第二章开放式光腔和高斯光束2.3

1、第二章 开放式光腔和高斯光束（3）Gaussian Beams高斯光束和均匀平面波、球面波一样，也是波动方程高斯光束和均匀平面波、球面波一样，也是波动方程的一个解。在许多方面，它类似于平面波，但的一个解。在许多方面，它类似于平面波，但它的强它的强度分布不均匀，主要集中在传播轴附近，它的等相面度分布不均匀，主要集中在传播轴附近，它的等相面不是平面，而是曲率中心在不断变化的球面不是平面，而是曲率中心在不断变化的球面。稳定腔输出的激光束属于各种类型的高斯光束，非稳稳定腔输出的激光束属于各种类型的高斯光束，非稳腔输出的基模光束经准直后，在远场的强度分布也是腔输出的基模光束经准直后，在远场的强度分布也是

2、接近高斯型的。接近高斯型的。 因此研究高斯光束的场分布及传输和变换特性，对于因此研究高斯光束的场分布及传输和变换特性，对于激光束变换有关的光学系统的设计，以及光学谐振腔激光束变换有关的光学系统的设计，以及光学谐振腔的工程设计都是很重要的。的工程设计都是很重要的。我们将单独讨论高斯光束的主要性质我们将单独讨论高斯光束的主要性质p高斯光束的基本性质高斯光束的基本性质 p高斯光束高斯光束q参数的变换规律规律参数的变换规律规律 p高斯光束的聚焦和准直高斯光束的聚焦和准直p高斯光束的自再现变换高斯光束的自再现变换在标量近似下稳态传播的电磁场满足的赫姆霍茨方程：在标量近似下稳态传播的电磁场满足的赫姆霍茨方

3、程：02EkE在在z的缓变振幅近似下（忽略的缓变振幅近似下（忽略 ），利用），利用“试探法试探法”解出上式微分方程的一个解出上式微分方程的一个特解：特解：一、基模高斯光束一、基模高斯光束波动方程的基模解波动方程的基模解22z此特解叫做基模高斯光束此特解叫做基模高斯光束fzarctgRrzkizreezCzyxE2)(00222)(),(高斯光束高斯光束 的基本性质及特征参数的基本性质及特征参数NoImage式中：式中：radius of curvaturespot sizeNoImage此公式给出了基模高斯光束的场分布和传输特点等性质此公式给出了基模高斯光束的场分布和传输特点等性质20220)

4、(1)(fzfzzRfzz fxarctgRrzkizreezczyx200222, 1202202zzz1.在横截面内的场振幅分布按高斯函数在横截面内的场振幅分布按高斯函数 所描述的所描述的规律从中心向外平滑降落。规律从中心向外平滑降落。光斑半径随着坐标光斑半径随着坐标z按双曲线规律变化：按双曲线规律变化：二、基模高斯光束在自由空间的传输规律二、基模高斯光束在自由空间的传输规律)(exp22zr 22002011zfzz光斑半径随光斑半径随z的变化规律为：的变化规律为： 00, 0z并且：并且：基模光斑半径随z按双曲线规律的变化 )arctan()(2,202zzRrzkzyx2、基模高斯光

5、束的相移特性由相位因子决定、基模高斯光束的相移特性由相位因子决定它描述高斯光束在点它描述高斯光束在点(r,z)处相对于原点处相对于原点(0,0)处的相位滞后处的相位滞后kz描述几何相移描述几何相移)arctan(20z描述高斯光束在空间行进距离描述高斯光束在空间行进距离z时相对时相对几何相移的附加相位超前几何相移的附加相位超前)(22zRkr描述与径向有关的相移描述与径向有关的相移在近轴条件下，沿高斯光束轴线每一点处的等相位面为半在近轴条件下，沿高斯光束轴线每一点处的等相位面为半径为径为R的球面的球面:束腰处的等相位面为平面束腰处的等相位面为平面，曲率中心在无穷远处，曲率中心在无穷远处 为最小

6、值为最小值在远场处可将高斯光束近似为一个由在远场处可将高斯光束近似为一个由z=0z=0发出，半径为发出，半径为z z的球面波的球面波无穷远处等相位面为平无穷远处等相位面为平面，曲率中心在面，曲率中心在z=0z=0处处22021)(zzzfzzR0z zRz zzRfz fzR2022)(limfzzz 远场发散角：远场发散角： 高斯光束振幅减小到中心最高斯光束振幅减小到中心最大值大值1/e 处与处与z轴的交角。轴的交角。z包含在发散全角范围内的功率占高斯基模光束总功包含在发散全角范围内的功率占高斯基模光束总功率的率的86.53、基模高斯光束的、基模高斯光束的远场发散角远场发散角Divergen

