)0，求f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若函数f(x)x3kx(k>0)在1，)上是单调函数，设x01，f(x0)1，且满足f(f(x0)x0，已知0<k3，求证：f(x0)x0.解：(1)由f(x)x3kx得f(x)3x2k，f(2)0，3×22k0，即k12；f(x)x312