基本不等式完整版(非常全面)1整理.doc

1、根本不等式专题辅导一、知识点总结1、根本不等式原始形式(1)假设a,beR,那么.之2ab(2)假设a,beR,那么"?心宜22、根本不等式一般形式(均值不等式)假设a,beR*,那么a+bN3、根本不等式的两个重要变形<1)假设a,bwR6,那么竺2之2(2)假设a,bwR,那么ab<总结：当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中,当且仅当.=时取“=4、求最值的条件：“一正,二定,三相等5、常用结论(1)假设x>.,那么x(当且仅当x=l时取“二)x(2)假设xvO,那么工+1«2(当且

2、仅当太=一1时取“二)x(3席加>0,那么州+2之2(当且仅当时取“二)ba假设(啜?手(5)假设?bwR,那么二、题型分析题型一：利用根本不等式证实不等式1、设4,6均为正数,证实不等式:,记上了工了+-ab2、为两两不相等的实数,求证：a2+c2>ab+be+ca3、a+c=l,求证：a2+b2+c2>-34、a.b,ce/?+,且a+h+c=,求证：(1-6/)(1-/?)(l-c)>8«bc5、a,b,ceR+,且a+b+c=t求证：6、(2021年新课标U卷数学(理)选修4一5：不等式选,讲设小4C均为正数,且a+C=1,证实：(I)ab+be+ca

3、<-;(II)+>1.3bca特别说明：以上不等式中,当且仅当.=时取"=6、柯西不等式(1)假设.也c,"eR,那么(/+b2)(c2+d2)>(ac+hd)27、(2021年江苏卷(数学)选,修4-5：不等式选,讲.之.>0,求证：2,广一3(2)假设?,2必,4也也eR,那么有：(“J+«22+%2)(也2+h22+by2)>(q仿+/与十%&(3)设m"与瓦与,a是两组实数,那么有+%-+q)(优+4-+：)之(.仇+a2b?+q"尸题型二：利用不等式求函数值域1、求以下函数的值域(1)y=3x2+

4、2x2(2)y=x(4-x)(3)y=x+-(X>0)X(4)y=x+-(x<0)x2、求函数v=4x-2+的最大值:44a-5题型三：利用不等式求最值一凑项41、己知x>2,求函数y=2x4+的最小值;2_x题型四：利用不等式求最值二凑系数1、当0XC4时,求,=x8-2x的最大值：变式1：当时,求y=4x82x的最大值:4变式1：x>2,求函数y=2x+的最小值:2x-44变式2：xv2,求函数y=2x+的最大值:2x43变式2：设Ovk<5,求函数,=4x32幻的最大值.2练习：1、求函数,=4.t-2+L-的最小值:44x-52、假设0<xv2,求y

5、=Jx(6-3x)的最大值:法二:变式：假设0<xv4,求丁=,«8-2<的最大值;3、求函数,=由+目；.高的最大值;提示：平方,利用根本不等式变式1：己知a,>0.+2/?=2,求/=!+的最小值:ab2Q变式2：演y>0,+=1,求W的最小值:xy变式：求函数,=«不二5+«TT=的最大值;44变式3：x,y>.,且,+'=9,求x+,的最小值.x'题型五：巧用“1的代换求最值问题1、小.>0,+2/?=1,求/='+!的最小值:ab法一：10变式4：x,y>0,且一+=4,求x+y的最小值:

6、丫,+X变式：求函数了=x>l的值域:X-1变式5：1假设>0且2x+y=1,求!+的最小值：xy2假设.,Z?,x,y£尺+且2+2=1,求x+y的最小值:2、求函数y的最大值；提示：换元法2x+5变式6：正项等比数列满足：%=4+2%,假设存在两项%,2,使得疯=4q,求,+士的最小值:mn变式：求函数,=±1的最大值:4a+9题型六：别离换元法求最值了解r2+1x+101、求函数丁二:xw-l的值域;x+1题型七：根本不等式的综合应用1、logzO+kjgzbNl,求3°+9的最小值2、2021天津./>0,求_1+«1+2而的最

7、小值;ah变式1：a,>0,满足a=a+3,求ab范围;变式1：2021四川如果.>.>0,求关于“次的表达式/+'+!一的最小值：abaa-b变式2：2021山东x,y>0,-2+x2+y3求外最大值；提示：通分或三角换元变式2：2021湖北武汉诊断,当>0,.工1时,函数y=log.a-1+1的图像恒过定点A,假设点A在直线?x-y+=O上,求4'+2的最小值：变式3：2021浙江x,y>0,/+?+工,=1,求孙最大值：3、己知x,y>0,x+2y+2冲=8,求x+2y最小值;4、2021年山东理设正实数x,y,z满足/一3与,+

8、4,2一2=0,那么当？取得最大值z212时,二+上一±的最大值为xyz9A.0B.1C.-D.34提示：代入换元,利用根本不等式以及函数求最值1.2021沈阳检测x,yOC且.+y-+-9恒成立,求正实数4的最小值：2、x,z0且一+2/一恒成立,x-yy-zx-z如果wN+,求的最大值：参考：4提示：别离参数,换元法变式：设乂y,z是正数,满足x2y+3z=O,求工的xz最小值：14变式：己知满那么一+=2,假设.+之c恒成立,ab求c的取值范围：题型八：利用根本不等式求参数范围题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式(a,b,c,deR,当且仅当色=2；即4d=Z?c时等

9、号成立)cd假设a,b,c»deR,那么(a?+b2)(c2+d2)>(ac+bd)22、二维形式的柯西不等式的变式(1)yla1+b2-ylc2+cl>+(a,b,c,deR,当且仅当色=9；即ad=儿时等号成立)ca(2)Ja?+/-ylc2+d2>|r/c|+bd(a,b,c,deR,当且仅当3=2；即4d=Z?c时等号成立)cd(3)(a+)(c+d)>(Vnc+VM)2(a,b,c,dN.当且仅当2=4；即ad=儿时等号成立)ca3、二维形式的柯西不等式的向量形式.万卜同同(当且仅当/=6,或存在实数口使三时,等号成立)4、三维柯西不等式假设火,%,

10、.3力1力2由3WR,那么有：(“J+%2)(e2+V+42)之(.14+a2b2+a3b3)2(q立6R,当且仅当*=詈=答时等号成立)仄瓦45、一般维柯西不等式设?与b也,也是两组实数,那么有：(a；+.：+一.,：)(裙+42)2(他+<也+.也尸.也r,当且仅当斗=如寸等号成立)仄人bn题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值最小值为时,(x,y,z)=析：(x2y+2z><(x2+y2+2)12+(-2)2+22=4x9=36.X-2y+2z最小值为-6此时t=2=三=-±_=二1-2212+(-2)2+223.-24-4x=,y=,z=2、设2x-y-2z=6,求/的最小值7,并求此时x,y,z之值.Ans：4247=4；.,>)=(；,一三,一；)3、设x,y,z£R,2x-3y+z=3,求X：+(y-l)2+z2之最小值为,此时),=(析：2x-3y+z=3<=>2x-3(y-l)+z=0)4、(2021年湖南卷(理)a,6,ceM+2b+3c=6,1、设x,y,Z£R,假设12+)3+22=4,那么x-2y+2z