7、ce 200220011zzzz光斑半径随光斑半径随z的变化规律为：的变化规律为：fz 02f当当时时从最小光斑面积增从最小光斑面积增大到它的二倍的范大到它的二倍的范围是（共焦参数）围是（共焦参数）瑞利范围瑞利范围Rayleigh Range ， 从最小光从最小光斑处算起的这个长斑处算起的这个长度叫度叫瑞利长度瑞利长度三、基模高斯光束的特征参数三、基模高斯光束的特征参数在此长度内，高斯光束可近似认为是平行。在此长度内，高斯光束可近似认为是平行。1、用、用 0（或（或 f ）及束腰表征高斯光束及束腰表征高斯光束基模光斑半径随z按双曲线规律的变化 2、用、用 (z)、R(z) 表征高斯光束表征高斯

8、光束 1222122011zzRzRzzRzz高斯光束可由波前曲率半径高斯光束可由波前曲率半径R(z)R(z)、光斑半径光斑半径 (z )(z )和位置和位置z z中任意两个参量来描述。中任意两个参量来描述。 22001zz 2201zzzR 212201zRzz 1221zzRzRz引入复参数引入复参数q(z)将这三个参量联系起来将这三个参量联系起来 (描述高斯光束的传播规律非常方便)。3、高斯光束的高斯光束的q参数参数)()(1)(12zizRzq引入一个参数引入一个参数q(z):q(z):由由 决定了光束的光斑尺寸决定了光束的光斑尺寸 和波前和波前的曲率半径的曲率半径 ，也就决定了整个高

9、斯光束，也就决定了整个高斯光束的模式。的模式。)(zq)(z)(zR 00101120iRqqifiq200q值表达的基模值表达的基模(TEM00模模)高斯光束：高斯光束： arctanexp)(12exp(,20200zkzizqrikzczyx由由q 参数，可求出波前的曲率半径参数，可求出波前的曲率半径R(z)和光斑半径和光斑半径 (z) zqzR1Re1 zqz1Im12高斯光束在其轴线附近可看作是一种非均匀高斯高斯光束在其轴线附近可看作是一种非均匀高斯球面波，球面波， 2、在其传播过程中曲率中心不断改变、在其传播过程中曲率中心不断改变 3、其振幅在横截面内为一高斯函数、其振幅在横截面内

10、为一高斯函数 4、强度集中在轴线及其附近、强度集中在轴线及其附近 5、等相位面保持球面、等相位面保持球面l小结：高斯光束的基本性质小结：高斯光束的基本性质高阶高斯光束场的形式高阶高斯光束场的形式(直角坐标系）：由厄米多项式与直角坐标系）：由厄米多项式与高斯函数乘积描述高斯函数乘积描述 )(2exp)arctan()1 (expexp)(2)(2,220220zRriznmkzizrzyHzxHzCzyxnmmnmn高阶高斯光束高阶高斯光束高阶高斯光束在高阶高斯光束在垂直于光轴垂直于光轴的横截面上场振幅或光强的的横截面上场振幅或光强的分布由厄米多项式与高斯函数的乘积决定：分布由厄米多项式与高斯函

11、数的乘积决定：对应着不同整数对应着不同整数m和和n，场振幅的横向分布不同，场振幅的横向分布不同 )(2)(2exp22zyHzxHzrnml垂直于光轴的横截面上的厄米高斯分布垂直于光轴的横截面上的厄米高斯分布高阶模的总相移与模阶数高阶模的总相移与模阶数m和和n有关，表示为有关，表示为高阶模波面的曲率半径高阶模波面的曲率半径R(z)R(z)与模阶数与模阶数m m和和n n无关，无关，说明在同说明在同一传播距离一传播距离z z处，处，各阶各阶厄米高斯光束波面的曲率半径都相厄米高斯光束波面的曲率半径都相同，且随同，且随z z的变化规律也相同。的变化规律也相同。)arctan()1 ()(2(,202

12、znmzRrzkzyx相移因子随模阶数的变化导致了谐振腔中不同横模之间相移因子随模阶数的变化导致了谐振腔中不同横模之间谐振频率的差异谐振频率的差异高阶光束的光斑半径和光束发散角随模阶数高阶光束的光斑半径和光束发散角随模阶数m和和n而增大。而增大。高阶高斯光束场的形式：由拉盖尔多项式与高斯函数乘积描述高阶高斯光束场的形式：由拉盖尔多项式与高斯函数乘积描述 llzRrizlpkzizrzrLzrzwCzrlplplplsincos)(2exp)arctan()21 (expexp)(2,22022220赫姆霍兹方程在缓慢振幅近似下的一个特解，对应着具有赫姆霍兹方程在缓慢振幅近似下的一个特解，对应着

13、具有圆对称光学谐振腔的振荡模式。圆对称光学谐振腔的振荡模式。*波动方程在圆柱坐标系统下的场分布波动方程在圆柱坐标系统下的场分布 llzrzrLzrzrAlplplsincosexp2)(2,2222在垂直于光束的任意一个横截面上，振幅的分布为在垂直于光束的任意一个横截面上，振幅的分布为:)arctan()21 ()(2(,202zlpzRrzkzr总相移：总相移：高阶光束的光斑半径和光束发散角也随模阶数高阶光束的光斑半径和光束发散角也随模阶数p和和l而增大。而增大。 )(2exp)arctan(expexp,2202200zRrizkzizrzzyx基模高斯光束的场分布：基模高斯光束的场分布：

