多元函数微分学的应用

1、多元函数极值的应用一、多元函数的根本概念1、平面点集,平面点集的内点、外点、边界点、聚点,多元函数的定义等概念2、多元函数的极限limf(x,y)=A(或limF(x,y)=A)的E一6定义(x,y)_(,x0,y0)PF0e-6掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1)令P(x,丫)沿丫=收趋向P(x0,y.),假设极限值与k有关,那么可断言函数极限不存在；找两种不同趋近方式,假设(x,y圾y.)“)存在,但两者不相等,此时也可断言极限不存在.多元函数的极限的运算法那么(包括和差积商,连续函数的和差积商,等价无穷小替换,夹逼法那么等)与一元类似:例1.用名一6定义证实lim(x2+y2)sin

2、-2=0(x,y)：(0,0)x2-y222例2当xt0,yT0时,函数-一一2的极限是否存在？证实你的结xy(x-y)论.xy例3设f(x,y)=x2+y0,xy2例4设f(x,y)=?x2+y22c2,xy=0x2y2=04,x22c22xy=0讨论limf(x,y)是否存在?(x,y)(0,0)讨论(吧.,0)f(x,y)是否存在?例5求(xN3、多元函数的连续性：=limf(x,y)=f(xo,yo)(x,y)_(xo,yo)一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.在定义区域内的连续点求极限可用“代入法讨论函数fx,y=33xy22c-2,x

3、y;oxy在0,0处的连续性.例2.试证f(x,y)=«数.例3.求lim7(x,y)(1,2)xy0,2xy2xyo,4,x例4.4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性,在点0,0不连续,但存在一阶偏导J取,.xy1-1xy最值定理,介值定理二、多元函数的偏导数1、二元函数z=fx,y关于x,y的一阶偏导数的定义二元以上类似定义如果极限|如0f(x°x,yo)-f(xo,yo)存在,那么有相当于把开1xx=x)y寸o二Zxxy=y0=fx(xo,yo)=1Mf(xo：x,yo)-f(xO,yo)y看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数.如果极限我f(xo,yo：y

4、)一f(xo,yo)存在,那么有tzcf=cyx=x0为x丫小y4.zyx=Xoy4.fy&,y.)11f(x.,y.：y)-f(x.,y.)7对于分段函数,在分界点的偏导数要用定义求例1f(x,y)=22x-y)xyI0,x2y2=.x2y2=.那么fx(.,y)二122-22,xy;.x+y,22xy=.求fx(x,y),fy(x,y)0设u=x+(y-1)arcsln,y那么史在(1,2)的值为().ex22一,TyT,x2+y2#.,一,一,“di,例2试证f(x,y)=«x+y在点(0,0)不连续,但存在一阶偏导数._22_、.,x+y=.22设f(x,y)=(xy

5、)Sin0,例4设z=xy,求zx,zy2、二元函数z=f(x,y)关于x,y的高阶偏导数(二元以上类似定义)=fxx(x,y)=fxy(x,yn222y)3fyy(x,y-F>、zzz<cy-2二z:y:x=fyx(x,y定理：假设两个混合二阶偏导数).x:y鱼在区域D内连续,那么有必y.x二xy.2二zL、L,：y.x例1.设u=1,r=d(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2,其中a,b,c为常数,求:r-2°-z.y200-arctg_二7例2.设z=(x+y)ex,求.:x:y3、z=f(x,y)在点P(x,y)偏导数存在黑z=f(x,y)在点P(x,y)连续

6、4、偏导数的几何意义：fx(x0,y0)表示曲线qz"x,丫)在点伍,先遇.)处的y=y()切线与x轴正向的夹角.三、全微分1、z=f(x,y)在点P(x0,y.)可微分的判定方法假设("怙,.)Az-fx(x0,yp)Ax-fr(x0,y0)Ay_0那么可判定：x2:y2z=f(x,y)在点P(x0,y°)可微分.其中z二f(x0x,y0-y)-f(x,y)I(x2+y2)sin,1,x2+y2#0例1.证实函数f(x,y)=?Jx2+y2在(0,0)处可微,9,x2+y2=0但偏导数fx(x,y)在(0,0)处不连续xyf(x,y)=22c,xy:0,证实:x

