小波分析课件第一章基础知识

1、第一章 小波分析的数学基础一、信号与滤波1.1信号的定义与分类信号信号的分类非平稳随机信号非各态历经各态历经平稳随机信号非确定性信号瞬变信号准周期信号非周期信号复杂周期信号正余弦周期信号周期信号确定性信号信号1.2 信号分析与处理目的信号的分析信号处理一、时域 数字信号处理的数学方法分为时域、频域和时频域三个方面。 在时域中对信号进行加工处理不涉及数学变换，主要是对时域信号本身进行分析或利用数理统计的方法来获得信号中的某些特征信息。 二、频域傅立叶变换方法：缺陷：（1）只适于分析平稳信号，对非平稳信号无能为力。（2）为了得到一个时域信号的频域特征，必须使用信号在时域中的全部信息，甚至将来信息。

2、n（3）频谱对时域内的信息变化很敏感。n（4）工程中要求对于高频信息，时间间隔应相对变小；而对于低频信息，时间间隔应相对变宽。傅立叶变换对此毫无作为。三、短时傅立叶变换D.Gabor于1946年提出，也称为加窗傅立叶变换。基本思想：采用中心位于时间的时间窗g(t- )在时域信号上滑动，在时间窗g(t- )限定的范围内进行傅立叶变换。在一定程度上改善了傅立叶变换无时间局部化能力的不足。短时傅立叶缺陷：（1）在短时傅立叶变换的计算中，选定了时间窗，时间和频率的分辨率就保持不变。（2）同样不适于分析非平稳信号，所以它不适于分析非平稳信号，可用于分析平稳信号和准平稳信号。四、小波变换小波分析方法是一种

3、窗口大小（即窗口面积）固定但是其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的视频局域化分析方法，即在高频范围内时间分辨率高；在低频范围内频率分辨率高。被称为数学显微镜。这种特性使小波变换具有对信号的自适应性。小波变换的概念把一称为基本小波的函数 做位移b后，再在不同尺度a下与待分析信号x(t)做内积：等效的频域表示是：)(t0,)()(1),(adtabttxabaWTxdeaXabaWTbjx)()(2),(的傅立叶变换。分别是其中，)(),()(),(ttxX举例：小波变换的特点和作用（1）具有多分辨率的特点，可以由粗到细地逐步观察信号。（2）可把小波变换看成用基本频率为 的带通滤波器在不同尺度a

4、下对信号做滤波。如果 的傅立叶变换是 ，则 的傅立叶变换为 ，因此这组滤波器具有品质因素恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。（3）适当地选择基本小波，使 在时域上为有限支撑， 在频域上也比较集中。 )()(t)()(at)(|aa)(t)(4.傅立叶变换和小波变换的比较（1）傅立叶变换的实质是把能量有限的信号f(t)分解到以eit为正交基的空间上；小波变换的实质是把能量有限的信号f(t)分解到W-j(j=1,2,J)和V-j所构成的空间上。（2）傅立叶变换用到的基本函数只有sin(t)、 cos(t)和exp(it)，具有唯一性；小波分析所用到的小波函数则不是唯一的。（3）在频域

5、中，傅立叶变换具有较好的局部化能力，但在时域中，傅立叶变换没有局部化的能力。（4）在小波分析中，尺度a越大相当于傅立叶变换中的的值越小。（5）在短时傅立叶变换中，变换系数Gf(,)主要依赖于信号在时间窗内的情况，一旦时间窗函数确定，分辨率也固定了。而在小波变换中，变换系数WTx(a,)的时间宽度是随尺度a变换而变化的，因此具有局部分析能力。（6）若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立叶变换不同之处在于：短时傅立叶变换的带宽与中心频率无关；相反，小波带通滤波器的带宽 则正比于中心频率。即：为常数。，CCQ数学记号：R：表示实直线，即R=(-，)；Z：表示整数的集合，即Z=,-1,0,1,；

6、C：表示复数的集合；Rn：n维欧氏空间，是所有实向量组成的集合；Cn ：是所有复向量组成的集合；1.3 小波分析的数学基础1.函数空间（1）距离空间定义：设X是任一集合，如果X中任意两个元素x与y，都对应一个实数（x，y），而且满足：非负性： （x，y）0，当且仅当x=y时， （x，y）=0；对称性： （x，y）= （ y ， x ）三角不等式：对于任意的x，y，zX，有（x，y） （x，z）+ （z，y），则称（x，y）为x与y之间的距离，而称X为以（x，y）为距离的距离空间。常用的距离空间n维欧氏空间。设Rn表示n维向量x=(x1,x2,xn)的全体所构成的集合，称为n维欧氏空间，其中xi

