圆中最值问题的求解方法

1、圆中最值问题的求解方法有关圆的最值问题，往往知识面广、综合性大、应用性强，而且情境新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，本文按知识点分类，以近几年中考题为例，归纳总结此类试题的解题方法.一、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短例1（2012宁波）如图1,4ABC中，/BAC=60°,/ABC=45°,AB=272,D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画。O分别交AB,AC于点E,F,连结EF,则线段EF长度的最小值为.分析由垂线段的性质可知，当AD为4ABC的边BC上的高时，直径AD最短.图I图2解如图2,连结OEOF,过O点作0代EF,垂足为H.在Rt

2、ADB中，ZABC=45°,AB=2右,AD=BD=2,即此时圆的直径为2.由圆周角定理，可知，1一一。/EOH=/EOF=/BAC=60,2在RtEOH中，EH=OE-sin/EOH=1搂a22由垂径定理，可知EF=2E+3点评本题是一道融垂径定理、圆周角定理、解直角三角形于一体的综合应用题.关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆.二、两点之间线段最短例2（2014三明）如图3,在RtABC中，/ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于点D,P是CDCD上的一个动点，连结AP,则AP的最小值是.分析如图4,取BC的中点E,连结AE,交半圆于点Pa,在半

3、圆上取点Pi,连结AP,ER,可得，AP+EP>AE即AR是AP的最小值.再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可.解如图4,取BC的中点E,连结AEEP,可得，AP+EP>AE,AE.22125,P2E=1.AP2V51即AP2是AP的最小值.点评本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键.三、利用轴对称，求直线上一点到直线同侧两点的线段之和最短例3（2014张家界）如图5,ARCD是半径为5的。O的两条弦，AB=8,CD=6,MN是直径，AB!MNF点E,CDLMNF点F,P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为.图6分析AB两点关于MN寸称，因

4、而PA+PC=PB+PC,即当B、CP在一条直线上时,PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值.解如图6,连接OAOB,OC彳CH垂直于AB于点H.根据垂径定理，得到BE=4,CF=3,3OE=/万研-砂=-4:=3.OF=/0?-CF1=J5M.3,=4,.CH=OE+OF=3+4=4+37,在RtBCH中，根据勾股定理得到BC=772,则PA+PC的最小值为7J2.点评正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键.例4（2014东营）如图7,在。O中，AB是。的直径，AB=8cm,ACCDBD,M是AB上一动点，则CMDM勺最小值是cm.图K解析如图8,作点C关于AB的

5、对称点C',连结C'D与AB相交于点M根据轴对称确定最短路线问题，点M为C也DM勺最小值时的位置，根据垂径定理可得ACAC',然后求出C'D为直径，从而得解.，CMDM的最小值是8cm.点评本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CWDM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键.四、利用切线的性质求最小值例5（2010苏州）如图9,已知A、B两点的坐标分别为（2,0）、（0,2）,OC的圆心坐标为（1,0）,半径为1.若D是OC上的一个动点，线段DA与y轴交于点E,则ABE解析根据三角形的面积公式,面积的最小值是（）ABE底边BE上的

6、高AO不变，BE越小，则面积越小,可以判断当AD与。C相切时，BE的值最小.根据勾股定理求出AD的值，然后根据相似三角形求出OE的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解.如图10,由题意知道当DA是圆C的切线时，OE最短，此时ABE面积最小.AC=2+1=3.CD=1.由勾股定理得HD=?3:-V=22.可以证明AAOEsA4DC,“AO-一DC-的那”&4日£的面枳为士yxXAi?=»（2一/）=2立故选C.点评本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键.五、立体图形上两点之间最短距离

7、例6（2014兰州）如图11,有一个圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6cm的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷口粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，求小猫经过的最短路程.解析如图12,先确定扇形的圆心角，根据两点之间线段最短，再确定起点和终点,从而求解，.ABE正三角形.BC=6.根据底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得n66180故n=180°,则/B'AC=90°,.B'P=V36-93而（米）.答：小猫所经过的最短路程是=3用米.点评本题考查平面展开最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，根据勾股定理求解.以圆为载体的最值问题在中考试题中通常以选择、