2015届高三数学上册第四次月考检测试题

1、银川一中银川一中 20152015 届高三年级第四次月考届高三年级第四次月考数数 学学 试试 卷（理）卷（理）命题人命题人：蔡伟蔡伟第第卷卷一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分分. .在每小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. .1复数复数iiz1（其中（其中 i 为虚数单位）的虚部是为虚数单位）的虚部是A21Bi21C21Di212. 已知已知：1:1. :| 12pqxax若若p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件，则实数则实数a的的取值范围是取值范

2、围是A(2,3B2,3C(2,3)D(,33设设nS为等比数列为等比数列na的前的前n项和项和，已知已知342332,32SaSa,则公比则公比q A3B4C5D64. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于则该四棱锥的体积等于A1B2C3D45在在ABC中，中，, ,A B C的对边分别是的对边分别是, ,a b c，其中，其中25,3,sin2abB，则角，则角 A 的取值一定的取值一定属于范围属于范围A)2,4( B)43,2( C),43()4, 0( D)43,2()2,4( 6为得到函数为得到函数)32sin(xy的

3、的导函数导函数图象图象，只需把函数只需把函数sin2yx的图的图象上所有点的象上所有点的A纵坐标伸长到原来的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移倍，横坐标向左平移6B纵坐标缩短到原来的纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标向左平移倍，横坐标向左平移3C纵坐标伸长到原来的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移倍，横坐标向左平移125D纵坐标缩短到原来的纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标向左平移倍，横坐标向左平移657在正四面体在正四面体 PABC 中中，D，E，F 分别是分别是 AB，BC，CA 的中点的中点，下面四个结论中下面四个结论中不成立不成立的是的是ABC平面平面 PDFBDF平面平面 PAE

4、C平面平面 PDF平面平面 ABCD平面平面 PAE平面平面 ABC8 已知函数已知函数2( )2f xxx，( )20g xaxa， 若若1 1,2x ，2 1,2x ，使得使得 21xgxf，则实数，则实数a的取值范围是的取值范围是A1(0,2B1 ,32C(0,3D3,)9在在ABC中，若中，若6, 7ACABACAB，则，则ABC面积的最大值为面积的最大值为A24B16C12D8 310正四面体正四面体 ABCD 的棱长为的棱长为 1，G 是是ABC 的中心的中心，M 在线段在线段 DG上，且上，且AMB90，则，则 GM 的长为的长为A12B22C33D6611设设yx,满足约束条件

5、满足约束条件0, 002063yxyxyx，若目标函数，若目标函数0, 0babyaxz的值是最的值是最大值为大值为 12，则，则23ab的最小值为的最小值为A625B38C311D 412已知函数已知函数( )xf xeaxb，若，若( )0f x 恒成立，则恒成立，则ab的最大值为的最大值为AeB2eCeD2e第第卷卷本卷包括必考题和选考题两部分第本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第题第 21 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须做答每个试题考生都必须做答 第第 22 题第题第 24 题为选考题题为选考题， 考生根据要考生根据要求做答求做答二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共

6、 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底均为腰和上底均为 1 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是的等腰梯形，那么原平面图形的面积是_.14已知已知10(2 )xaex dx(e为自然对数的底数为自然对数的底数),函数函数ln,0( )2,0 xx xf xx,则则21( )(log)6f af_.15如图，在空间直角坐标系中有棱长为如图，在空间直角坐标系中有棱长为 a 的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1，点，点 M 是线段是线段 DC1上的动点，上的动

7、点，则点则点 M 到直线到直线 AD1距离的最小值是距离的最小值是_16定义方程定义方程( )( )f xfx的实数根的实数根ox叫做函数叫做函数( )f x的的“新驻点新驻点”，如果，如果函数函数( )g xx，( )ln(1)h xx，( )cosxx（()x，）的）的“新驻点新驻点”分别为分别为，那么，那么，的大小关系是的大小关系是三三、解答题解答题: :本大题共本大题共 5 5 小题小题，共计共计 7070 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明证证明过程或演算步骤明过程或演算步骤17 （本小题满分（本小题满分 12 分）分）已知函数已知函数( )2 3sin()cos()sin2