7、2y2=0(1)函数在(0,0)处偏导数存在；(2)函数在(0,0)处不可微2、全微分的计算方法假设z=f(x,y)在P(x0,y0)可微,那么有dz=fx(x°,y°)dx+fy(x°,y°)dy其中fx(x0,y.),fy(x0,y.)的求法可以结合复合函数或者隐函数求导.例1设z=x4y3+2x,贝Udz(12、=(I,2)例2设z=arctan¥(x00),求dz.x2例3设u=xy,贝Udu=例4函数u=ln(x+y2+z2)在点(1,0,1世的全微分为例5.设z=uy+arcsinw,u=ex,w=,x=,求函数：对变量x,y的全x

8、2y2微分dz.3、多元函数的全微分与连续,可偏导之间的关系一阶偏导数fx,fy在P(x°,y°)连续=z=f(x,y)在P(x°,y°)可微=z=f(x,y)在P(x°,y°)连续=z=f(x,y)在P(x°,y°)有极限z=f(x,y)在P(Xo,y°)可微=在P(x°,y°)的一阶偏导数fx,fy存在z=f(x,y)在P(Xo,y°)可微=在P(Xo,y°)的方向导数fx,fy存在四、多元复合函数求导法那么1、链式求导法那么：变量树状图法那么(1)z=f(u,

9、v),u=(t),v=(t)业=3包izdv、dt:udt:vdtdz；zdujzdv；zdl-dt；udt2Vdt:dt(2)z=f(u,v),u=(x,y),v-!(x,y)z二z二u；z二v；z=+.:u；y；v；y(3)z=f(u,x,y),uh：(x,y)例1.例2.可导,例3.x二u二x二x二ycu二ycff具有连续二阶偏导数,求-2z:zO,x二xy设z=z(x,y)是由方程x2+y2-z=9(x+y+z)所确定的函数,其中中(x)求dz.设2=乂£(xy,),f具有连续二阶偏导数,求xczczO.y.y.x例4.设z=xyf(),xf(u)可导,贝Ux+y=.xy例5

10、.设G(u,v)可微,方程G(u,v)=0,其中u=x2+yz,v=y2+xz确定了z是x,y的二元可微隐函数,试证实(2y2-xz)孚+(2x2-yz)=z2-4xy.例6.设欠u,v)具有连续偏导数,证实方程*(x-yzy-xz)=0所确定的函数z二z2z=f(x,y)?两足(y+xz)十(x+yz)=1-z.二x二y例7记u=f(x2+t2,-),f具有连续二阶偏导数,求x例8设z=x2lny,而x=U,y=3u-v,v力-z-z求和Ln二u二v：:ueax(yz)方法1(直接代公式)：电=dxFxFy苴中.Fx=Fx(x,y),相当于把F看成du,而y=asinx,z=bcosx,贝U

11、.dx例10.设z=f(x2y2,exy),又f具有连续的二阶偏导数,求,20；x；y；x.y2. 一阶全微分形式不变性:设z=f(u,v),那么不管u,v是自变量还是中间变量,都有dz=fudu+fvdv通过全微分求所有的一阶偏导数,有时比链式求导法那么显得灵活.当复合函数中复合的层次较多,结构较为复杂时,用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比拟方便.例1.设u=F(x,y,z),z=f(x,y),y=平(x),其中F,f,中都可微,求生.dx五、隐函数的求导法那么1、F(x,y)=0Ty=f(x),求电dx自变量x,y的函数而对x求偏导数.方法2:直接对方程两边同时关于x求偏导(

12、记住y=f(x):(FF虫)(yxyydx)-噂=0t*专d2ydx2(FF-)F-F(xxxy)ydx(Fy)22.F(x,y,z)=0tz=f(x,y),求存：x方法1(直接代公式)：zFx:xF：zFyyFz方法2:直接对方程两边同时关于x(y)求偏导(记住z=f(x,y):FxFzdl=0'zFxdxFzzz,FyFz-=0一二dydy4Fz3-F(x,)=0TG(x,y,u,v)=0x=x(t)y=y(t)=z=z(t)xx0y-y0'.一'.x(t0)y(t°)工y=y(x)4二z=z(x)x=xy=y(x)=zz(x)xx0y-y.y(t0)z_

13、z0(x-x0)y(t0)(y-y0)zXz-zJ=0z(t0)u=u(x,y)cucucvcv'芈'-'-v=v(x,y)二x二yx:y建议采用直接推导法：即方程两边同时关于x求偏导,通过解关于未知数史,生的二元方程组,得到O同理可求得,O.x：xFxjx二y二y例1.设f(x,y,z)=exyz2,其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数,求fx(0,1,-1)o例2.设有隐函数F(x/)=0,其中F的偏导数连续,求红,后.zz二x例3.设G(u,v)可微,方程G(u,v)=0,其中u=x2+yz,v=y2+xz确定了z是x,y的二元可微隐函数,试