14、220exp)(rArA2202exp)(rIrI基模高斯光束在某一横截面上的光场振幅分布和光强分布：基模高斯光束在某一横截面上的光场振幅分布和光强分布：r为从光斑中心算起的距离，为从光斑中心算起的距离， 为该截面处的光斑尺寸为该截面处的光斑尺寸高斯光束的孔径高斯光束的孔径功率透过率功率透过率T：开孔半径为：开孔半径为a的圆孔，高斯光束通过半径的圆孔，高斯光束通过半径为为a的圆孔的功率的圆孔的功率Pa与总的功率与总的功率P之比。之比。)2exp(12)(2)(22020020ardrdrIrdrdrIPPTaa 孔径半径a 1/2 3/2 2透过功率百分比 39.3000 86.5000 98

15、.8900 99.9877 高斯光束功率透过率与孔径的关系：高斯光束功率透过率与孔径的关系：1、普通球面波在自由空间的传播规律、普通球面波在自由空间的传播规律: LzRzzzRzRzzRzRzzRzR11212222111)()()(球面波的波前曲率半径随球面波的波前曲率半径随传播过程的变化为：传播过程的变化为：101LDCBATLLLLL LLLLDCBzRAzR12可以写成：高斯光束高斯光束 q q参数的变换规律参数的变换规律经过薄透镜的光线经过薄透镜的光线 （Rays at a lens）rout = rinout = (1/F) rin + inrin, inz = zinrout o

16、utz = zoutF如果透镜很薄，则只有光线的倾角发生变化，如果透镜很薄，则只有光线的倾角发生变化，将上式写成矩阵形式：将上式写成矩阵形式：Rewriting this expression in matrix notation:ininoutoutrFr1101当傍轴波面通过焦距为当傍轴波面通过焦距为F F 的透镜时，其波前曲率半径满的透镜时，其波前曲率半径满足关系式足关系式 ：符号：沿光传输方向的发散球面波的曲率半径为正，会符号：沿光传输方向的发散球面波的曲率半径为正，会聚球面波的曲率半径为负。聚球面波的曲率半径为负。普通球面波在通过薄透镜的传播规律普通球面波在通过薄透镜的传播规律: F

17、zRzR11112也可以表示成：也可以表示成：上式反映了近轴球面波曲率半径的传输与光学系上式反映了近轴球面波曲率半径的传输与光学系统矩阵元之间的关系统矩阵元之间的关系DCRBARR112 FzRzR11112焦距焦距F F的薄透镜对傍轴光线的变换矩阵为：的薄透镜对傍轴光线的变换矩阵为：1101FDCBATFNoImage将波前的曲率半径将波前的曲率半径R(z)和光斑半径和光斑半径 (z)代入上式：代入上式：2、高斯光束、高斯光束q参数的变换规律参数的变换规律ABCD公式公式)()(1)(12zizRzq22021)(zzzfzzR2202021)(zz zqzizq020得到得到高斯光束在自由

18、空间由高斯光束在自由空间由z z1 1经距离经距离L传播到传播到z z2 2, ,q q的规的规律为律为 ：1212zzqq复参数复参数q q的定义为的定义为: :/wp高斯光束通过薄透镜的变换高斯光束通过薄透镜的变换出射光束在透镜处的光斑尺寸满足：出射光束在透镜处的光斑尺寸满足：21当傍轴波面通过焦距为当傍轴波面通过焦距为F F的透镜时，其的透镜时，其波前曲率半径满足关系式波前曲率半径满足关系式 ： FzRzR11112222211iRq211111iRq 表示入射高斯光束在透镜处的表示入射高斯光束在透镜处的q参数，参数， 表示出射高斯光束在透镜处的表示出射高斯光束在透镜处的q参数参数1q由

19、上面的四个式子可以得到：由上面的四个式子可以得到：2qFqq11112出射光束在透镜处的光斑尺寸满足：出射光束在透镜处的光斑尺寸满足：21当傍轴波面通过焦距为当傍轴波面通过焦距为F F的透镜时，其的透镜时，其波前曲率半径满足关系式波前曲率半径满足关系式 ： FzRzR11112可见，高斯光束的复参数可见，高斯光束的复参数q q与普通球面波的曲率半与普通球面波的曲率半径遵循相同的传播规律，因此径遵循相同的传播规律，因此q q也称为高斯光束的也称为高斯光束的复曲率半径。复曲率半径。比较两式：比较两式： FzRzR11112Fqq11112 Lzqzzzqzq11212 LzRzzzRzR11212

20、)(高斯光束的高斯光束的q 参数通过传输矩阵参数通过传输矩阵 的光学系统，其的光学系统，其变换规律遵循变换规律遵循ABCD定律：定律：DCBATA、B、C、D为该光学系统的光线矩阵元，为该光学系统的光线矩阵元，q q1 1和和q q2 2分别为在入射平面分别为在入射平面1 1和出射平面和出射平面2 2的复光束参数。的复光束参数。光线传输的矩阵理论和高斯光束用简单的方式联系起来光线传输的矩阵理论和高斯光束用简单的方式联系起来D Cq B Aq q 1 1 2 高斯光束的高斯光束的ABCD定律定律11112222DCBADCBADCBADCBATnnnn如果复参数如果复参数q1的高斯光束顺次通过传

