第一章复变函数

1、11.4 1.4 扩充复平面与复球面扩充复平面与复球面复平面加上点复平面加上点 后称为扩充复平面。记作后称为扩充复平面。记作C+ = C扩充复平面的一个几何模型就是复球面扩充复平面的一个几何模型就是复球面 的几何解释的几何解释：由于在复平面上没有一点能与由于在复平面上没有一点能与 相对应，所以，只相对应，所以，只得假想在复平面上添加一个得假想在复平面上添加一个“假想点假想点”（或（或“理想理想点点”）使它与）使它与 对应，我们称此对应，我们称此“假想点假想点”为无穷为无穷远点远点 关于无穷远点，我们约定：在复平面添加假想关于无穷远点，我们约定：在复平面添加假想点后所成的平面上，每一条直线都通过

2、无穷远点，同点后所成的平面上，每一条直线都通过无穷远点，同时，时，任一半平面都不包含无穷远点任一半平面都不包含无穷远点2 , 0 的球面的球面点点取一个与复平面切于原取一个与复平面切于原 z , )( 如如图图与与原原点点重重合合球球面面上上一一点点S 作作垂垂直直于于复复平平面面的的通通过过 S . , 为为南南极极为为北北极极称称SNxyNOS , N点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一扩充复平面扩充复平面与复球面与复球面3 球面上的点球面上的点, 除去北极除去北极 N 外外, 与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面我们用球面上的

3、点来表示复数上的点来表示复数. 球面上的北极球面上的北极 N N 不能对应复平面上的定不能对应复平面上的定点，但点，但球面上的点离北极球面上的点离北极 N N 越近，它所表示越近，它所表示的复数的模越大的复数的模越大. .xyPNOS),(yx1P),(11yx4 我们规定我们规定: 复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与复平面上的无穷远点相对应与复平面上的无穷远点相对应, 记作记作 . 因而因而, 球面上的北极球面上的北极 N 就是复数无穷大就是复数无穷大的几何表示的几何表示.xyNOS 5包括无穷远点的复平面称为包括无穷远点的复平面称为扩充复平面扩充复平面. . 不包括无穷

4、远点的复平面称为有限不包括无穷远点的复平面称为有限复平面复平面, , 或简称复平面或简称复平面. . 引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来点明显地表示出来. . 球面上的每一个点与扩充复平面的每一个球面上的每一个点与扩充复平面的每一个点构成了一一对应点构成了一一对应, , 这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面或或RiemannRiemann球面球面. .:| - | | |的的邻邻域域表表示示为为 N N( ( ) ) R R 或或 R R z az6 的几何解释：的几何解释：由于在复平面上没有一点能与由于在复平面上没有一点能与 相对应，

5、所相对应，所以，只得假想在复平面上添加一个以，只得假想在复平面上添加一个“假想点假想点”（或（或“理想点理想点”）使它与）使它与 对应，我们称此对应，我们称此“假想点假想点”为无穷远点为无穷远点 关于无穷远点，我们约定：在复平面添加假想关于无穷远点，我们约定：在复平面添加假想点后所成的平面上，每一条直线都通过无穷远点后所成的平面上，每一条直线都通过无穷远点，同时，点，同时，任一半平面都不包含无穷远点任一半平面都不包含无穷远点7复复数数平面表示法平面表示法定义表示法定义表示法三角表示法三角表示法曲线与区域曲线与区域球面表示法球面表示法复数表示法复数表示法指数表示法指数表示法复数的运算复数的运算共

6、轭运算共轭运算代数运算代数运算乘幂与方根乘幂与方根本章主要内容向量表示法向量表示法8复数运算和各种表示法复数运算和各种表示法 复数方程表示曲线以及不等式表示区域复数方程表示曲线以及不等式表示区域本章注意两点本章注意两点91707.4.151707.4.15生于瑞士，巴塞尔生于瑞士，巴塞尔1783.9.181783.9.18卒于俄罗斯，彼得堡卒于俄罗斯，彼得堡L. EulerL. Euler( (欧拉欧拉) )简介简介 EulerEuler是是1818世纪的数学世纪的数学巨星；是那个时代的巨人，巨星；是那个时代的巨人，科学界的代表人物。历史上科学界的代表人物。历史上几乎可与几乎可与Archime

7、desArchimedes、NewtonNewton、GaussGauss齐名齐名。 他在微积分、几何、数论、变分学等领域有巨他在微积分、几何、数论、变分学等领域有巨大贡献。可以说大贡献。可以说 NewtonNewton、LeibnizLeibniz发明了微积分，发明了微积分，而而EulerEuler则是数学大厦的主要建筑师则是数学大厦的主要建筑师。10A. de Moivre A. de Moivre 棣莫佛简介棣莫佛简介 5. 265. 26生于法国生于法国 1754. 11. 271754. 11. 27卒于英国卒于英国在概率论、复数理论等领域在概率论、复数理论等领域做了一些出色的工作。做了一些出色的工作。解决斐波那契数列的通项问解决斐波那契数列的通项问题。题。L.FibonacciL.Fibonacci(1170-