多自由度系统的复模态理论基础

1、第七章多自由度系统的复模态理论基础§7.1 概述当多自由度系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵都是实对称正定阵，且满足下列条件之一：MC,K=KCMCMK=KM,C(71)MK/C=CKM则在系统的主模态空间中，系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵是完全解耦的。当结构的阻尼矩阵可以假设为比例阻尼或者满足上面的解耦条件时，可以采用实模态理论进行振动分析，即用实模态构成的模态坐标变换式对方程进行坐标变换，使方程解耦后，采用模态叠加法进行动力学响应计算。但是对于一般的线性阻尼系统，系统的振动方程无法用实模态矩阵进行解耦。要仿照结构的实模态分析理论对结构用模态叠加法进行分析，就必须采用所谓的复模

2、态理论在复模态空间来对结构进行解耦。本章介绍一种状态空间的复模态理论。§7.2 复模态的概念线性多自由度有阻尼系统的自由振动方程为：mx'+cxj+kx=0(7-2)设其解为：x=He'J(73)代入方程(7-2)得到：(片m+qc+k)中=D(K)中=0(7-4)矩阵D(K)称为系统的特征矩阵。方程(7-4)是一个“二次特征值”问题，要(74)式有非零解的充要条件为：|D(2=|Xm+Kc+k=0(75)上方程是一个关于人的2n次代数方程，有2n个特征根%(i=1,2,2n),通常加都是复数，由于阻尼矩阵的正定性，而且由于质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵都是实数矩阵，为

3、一定具有负的实部，且共腕成对出现。与复特征值对应的特征矢量也都是共腕复数形式。每一对共腕复数特征根，都对应着系统中具有的特定频率与衰减率的一种衰减振动。假定系统无重特征值，则系统的各个特征运动可以表示为：x(t),=Wre旧(r=1,2,2n)(76)系统的2n个复模态一一复特征矢量中,，可以构成一个在系统位形空间的nw2n阶的矩阵，称为复模态矩阵：悭=lH2H2n(77)由于系统在位形空间中的物理坐标只有n个，而复模态却有2n个，所以不能用(77)的复模态矩阵W对(71)中的x进行坐标变换，来对方程(7-1)进行解耦。为了解决这个困难，我们将(71)式转换到状态空间:MyKy=F(t)其中：

4、y平F(t):；！x,、f(t),M。m>m0lMKjmcJ0k_y称为系统的状态变量，系统在状态空间的自由振动方程为：MyKy=0设其特征解为：y(t)=pe/代入方程(7-11),得到：(MK)'P=0(78)(79)(710)(711)(712)(713)其特征方程为:将M,K的定义式代入:0m-m0*mc！0田-mkJ叫m叫m2c+k(715)即:m»2m+Nc+k=0(716)由于m正定，所以有:与（74）比较可知:岂2m十出c+k=0(717)(718)故（712）式可以写为:又因为:x'y=LX,所以有:(719)(720)/dmJ(721)即在状

5、态空间中，对应于复特征根的特征向量为:”r、nJ(722)它被定义为系统在状态空间中的第r阶复模态。§7.3复模态的正交性及其归一化对应于复特征对（弧悝）（%，悝s）,系统的特征方程分别为:rM甲rK可,=0(723)用悝T左乘（723）式，并用任:左乘（724）式并转置得到:''PTMP,PTKP,=0(725)上两式相减得到:飞；M,P；Kr=0(726)口-%)悝TM悝,=0(727)由此得到复模态怦对M和K的加权正交关系如下:悝山MMr=°当、以PTKWr=0(728)当=%时，则有:Ti1CUM'；，r二M.、P：K甲r，？r(729)且有

6、(730)而:理:M例,=4，rHrkTr0m俨rWJtmcJkr：(731)令:-2r-Tm1rTc',(732)#MKPJr=1并将（731）式做为复模态的归一化条件，乎Nr为第r阶归一化复模态。显然,对于K阵有:留n；K悝Nr=-K（733）§7.4求解振动响应的复模态叠加法与实模态分析相同，利用系统在复模态空间中的复模态矩阵：3=W1悝2钟2/（734）对状态向量y进行模态坐标变换;y=;z(735)将（735）代入（78）,并前乘出T得到2n个完全解耦的方程:diag(”)zdiag(K)z=F其中，Tdiagp=PTM甲TdiagK=；,TKPF(t)=TF(t)或写成：二MrZrKrzr=Fr(t)(r=1,2,2n)因为：)Kr二-'r-'r所以：1zr-rzr-.Fr(t)Mr而：E(t)=悝:F(t)=5：H：；)卜町卜在零初始条件下，(740)的解为：=+:"“)*-%.r因为：”:皿U八;向中外y=xTz(t)="z(t)(736)(737)(738)(739)(740)(741)(742)(743)其中，=diag所以:2n2n1t(744)八'-r(一。'-；f(t)e'r(jd.)FMr°二小;f(t)e口