二00九年高中数学联赛四川赛区初赛试题

1、二00九年高中数学联合竟赛（四川初赛）一、选择题（每小题5分，共30分）1、下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（ ） A、 B、 C、 D、 解：在A中，取，则；取，则，从而y不是偶函数； 在B中，它不是偶函数； 在C中，它的最小正周期为； 在D中，符合条件故答案选D2、甲、乙两人之间进行一场打完7局的比赛（每局无平局），则比赛结果出现甲比乙为4:3的概率是A、 B、 C、 D、解：符合条件的概率为故答案选A3、函数的图象与它按向量平移后的函数图象在处的切线互相垂直，则实数的值为（ ） A、 C、 D、解：因为，故的函数为，其在处的切线的斜率为，由知故答案选D4、设数列满足：，记数列的前项之

2、积为，则的值为（ ） A、 B、 C、 D、1解：因为， 于是，故是以3为周期的周期数列又，从而所以，故答案选B5、已知关于的方程组仅有一组实数解，则符合条件的实数的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4 解：若，显然方程组仅有一组解（0，0），故符合条件； 若，则的图象是一个以为圆心，以为半径的圆，而表示直线 由题设条件知，即，解得 综上所述，符合条件的实数共有3个故答案选C6、已知均为大于0的实数，设命题P：以为长度的线段可以构成三角形的三边 命题Q：则P是Q的（ ）A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件解：一方面，若P成立，则，故，即 同理：

3、， 所以，即Q成立 另一方面，若Q成立，取，这时以为长度的线段不能构成三角形的三边，即P不成立 综上所述，P是Q的充分但不必要条件故选A二、填空题（每小题5分，共30分）7、若实数满足，其中，则函数的最大值等于 解：由条件知，则， 从而 当时，此时最大值为3； 当时，此时最大值为5 综上所述，在时取到最大值58、设二项式记，则 解：取，得；取，得 从而， 于是故答案填9、已知的三边长分别为3、4、5，点为内部（不含边界）一动点，则点到三边距离之积的最大值等于 解：设，则为直角三角形，其面积为记点到三边的距离分别为，则故等号当且仅当，即，亦即为的重心时取得故答案填10、在长方体中，棱，点是线段上

4、的一动点，则的最小值是 解：如图， 将沿为轴旋转至与平面共面，得，则，故 等号当且仅当为与的交点时取得故答案填11、集合，若，则实数的取值范围是 . 解：因为， 故在上恒成立 又，而时 所以 ，即 所以，实数的取值范围是故答案填12、直线与直线平行，上有5个不同的点，上有10个不同的点，将上的点与上的点连线段，若没有三条线段交于同一点，则这些线段之间的交点共有 个（用具体的数字作答） 解：经过任何一个交点的两条线段的4个端点，两个在上，两个在上，以它们为顶点，构成一个四边形，这个交点就是四边形对角线的交点所以，任何一个交点与两个顶点在上，两个顶点在上的四边形一一对应所以，所求的交点个数共有故答

5、案填450三、解答题13、已知奇函数在定义域内是减函数，且，求实数的取值范围解：由的定义域知 解得 解得 所以有 5分 因为是奇函数，得 10分 又因为在定义域内单减，故 解得或 15分 由、得，即实数的取值范围为 20分14、如图，已知是的两条切线，是的一条割线，是与的交点 证明：_O_E_P_D_C_B_A证法一：连结和， 则 5分 ， ， 10分 又 ， , 15分故由、得 20分证法二：（同证法一前） 又 15分而 ， 由、知 20分15、如图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点又已知该双曲线的离心率（I）求证：依次成等差数列；（I

6、I）若，求直线在双曲线上所截得的弦的长度解：（I）如图，由已知，即，故 从而 ，故设，则 5分故 ，即令，则，满足，所以， 依次成等差数列 10分（II）由已知，代入，得，于是双曲线的方程为设直线的斜率为，则于是直线的方程为： 15分联立，消得 故弦的长度 20分16、设正实数，满足，且证明：证法一：由条件知，故 5分又由知 10分只须证 （1）当，即时，结论显然成立；（2）当，即时，只须证 即证 因为 15分又时，有 所以， 20分证法二：由条件知，故 5分又由知 10分只须证 ，（1）当，即时，结论显然成立；（2）当，即时，只须证 即须证 记 因为 当时，有，故当时，因此在时单调递减 ， 15分所以