21、输矩阵的高斯光束顺次通过传输矩阵11111DCBATnnnnnDCBAT22222DCBAT总矩阵元总矩阵元T：高斯光束的高斯光束的q参数和参数和ABCD定律给出研究高斯光定律给出研究高斯光束传输的一个基本方法束传输的一个基本方法CBClqq lqqA0高斯光束腰斑的变换规律高斯光束腰斑的变换规律将将C C点取在像方束腰处点取在像方束腰处3 3、 用用q q参数分析高斯光束的传输问题参数分析高斯光束的传输问题入射高斯光束的光腰在入射高斯光束的光腰在l 处，处， 2000iqqFqqAB111求解得：求解得：20220220202220201111lFFFFl已知高斯光束的已知高斯光束的腰斑大小

22、腰斑大小和和位置位置，整个高斯，整个高斯光束传输规律就确定了。光束传输规律就确定了。高斯光束的高斯光束的腰斑大小：腰斑大小：22022FlFFlFllC出射高斯光束的出射高斯光束的腰斑的位置：腰斑的位置：由图中可见：由图中可见： 1.当当 时，时， 与几何光学的薄透镜对与几何光学的薄透镜对轴上点的成像公式一致。轴上点的成像公式一致。 2.在在z/f1处，两曲线有处，两曲线有不同的变换规律。当入不同的变换规律。当入射高斯光束腰恰好在透射高斯光束腰恰好在透镜的前焦面上时，出射镜的前焦面上时，出射光腰则在透镜的后焦面光腰则在透镜的后焦面上，这与几何光学结果上，这与几何光学结果不同。不同。Rzfz1f

23、zz111像方高斯光束腰斑的大小像方高斯光束腰斑的大小一、高斯光束的聚焦一、高斯光束的聚焦高斯光束高斯光束 的聚焦和准直的聚焦和准直22022020lFF1、F 一定时，一定时， 随随 l 变化的情况变化的情况0对对l 求一阶偏导：求一阶偏导：2/32000/0)()(FlllFFwl像方高斯光束的腰斑位置：像方高斯光束的腰斑位置：0202200min0)/(1)/(1FfF（1） 当时当时 ， 故，故， 像方高斯光束的腰斑半像方高斯光束的腰斑半径随径随l 的减小而减小。的减小而减小。Fl 00lFfFFl211)/(11)/(11222000FfFK当当 l=0 时，像方高斯光束时，像方高斯

24、光束的腰斑半径达到最小值：的腰斑半径达到最小值：腰斑的放大率：腰斑的放大率：20min01FfF00当当 时：时：20 fF即当即当 时，不论透镜的时，不论透镜的焦距多大，只要焦距大于零它焦距多大，只要焦距大于零它总有会聚作用，且像距始终小总有会聚作用，且像距始终小于于f f，即像方腰斑位置在透镜，即像方腰斑位置在透镜后焦点以内。后焦点以内。0lFfFFl2/1Fl /当当 时：时：lFl ，00故，像方高斯光束的腰斑半径随故，像方高斯光束的腰斑半径随l 的增加而单调减小，并且：的增加而单调减小，并且： （2） 当时当时 ，Fl 00l当当 时：时：Fl FlFz)(0若：若：FllF，00结

25、论：当物光束的腰斑离透镜很远时结论：当物光束的腰斑离透镜很远时，l 越大，越大，f f 越小，聚焦效果越好。越小，聚焦效果越好。Fl （3） 当时，像高斯光束腰斑半径达到最大值：当时，像高斯光束腰斑半径达到最大值：Fl 0max0FFl 及及即：只有透镜的焦距即：只有透镜的焦距Ff 时，才有聚焦作用；时，才有聚焦作用；当当l 一定时，一定时， 随随F的变化情况的变化情况 001/2R(l)R(l)F201201对对F F 求一阶偏导：求一阶偏导：2、l 一定时，一定时， 随随F变化的情况变化的情况02/3220/0)()(FlfFllfF2022020lFF)()(120max0zfl1. 当

26、当 时，有极大值：时，有极大值：)()(1 2lRlflF02. 当当 时，时，)(lRF ，所以，所以 随随F的减小而单调减小。的减小而单调减小。00F0lF 当当 时，时， ，只有当其焦聚，只有当其焦聚 时，时，透镜才能对高斯光束起聚焦作用，且透镜才能对高斯光束起聚焦作用，且f 越小，聚焦效果越越小，聚焦效果越好。当好。当 时，时，)(21lRF 00)(0zF)(lRF 3.3.当当 时，时， ，即，即 随随f f的增加而单调减小，的增加而单调减小， 当当 时，时， ，故在此范围，故在此范围无聚焦作用无聚焦作用。 00FF00)(21lRF l高斯光束聚焦的方法高斯光束聚焦的方法Fl 腰