8、44f xxxxa的最大值为的最大值为1（1）求常数）求常数a的值；的值；（2）求函数）求函数( )f x的单调递增区间；的单调递增区间；（3）若将）若将( )f x的图象向左平移的图象向左平移6个单位，得到函数个单位，得到函数( )g x的图象的图象，求函数求函数( )g x在区间在区间0,2上的最大值和最小值上的最大值和最小值18. （本小题满分（本小题满分 1212 分）分）如图所示如图所示， PA平平面面ABC， 点点 C在在以以AB 为直径的为直径的O 上上， CBA30，PAAB2，点点 E 为线段为线段 PB 的中点的中点，点点 M 在在 AB 上上，且且 OMAC.(1)求证：

9、平面求证：平面 MOE平面平面 PAC；(2)求证：平面求证：平面 PAC平面平面 PCB；(3)设二面角设二面角 MBPC 的大小为的大小为，求，求 cos的值的值19 （本小题满分（本小题满分 12 分）分）已知数列已知数列 na中，中，13a ，前项和，前项和1(1)(1) 12nnSna(1) 求数列求数列 na的通项公式；的通项公式；(2) 设数列设数列 11nnaa的前项和为的前项和为nT， 是否存在实数是否存在实数M， 使得使得nTM对一切正整数都成立？若存在，求出对一切正整数都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说的最小值；若不存在，请说明理由明理由20 （本小题满分（本

10、小题满分 12 分）分）如图，在三棱柱如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，中，H 是正方形是正方形 AA1B1B的中心，的中心，AA12 2，C1H平面平面 AA1B1B，且，且 C1H 5.(1)求异面直线求异面直线 AC 与与 A1B1所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)求二面角求二面角 AA1C1B1的正弦值；的正弦值；(3)设设 N 为棱为棱 B1C1的中点的中点，点点 M 在平面在平面 AA1B1B 内内，且且 MN平平面面 A1B1C1，求线段，求线段 BM 的长的长21 （本小题满分（本小题满分 12 分）分）已知函数已知函数( )lnf xxx（e为无理数，为无理数，2.7

11、18e ）（1）求函数）求函数( )f x在点在点,( )e f e处的切线方程；处的切线方程；（2）设实数）设实数12ae，求函数，求函数( )f x在在,2aa上的最小值；上的最小值；（3）若若k为正整数为正整数，且且( )1f xkxk对任意对任意1x 恒成立恒成立，求求k的的最大值最大值请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 三题中任选一题作答三题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分作作答时请写题号答时请写题号2222（本小题满分（本小题满分 1010 分）【选修分）【选修 4 41 1：几何证明选讲】：几何证明选讲】如图，在正如图，在

12、正ABCABC 中，点中，点 D,ED,E 分别在边分别在边 AC,AC, ABAB 上，上，且且 AD=AD=13ACAC， AE=AE=23ABAB，BDBD，CECE 相交于点相交于点 F F。（1 1）求证：）求证：A A，E E，F F，D D 四点共圆；四点共圆；（2 2）若正）若正ABCABC 的边长为的边长为 2 2，求，求，A A，E E，F F，D D 所在圆的半径所在圆的半径23.23. （本小题满分（本小题满分 1010 分分） 【选修【选修 4 41 1：几何证明选讲】：几何证明选讲】在直角坐标系中在直角坐标系中，以原点为极点以原点为极点, ,x轴的正半轴为极轴建坐标

13、系轴的正半轴为极轴建坐标系, ,已知曲线已知曲线cos2sin:2aC)0( a， 已知过点已知过点)4, 2(P的直线的直线l的参数方的参数方程为程为tytx224222（t为参数为参数） ，直线，直线l与曲线与曲线C分别交于分别交于NM,两点。两点。（1 1）写出曲线）写出曲线C和直线和直线l的普通方程；的普通方程；（2 2）若）若| |,| |,|PNMNPM成等比数列成等比数列, ,求求a的值的值24.24.（本小题满分（本小题满分 1010 分）选修分）选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲对于任意的实数对于任意的实数a( (0 a) )和和b, ,不等式不等式|aMbaba 恒