7、(i=1,2,n)都是实数。连续函数空间Ca,b。令：Ca,b=x(t)|x(t)是a,b上的连续函数，则称Ca,b为 a,b上的连续函数空间。平方可积函数空间。令L2(R)=x(t)|R|x(t)|2dt，则称L2(R)为平方可积函数空间。平方可积离散序列空间l2。令l2 =x=(x1,x2,xn ,)|xi|2 。（2）线性空间设X为一非空集合，若在X中规定了线性运算，即元素的加法和元素的数乘运算，并满足相应的加法或数乘的结合律及分配律，则称X为一线性空间或向量空间。对于线性空间的任一向量我们用范数来定义其长度。（3）线性赋范空间设X为一线性空间，若对于任意xX有一确定的非负实数|x|与它

8、对应，且满足：一定是距离空间。因此线性赋范空间令为线性赋范空间。的范数，为则称；及；时，当且仅当,),(,|,0|, 0,xyyxXxxyxyxXyxxxRXxxxxXx一个线性赋范空间如果是完备的，则称为巴拿赫空间。（4）巴拿赫空间完备？（5）希尔伯特空间设X为复数域C上的线性空间，若从XX到C中定义一个函数，使对任意x，y，zX，满足：。时，有当且仅当有0, 0,;,;,xxxxxzyzxzyxCxyyx满足上述条件，函数为X中的内积，定义了内积的空间X，称为内积空间。在内积空间中，定义范数.为： x=1/2，而定义距离(x,y)=x-y=1/2，则内积空间必为线性赋范空间。完备的内积空间

9、称为希尔伯特空间。2.基、正交基和双正交基（1）基定义：由函数序列组成的空间称X为由序列ek(t)组成的线性空间，即Xspan(ek),也即对任意g(t)X，可以表述为：ZkRatteaXkkk,| )(kkkteatg)()(件？为空间的一个基底，条zkkte)(（2）正交x，y为内积空间X的两个元素，若=0，则称x，y为正交，即xy表示。1）标准正交系 若内积空间X中的元素列ek满足则称ek为X中的标准正交系。nmnmeenm, 1, 0,2）完全的标准正交系设X为内积空间， ek为X中的一个标准正交系，若xX，xen（n=1，2，），则必有x=（ 表示零元素），即X中不存在非零元素，使它

10、与所有的ek（t）正交，则称ek为X中的完全的标准正交系。3.框架和紧框架（1）框架设H为一Hilbert空间， 为H中的一个函数序列，若对于任意fH，存在0AB，使得下式成立：则称 为一个框架，称A，B分别为框架的上、下界。 Zjj222|,|fBffAZjj Zjj（2）紧框架如果上式中，A=B，则称此框架为一紧框架，这时，上式变为：由此推导可得：需要指出的是，满足此式的紧框架 一般并非正交。22|,|fAfZjjjjfAf21|,| Zjjn卷积和序列卷积运算满足以下性质：（1）交换律（2）结合律（3）分配律1, 1 , 0, )()()(*)(10NnknhnxnhnxNk，定理1.1

11、 设x(n)和h(n)为两个序列，其傅立叶变换分别为F(j)和H(j)，则)()()(| )()(*)()()()()()(*)(nhnxnznzjHjFnhnxjHjFnhnx：两个序列的乘积定义为2.卷积积分同样满足交换率、结合律和分配律)()()(*)(thxthtx定理1.2 设x(t)和h(t)为两个函数，它们满足x(t)L2(R)和h(t)L2(R),其傅立叶变换分布为X() 和H()，则)(*)()()()()()(*)(HXthtxHXthtx1.4 采样及采样定理采样间隔称为采样周期，通常用T表示。采样间隔的倒数称为采样频率，用fs表示。fs =1/T从数学角度分析采样的过程

12、。采样的过程就是连续信号对单位冲激信号进行调幅的过程。利用采样函数采样设x(t)为连续信号，p(t)为采样函数，(t)为单位冲激信号，则抽样后的信号xp(t)为xp(t)= x(t) p(t)式中 ，采样过程如上图。p(t)本身就是一个冲激串，即nnTttp)()(npnTtnTxtx)()()(采样定理n对于一个带限信号，| m, m为信号的最高频率，欲使采样后的信号能被不失真地恢复到采样前地连续信号的条件是：ns 2 mn即采样频率不小于信号最高频率的2倍。1.5 理想滤波器数字滤波器框图n通带：滤波器允许通过的频带。n阻带：不允许通过的频带。n截至频率：通带和阻带交接处的频率。n对于连续时间信号，理想低通滤波器的频率响应为：n对于高通滤波器的频率响应为：ccH| , 0| , 1)(ccH