27、斑腰斑小，光束发散得快，小，光束发散得快，发散角发散角大，大， 腰斑腰斑大，光束发散得慢，大，光束发散得慢，发散角发散角小小二、高斯光束的准直二、高斯光束的准直 改善光束的方向性，即压缩光束的发散角改善光束的方向性，即压缩光束的发散角002高斯光束发散角高斯光束发散角: :002通过透镜后，像高斯光束发散角：通过透镜后，像高斯光束发散角：224022202/0)1 (FFl2022200)(1)1 (12wFFl由上式可见，对于有限大小的由上式可见，对于有限大小的 0 0, ,无论无论F F、l 取什么值，都无取什么值，都无法使法使 0 0趋于无穷大，即不可能使趋于无穷大，即不可能使 。因此，

28、要用单。因此，要用单个透镜将高斯光束转换成平面波，从原理上说，是不可能实个透镜将高斯光束转换成平面波，从原理上说，是不可能实现的。现的。01、高斯光束的准直单透镜准直、高斯光束的准直单透镜准直02 0l由条件：由条件：F00FfF200此时：此时：Fl 0得到：当时得到：当时, , 有最大值：有最大值：因此因此F00224022202/0)1 (FFl（）像高斯光束的发散角与入射高斯光束的束腰半径的（）像高斯光束的发散角与入射高斯光束的束腰半径的大小大小 和透镜的焦距和透镜的焦距F F有关，越小，有关，越小，F F 越大，像高斯光束越大，像高斯光束的方向性越好；的方向性越好；0Fl （）当透镜

29、的焦距（）当透镜的焦距F F一定时，若入射高斯光束的束腰处在透镜一定时，若入射高斯光束的束腰处在透镜的前焦面上，即，出射高斯光束的发散角的前焦面上，即，出射高斯光束的发散角 达到最小，达到最小，f f越大，越大， 越越 小小; ;若先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，以便获得一个极小若先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，以便获得一个极小的腰斑，然后再用一个长焦距透镜来改善其方向性，就可以得的腰斑，然后再用一个长焦距透镜来改善其方向性，就可以得到很好的准直效果。到很好的准直效果。首先利用一个短焦距透镜将高斯光束聚焦，获得极小的腰斑；首先利用一个短焦距透镜将高斯光束聚焦，获得极小的腰斑；然后再利用

30、一个长焦距透镜改善光束的方向性，达到然后再利用一个长焦距透镜改善光束的方向性，达到 准直的目的。准直的目的。高斯光束的准直望远镜准直高斯光束的准直望远镜准直1/Fl )(10lF当透镜当透镜F F1 1满足：满足： ，它将物高斯光束聚焦于透镜，它将物高斯光束聚焦于透镜后焦面上：后焦面上：1Fl 高斯光束经过透镜高斯光束经过透镜F F2 2 后，高斯光束可以很好地准直。后，高斯光束可以很好地准直。 可计算整个系统对高斯光束地准直倍率。可计算整个系统对高斯光束地准直倍率。定义高斯光束的准直倍率：定义高斯光束的准直倍率：00/M/000/00/02/2220001200/)(1)()(lMlMlFF

31、M可得到：可得到：22/0/00F由上式可知，一个给定望远镜对高斯光束的准直倍率不由上式可知，一个给定望远镜对高斯光束的准直倍率不仅与望远镜的本身结构有关，还与高斯光束的腰斑以及仅与望远镜的本身结构有关，还与高斯光束的腰斑以及腰斑与副镜的距离有关。腰斑与副镜的距离有关。00/M自再现变换：当高斯光束通过透镜后模结构不发生变换，即自再现变换：当高斯光束通过透镜后模结构不发生变换，即参数参数 0 0或或l不变不变如果以高斯光束复参数如果以高斯光束复参数q q来描述来描述自再现变换，当距离透镜分别自再现变换，当距离透镜分别为为l和和l的复参数为的复参数为q q和和q q，应满应满足如下条件。足如下条

32、件。一、利用透镜实现自再现变换一、利用透镜实现自再现变换ll 00高斯光束高斯光束 的自再现变换和稳定球面腔的自再现变换和稳定球面腔 0qllqCC在右式中，令在右式中，令20220220202220201111lFFFFl00则有则有解得：解得：带入：带入：解得：解得：22022FlFFlFllCll 当透镜焦距等于高斯光束入射在当透镜焦距等于高斯光束入射在透镜表面上的波面曲率半径的一透镜表面上的波面曲率半径的一半时，透镜对该高斯光束作自在半时，透镜对该高斯光束作自在现变换。现变换。薄透镜与球面镜的等价性：薄透镜与球面镜的等价性：二、球面反射镜对高斯光束的自再现变换二、球面反射镜对高斯光束的