14、证实(2y2-xz)：z(2x2-yz：z=z2-4xy.xy六、多元函数微分学的几何应用1-空间曲线的切线与法平面方程(三种形式)一一参数形式,两柱面交线,两曲面交线zz0=1x(t0)(xx°)y(t°)(yy0)z(t0)(zz0)=0z(t0)切线向量x'(t0),y(h)"a)切线向量1,y'(x0),z'(x0)F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0y=y(x)z=z(x)x=xy=y(x)z=z(x)切线向量1,y(x°),z(x0)_x_x0y-y0z-z0(x-x0)y(t0)(y-y0)z(t0)(z-z0)

15、=01y(%)z(t)lFxL(x%)Fy_(yyo)FzJzZo)=0F(x,y,z)=O=,x-xoy-yoz-zo3、曲面的切平面与法线方程(两种形式)一一隐函数,显示函数二：二：Fx(xo,yo,zo)Fy(xo,yo,zo)Fz(x°,y°,Zo)法线向量Fx(xo,yo,Zo),Fy(xo,yo,Zo),Fz(xo,yo,Zo)工fxL(xx0)fyL(yy0)(zzo)=oz=f(X,y)=x-xoy-yoZ-zo,fx(xo,yo)fy(xo,yo)-1法线向量fx(xo,yo),fy(x0,yo),_1,规定法向量的方向是向上的,即使得它与z轴的正向所成的

16、角是锐角,在法向量的方向余弦为：-fx-fy1cos二二,cos:=,cos1 f；f：1f；fy21f；f：例1曲线acostasint在点(a,o,o)的切线方程_z=ct例2在曲面z=2x2+ly2上求出切平面,使得切平面与平面4x-2y-2z-1=o.T2行.例3曲面z-ez+2xy=3在点(1,2,0)处的法线方程.222例4在第一卦限内作椭圆与+当+彳=1的切平面,使该切平面与三个坐标平面222abc围成的四面体的体积最小,求切点的坐标.例5曲面3xyz-z3=a3在点(0,a,-a)处的切平面方程.例6在球面x2+y2+z2=9上求一点,使得过该点的切平面与平面2x+y2z=0平

17、行.例7.在曲线x=t,y=2t2,z=3t3上求点,使该点处曲线的切线平行平面8x+7y-4z=1.例8设f(x,y)具有一阶连续偏导数,且fx2十fy2¥0,对任意实数t有f(tx,ty)=tf(x,y),试证实曲面z=f(x,y)上任意一点(x°,y°,z°)处的法线与直线=y-=三相垂直.x°yOzo2 2例9由曲线43x2y=12绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,73,72)处指z=0向外侧的单位法向量,七、方向导数与梯度1、方向导数的概念和计算公式z=f(x,y)在P(x,y)沿l方向的方向导数为：设P'(x+&x

18、,y+Ay)为l上一点,贝f=11mf(P)-f(P)=limf(xx,y：y)-f(x,y)jF0p了0p设l的方向余弦为:l=cosa,cosP,那么f；ff二cos二一cosl二xy可微二方向导数存在,但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系2、梯度的概念和计算公式z=f(xyftP(x,y沿什么方向的方向导数最大？沿梯度方向G=f,f的方向导数最大,最大值为梯度的模|G|=%亘)2+(更)2yPyexcy例1.求函数f(x,y,z)=x2y2-z2在点Po(3,4,5)沿曲线2222x2+2y2-z2=252在2.22小、x+y=z点Po处的切线方向的方向导数.例2.求函数f(x,y)=x2y3在点(2,1)沿方向l=i+j的方向导数例3.设函数z=f(x,y)=xey,(1)求出f在点P(2,0)处沿P到Q(1/2,2)方向的变化率；(2)f在P(2,0)沿什么方向具有最大的增长率,最大增长率为多少？例4函数z=x2+y2在点P1,2处沿从P01,2到点Pi2,2+羽方向的方向导数.例5函数z=x2_xy+y2在点_1,1处沿方向1=2,1的方向导数.例6函数u=x2+y2+z23z在点M01,1,2处的梯度及沿梯度方向的方向导数.八、多元函数的极值及其求法1、掌握极值的必要条件、充分条件2、掌握求极值的一般步骤3-