14、成立恒成立, ,记实数记实数M的最大值是的最大值是m. .(1)(1)求求m的值的值; ;(2)(2)解不等式解不等式mxx |2|1|. .宁夏银川一中宁夏银川一中 20152015 届高三第四次月考数学届高三第四次月考数学( (理科理科) )试卷参考答案试卷参考答案一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分题号题号123456789101112答案答案CABBDCCDCDAD二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.22 14. 715.33a16.三、解答题：三、解

15、答题：17.（1） axxaxxxf2sin2cos32sin22sin3132sin2ax12a，1a（2）由）由kxk223222，解得，解得kxk12125， 所以函数的单调递增区间所以函数的单调递增区间Zkkk,12,125（3）将将 xf的图象向左平移的图象向左平移6个单位，得到函数个单位，得到函数 xg的图象，的图象， 322sin2362sin26xxxfxg35,32322,2, 0 xx当当32322x时，时，23322sinx， xg取最大值取最大值13 当当23322x时，时，1322sinx， xg取最小值取最小值-3.18. 解析解析(1)因为点因为点 E 为线段为线

16、段 PB 的中点的中点， 点点 O 为线段为线段 AB 的中点的中点，所以所以 OEPA.因为因为 PA平面平面 PAC，OE 平面平面 PAC，所以所以 OE平面平面 PAC.因为因为 OMAC，又又 AC平面平面 PAC，OM 平面平面 PAC，所以所以 OM平面平面 PAC.因为因为 OE平面平面 MOE，OM平面平面 MOE，OEOMO，所以平面所以平面 MOE平面平面 PAC.(2)因为点因为点 C 在以在以 AB 为直径的为直径的O 上，上，所以所以ACB90，即，即 BCAC.因为因为 PA平面平面 ABC，BC平面平面 ABC，所以所以 PABC.因为因为 AC平面平面 PAC

17、，PA平面平面 PAC，PAACA，所以所以 BC平面平面 PAC.因为因为 BC平面平面 PBC，所以平面，所以平面 PAC平面平面 PBC.(3)如图如图，以以 C 为原点为原点，CA 所在的直线为所在的直线为 x 轴轴，CB所在的直线为所在的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系轴，建立空间直角坐标系 Cxyz.因为因为CBA30，PAAB2，所以所以 CB2cos30 3，AC1.延长延长 MO 交交 CB 于点于点 D.因为因为 OMAC，所以所以 MDCB，MD11232，CD12CB32.所以所以 P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，3，0)，M(32，32，0)所以所以CP

18、(1,0,2)，CB(0，3，0)设平面设平面 PCB 的法向量的法向量 m(x，y，z)因为因为mCP0，mCB0.所以所以x，y，z1，0，20，x，y，z0， 3，00.即即x2z0，3y0.令令 z1，则，则 x2，y0.所以所以 m(2,0,1)同理可求平面同理可求平面 PMB 的一个法向量的一个法向量 n(1，3，1)所以所以 cosm，nmn|m|n|15.所以所以 cos15.19. 解解： （1） （解法一）（解法一）1(1)(1) 12nnSna111(2)(1) 12nnSna11nnnaSS11(2)(1)(1)(1)2nnnana整理得整理得1(1)1nnnana1)

19、2() 1(12nnanan两式相减得两式相减得211(1)(2)(1)nnnnnananana即即21(1)2(1)(1)0nnnnanana2120nnnaaa，即即211nnnnaaaa 数列数列 na是等差数列是等差数列且且13a ，得，得25a ，则公差，则公差2d 21nan（解法二）（解法二）1(1)(1) 12nnSna111(2)(1) 12nnSna11nnnaSS11(2)(1)(1)(1)2nnnana整理得整理得1(1)1nnnana等式两边同时除以等式两边同时除以(1)n n得得111(1)nnaannn n，即即11111(1)1nnaannn nnn 累加得累加

20、得112211112211nnnnnaaaaaaaannnnn11111111 3112232nnnnnn 12n得得21nan（2） 由（由（1）知）知21nan111(21)(23)nna ann111()2 2123nn1 11111111()2 355721212123nTnnnn1 11()2 323n16则要使得则要使得nTM对一切正整数都成立对一切正整数都成立， 只要只要max()nTM， 所所以只要以只要16M 存在实数存在实数M，使得，使得nTM对一切正整数都成立，对一切正整数都成立，且且M的最小值为的最小值为1620.解析解析如图所示如图所示 ，建立空间直角坐标系，点，建立