33、自再现变换当入射在球面镜的高斯光束波面曲率半径正好等于当入射在球面镜的高斯光束波面曲率半径正好等于球面镜的曲率半径时，球面反射镜对高斯光束自再球面镜的曲率半径时，球面反射镜对高斯光束自再现变换。现变换。（即反射镜与高斯光束的波前相匹配（即反射镜与高斯光束的波前相匹配对谐振腔理论具有重要意义对谐振腔理论具有重要意义薄透镜及球面镜对高斯光束的自再现变换：薄透镜及球面镜对高斯光束的自再现变换：如果将某高斯光束的两个等相位面用相应曲率半径如果将某高斯光束的两个等相位面用相应曲率半径的球面镜来代替，则将构成一个稳定腔，而且由于的球面镜来代替，则将构成一个稳定腔，而且由于该高斯光束被腔的两个反射镜作自再现

34、变换，因而该高斯光束被腔的两个反射镜作自再现变换，因而它将成为该谐振腔中的自再现模。它将成为该谐振腔中的自再现模。稳定腔的任一高斯模在腔内往返一周后，应能重现。稳定腔的任一高斯模在腔内往返一周后，应能重现。按照复参数传输的按照复参数传输的ABCDABCD规律：规律：三、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔三、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔11111111122222222212011201ACBDRDCBADCBARACBDDCBA光束从参考面光束从参考面P P出发，在谐振腔中循环一周的变换矩阵出发，在谐振腔中循环一周的变换矩阵ABCDABCD为：为：可得到：可得到：又因为又因为MqqMD Cq

35、 B Aq q MM M D Cq B Aq q MM M ABCD定律在光学谐振腔中的应用定律在光学谐振腔中的应用利用利用ABCD矩阵很容易求出复杂光学谐振腔的矩阵很容易求出复杂光学谐振腔的基模参数基模参数2 2 1 2 ) ( 4 2 1 w i R B D A B A D qM 2 2 ) ( 4 2 2 D A B A D B R ) 1 ( 2 ) ( 4 1 ) 1 ( 2 ) ( 1 2 2 2 2 2 0 2 2 AD D A B R w w w AD A D B w R R z NoImagep非稳定谐振腔非稳定谐振腔稳定腔的优点：衍射损耗小稳定腔的优点：衍射损耗小 稳定腔的

36、缺点：模体积小，利用的反转粒子数少，稳定腔的缺点：模体积小，利用的反转粒子数少， 平行平面腔的优点：模体积大平行平面腔的优点：模体积大 平行平面腔的缺点：衍射损耗较大、调节精度很高平行平面腔的缺点：衍射损耗较大、调节精度很高 非稳定腔的优点：非稳定腔的优点： 非稳定腔的缺点：非稳定腔的缺点： 非稳腔的几何自再现波型非稳腔的几何自再现波型非稳定腔的优点和缺点：非稳定腔的优点和缺点：非稳定腔的优点：非稳定腔的优点： 大的可控模体积，通过扩大反射镜的尺寸，大的可控模体积，通过扩大反射镜的尺寸，扩大模的横向尺寸；扩大模的横向尺寸； 容易鉴别和控制横模；容易鉴别和控制横模； 易于得到单端输出和准直的平行

37、光束易于得到单端输出和准直的平行光束1.1. 可控的衍射耦合输出，输出耦合率与腔的几可控的衍射耦合输出，输出耦合率与腔的几何参数何参数g g有关；有关； 非稳定腔的缺点：非稳定腔的缺点： 输出光束截面呈环状；输出光束截面呈环状； 1.1. 光束强度分布是不均匀的，显示出某种衍射环。光束强度分布是不均匀的，显示出某种衍射环。1)DA(210ggor1)DA(211gg2121即即 非稳定腔的条件：非稳定腔的条件： 1. 双凸型非稳定腔双凸型非稳定腔：由两个凸面镜按照任意间距组成。：由两个凸面镜按照任意间距组成。1gg210R10R21g21g1 任何双凸腔都是非稳腔任何双凸腔都是非稳腔 l非稳定

38、腔的种类非稳定腔的种类 2. 平凸型非稳定腔：平凸型非稳定腔：由一个平面镜和一个凸面镜按照任意由一个平面镜和一个凸面镜按照任意间距组成。间距组成。 任何平凸腔都是非稳腔任何平凸腔都是非稳腔 1g21g11gg210R12R 3. 双凹型非稳定腔双凹型非稳定腔(非对称实共焦腔或非对称实共焦腔或负支望远镜型非负支望远镜型非稳腔稳腔)：由两块曲率半径不同的凹面镜组成，两块反射由两块曲率半径不同的凹面镜组成，两块反射镜的实焦点相重合，满足非稳腔条件。镜的实焦点相重合，满足非稳腔条件。L2R2R212121gggg20gg21 满足非稳腔条件满足非稳腔条件 腔满足关系式腔满足关系式 4. 凹凸型非稳定腔