21、空间直角坐标系，点 B 为坐标为坐标原点依题意得原点依题意得 A(2 2，0,0)，B(0,0,0)，C( 2， 2， 5)，A1(2 2，2 2，0)，B1(0,2 2，0)，C1( 2，2， 5)(1)易得易得AC( 2， 2， 5)，A1B1(2 2，0,0)，于是于是 cosAC， A1B1ACA1B1|AC|A1B1|432 223.所以异面直线所以异面直线 AC 与与 A1B1所成角的余弦值为所成角的余弦值为23.(2)易知易知AA1(0,2 2，0)，A1C1( 2， 2， 5)设平面设平面 AA1C1的法向量的法向量 m(x，y，z)，则，则mA1C10，m、AA10.即即 2

22、x 2y 5z0，2 2y0.不妨令不妨令 x 5，可得，可得 m( 5，0， 2)同样的，设平面同样的，设平面 A1B1C1的法向量的法向量 n(x，y，z)，则，则nA1C10，nA1B10.即即 2x 2y 5z0，2 2x0.不妨令不妨令 y 5，可得，可得 n(0，5， 2)于是于是 cosm，nmn|m|n|27 727，从而从而 sinm，n3 57.所以二面角所以二面角 AA1C1B1的正弦值为的正弦值为3 57.(3)由由 N 为棱为棱 B1C1的中点，得的中点，得 N22，3 22，52 .设设 M(a，b,0)，则，则MN22a，3 22b，52 ，由由 MN平面平面 A

23、1B1C1，得，得MNA1B10，MNA1C10.即即22a2 20，22a 23 22b 252 50.解得解得a22，b24.故故 M22，24，0，因此，因此BM22，24，0，所以线段所以线段 BM 的长的长|BM|104.21.( )(0,)( )ln1 ,( )( )2f xfxxf eef e定义域为又( ):2(),2yf xeyxeeyxe函数在点( ，f(e)处的切线方程为即-3分分（2）( )ln1fxx( )0fx令1xe得10,xe 当时时,( )0F x，( )f x单单调递减；调递减；当当1,xe时时,( )0F x，( )f x单调递增单调递增.当当min1,(

24、 ) ,2 , ( )( )ln ,af xaaf xf aaae时在单调递增min111112 , ( )2aaaf xfeeeee 当时,得(3)( )(1)f xkxk对任意对任意1x 恒成立，恒成立，即即lnxxx(1)k x对任意对任意1x 恒成立恒成立， 即即ln1xxxkx对任意对任意1x 恒成恒成立立令令2lnln2( )(1)( )(1)1(1)xxxxxg xxg xxxx令令1( )ln2(1)( )0( )xh xxxxh xh xx在在(1,)上单调递增。上单调递增。(3)1 ln30, (4)2ln40,hh 所以所以( )h x存在唯一零点存在唯一零点0(3,4)

25、x ，即，即00ln20 xx。当当0(1,)xx时，时，0( )()0( )0h xh xg x；当当0(,)xx时，时，0( )()0( )0h xh xg x；( )g x在在0(1,)xx时单调递减；在时单调递减；在0(,)xx时，单调递增；时，单调递增；0000min0000(ln1)(1) ( )()11xxxxg xg xxxx由题意由题意min0 ( )kg xx，又因为，又因为kZ，所以，所以 k 的最大值是的最大值是 322 （本小题满分 10 分） 【选修 41：几何证明选讲】（）证明：23AEAB，13BEAB.在正ABC中，13ADAC， ADBE，又ABBC，BADCBE ，BADCBE，ADBBEC ，即ADFAEF ，所以A，E，F，D四点共圆.（）解：如图 6，取AE的中点G，连结GD，则12AGGEAE.23AEAB，1233AGGEAB，1233ADAC，60DAE，AGD 为正三角形，23GDAGAD，即23GAGEGD，所以点G是AED 外接圆的圆心，且圆G的半径为23.由于A