39、凹凸型非稳定腔(虚共焦型非稳腔或正支望远镜虚共焦型非稳腔或正支望远镜型非稳腔型非稳腔)：由一个凹面镜和一个凸面镜既可以构由一个凹面镜和一个凸面镜既可以构成稳定腔，也可以构成非稳定腔。成稳定腔，也可以构成非稳定腔。LRRRR21211gg21LR10R20R10gg21 腔满足关系式腔满足关系式 L2R2R212121gggg2双凸型非稳定腔的共轭像点和轴向球面波型双凸型非稳定腔的共轭像点和轴向球面波型 系统中总存在一对轴上共轭像点系统中总存在一对轴上共轭像点p p1 1和和P P2 2, ,腔内存在腔内存在一对发散球面自再现波型，由这一对像点发出的一对发散球面自再现波型，由这一对像点发出的球面

40、波满足在腔内往返一次成像的自再现条件。球面波满足在腔内往返一次成像的自再现条件。 根据球面镜成像公式，求一对像点在系统光轴上的根据球面镜成像公式，求一对像点在系统光轴上的位置和谐振腔参量之间的关系位置和谐振腔参量之间的关系对凸面反射镜对凸面反射镜M2: M2: 221211RlLl112211RlLl对凸面反射镜对凸面反射镜M1:M1:双凸腔中光线传输路径双凸腔中光线传输路径21212121212)(2)(20RRLRLLRCRRLRLLBCBll042 CB方程有实根的条件：方程有实根的条件：变成只含变量变成只含变量 或或 的方程的方程1l2l对双凸腔，上式必然满足。对双凸腔，上式必然满足。

41、21121212212212112)()()(2)()()(RRLRLLRRLRLRLLlRRLRLLRRLRLRLLl2121121212122121221212112) 1(2) 1(gggggggggggLlgggggggggggLl当腔的结构确定后，其共轭像点的位置也惟一地确定。当腔的结构确定后，其共轭像点的位置也惟一地确定。1. 双凸腔的一对共轭像点都在腔外，因双凸腔的一对共轭像点都在腔外，因而是虚的，相应的几何自再现波型是而是虚的，相应的几何自再现波型是一对发散的球面一对发散的球面波波而且两个像点各自处于凸面镜的曲率中心与镜面之而且两个像点各自处于凸面镜的曲率中心与镜面之间间01l

42、02l2. 2. 在对称双凸腔在对称双凸腔 中，共轭像点的位置满足中，共轭像点的位置满足 )(21ggg) 111(221ggLll对共轭像点的几点讨论：对共轭像点的几点讨论：1R2R3. 3. 对于平凸腔，对于平凸腔， 为有限值，共轭像点的位置满足为有限值，共轭像点的位置满足 ) 11() 11(1122222221ggLLRLlggLLRLl平凸腔的一对共轭像点都在腔外，因而是虚的，相应平凸腔的一对共轭像点都在腔外，因而是虚的，相应的几何自再现波型是的几何自再现波型是一对发散的球面波。一对发散的球面波。凹凸型非稳定腔虚共焦望远镜腔的共轭像点凹凸型非稳定腔虚共焦望远镜腔的共轭像点凹凸腔的一个

43、共轭像点凹凸腔的一个共轭像点在腔外无穷远处，对应在腔外无穷远处，对应的自再现波型是的自再现波型是平面波平面波 另一个共轭像点在公共另一个共轭像点在公共的焦点上，对应的自再的焦点上，对应的自再现波型是以现波型是以共焦点为虚共焦点为虚中心的的球面波中心的的球面波。 最大优点：能获得单端最大优点：能获得单端输出的均匀平面波输出的均匀平面波在高功率激光器中经常使用虚共焦望远镜腔在高功率激光器中经常使用虚共焦望远镜腔双凸非稳定腔的几何放大率双凸非稳定腔的几何放大率将从腔镜边缘外侧逸将从腔镜边缘外侧逸出的球面波作为激光出的球面波作为激光器的有用输出，非稳器的有用输出，非稳腔中每一往返的平均腔中每一往返的平

44、均能量损耗率就是其往能量损耗率就是其往返输出耦合率。返输出耦合率。光线从镜光线从镜M1M1传播到镜传播到镜M2M2横向尺寸的放大率横向尺寸的放大率: :11/1lLlyym光线从镜光线从镜M2M2传播到镜传播到镜M1M1横向尺寸的放大率横向尺寸的放大率: :22/2lLlyYm有用的激光输出有用的激光输出 用简单的几何关系求光线在非稳定腔内往返传播一周的放大率用简单的几何关系求光线在非稳定腔内往返传播一周的放大率M)()()()()()()()()()()()(1212122121222121121211RLLRRLRLRLLRLLRRLRLRLLmRLLRRLRLRLLRLLRRLRLRLL

45、m21121212212212112)()()(2)()()(RRLRLLRRLRLRLLlRRLRLLRRLRLRLLl光线在非稳定腔内往返传播一周的放大率光线在非稳定腔内往返传播一周的放大率M1) 1(22) 1() 1()()(1)()(121212121212121212121212121212121ggggggmmyYMggggggggggggmmyYMRLRLRRLLRLRLRRLLmmyYM112222gggM122121/ggRRmmM)(21ggg对称双凸型非稳定腔对称双凸型非稳定腔与通常望远镜的放大率公式相一致与通常望远镜的放大率公式相一致望远镜非稳定腔望远镜非稳定腔(虚共

46、焦腔和实共焦腔虚共焦腔和实共焦腔)非稳定腔的能量损耗非稳定腔的能量损耗212122111221/21)(/ )(maalLlaa11/ )(lLl 镜镜M1M1上的光束半径为上的光束半径为a a1 1; ; 光束从镜光束从镜M1M1传播到传播到M2M2，光束的半径光束的半径增加了增加了 倍倍 由镜由镜M2M2反射的光能量与由镜反射的光能量与由镜M1M1反射的光能量之比为：反射的光能量之比为：212122111221/2211)(1/ )(11maalLlaa光束从镜光束从镜M M1 1单程传播到单程传播到M M2 2，光能量损耗：，光能量损耗：222212222212/1121)(1/ )(1

47、1maalLlaa光束从镜光束从镜M2M2单程传播到单程传播到M1M1，光能量损耗：，光能量损耗：非稳定腔的输出耦合率为：非稳定腔的输出耦合率为：2221212/ 11/222212/ 11/211)(111111MLlLll lmm往返往返往返非稳定腔的光能量输出是通过侧向能量逸出非稳定腔的光能量输出是通过侧向能量逸出“损耗损耗”实现的实现的 通过调节腔的几何参数可以直接控制非稳定腔的输出能量通过调节腔的几何参数可以直接控制非稳定腔的输出能量M为非稳定腔的往返放大率为非稳定腔的往返放大率本章小结激光器激光器光放大器光放大器谐振腔谐振腔模式选择模式选择提高光子简并度，提高光子简并度，保证光的相

48、干性。（产生对振保证光的相干性。（产生对振荡光束的控制作用）荡光束的控制作用）提供轴向光波模的正反馈提供轴向光波模的正反馈形形成自激振荡（使振荡光束除损耗成自激振荡（使振荡光束除损耗和输出外，有足够的能量在腔内和输出外，有足够的能量在腔内往返多次经受激辐射放大而维持往返多次经受激辐射放大而维持振荡。）振荡。）（激活介质）（激活介质）满足集居数反转满足集居数反转激励能源激励能源本章小结基本概念基本概念11、共轴球面腔、开腔及其分类、共轴球面腔、开腔及其分类2、腔的模式、纵模、横模、开腔的自再现模、腔的模式、纵模、横模、开腔的自再现模3、谐振条件、谐振频率和纵模间隔、谐振条件、谐振频率和纵模间隔4

49、、光腔损耗、光腔损耗本章小结基本理论基本理论11、共轴球面腔的稳定性条件、共轴球面腔的稳定性条件2、激光谐振腔的衍射积分理论、激光谐振腔的衍射积分理论3、一般稳定球面腔的模式理论、一般稳定球面腔的模式理论4、高斯光束理论、高斯光束理论本章小结基本理论基本理论11、共轴球面腔的稳定性条件、共轴球面腔的稳定性条件学会写一些光学系统的传播矩阵，并能判断一个学会写一些光学系统的传播矩阵，并能判断一个腔是否稳定。（光学系统指光束在自由空间和介腔是否稳定。（光学系统指光束在自由空间和介质中的传播、薄透镜变换、凹面镜反射。）质中的传播、薄透镜变换、凹面镜反射。）1211DA2、激光谐振腔的衍射积分理论、激光

50、谐振腔的衍射积分理论(1)、数值迭代解法（平行平面腔）、数值迭代解法（平行平面腔）通过求解菲涅耳基耳霍夫积分方程，获得稳定腔内通过求解菲涅耳基耳霍夫积分方程，获得稳定腔内自在现模的分布特点自在现模的分布特点sdikyxuikyxus)cos1 ()exp(,4),(2)、解析解法（方形镜和圆形镜共焦腔）、解析解法（方形镜和圆形镜共焦腔）两种对称共焦腔的自再现模（横模）分别为：两种对称共焦腔的自再现模（横模）分别为：方形镜对称共焦腔方形镜对称共焦腔厄米特厄米特-高斯函数函数高斯函数函数圆形镜对称共焦腔圆形镜对称共焦腔拉盖尔拉盖尔-高斯函数函数高斯函数函数n方形反射镜的横模图像方形反射镜的横模图像

51、(c) TEM02(d) TEM03(a) TEM00(b) TEM10n球形反射镜的横模图像球形反射镜的横模图像对称共焦腔对称共焦腔的基本特点：的基本特点：（1 1）共焦腔的光斑半径大小与镜面的尺寸没有关系，只与）共焦腔的光斑半径大小与镜面的尺寸没有关系，只与腔长有关；一般共焦腔模集中在镜面中心附近。腔长有关；一般共焦腔模集中在镜面中心附近。 （2 2）共焦腔模的损耗小于平面腔模的损耗。菲涅耳系数相）共焦腔模的损耗小于平面腔模的损耗。菲涅耳系数相同时，不同横模的损耗不同，模的阶次越高，损耗越大；同时，不同横模的损耗不同，模的阶次越高，损耗越大；损耗随着菲涅耳数损耗随着菲涅耳数N N的增大而迅速减小；的增