导数中的分类讨论问题

1、导数中的分类讨论问题分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想,应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”一、参数引起的分类讨论例：已知函数f(x)2plnx(p1)x1,当p0时，讨论函数f(x)的单调性。解:f(x)的定义域为(0,+8),fx当p1时，f'(x)>0,故f(x)在(0,+8)单调递增;当0Vp<1时，令f'(x)=0,解

2、得x则当x0,Ip时，f'(x)>0;x,2p1Ii故f(x)在0,p单调递增，在pp2p1V2p1例：已知函数f(x)ln(x时，f'(x)<0.单调递减.1)k(x1)1,求函数f(x)的单调区间;解：(1)f(x)k,(x1)，所以，x11当k0时，f(x)0;当k0时，由f(x)0得:x1-,所以，k当k0时f(x)在1,上为增函数；11当k0时f(x)在1,1-上为增函数；在1-,上为减函数；kk二、判别式引起的分类讨论2例：已知函数f(x)xxalnx,(aR)讨论f(x)在定义域上的单调性。解：由已知得f(x)2x1亘&一xa,(x0),xx1

3、.一.(1)当18a0,a时，f(x)0恒成立，f(x)在(0,)上为增函数.81(2)当18a0,a时，81i)0a一时,81；r-8a21 J8a0,f(x)在2i；T-8aiina上为减函数，f(x)在(0,1一18a,J18a22)上为增函数,2 a0时Ta118a0,故f(x)在0,-一吧上为减函数,2f(x)在118a,十00)上为增函数.2，斗一.1一.综上，当a时，f(x)在(0,)上为增函数；81118a1.18a,斗竹。将当)0a一时，f(x)在,上为减函数,822f(x)在(0,a,Li)上为增函数,22当a<0时，f(x)在(0+°°)上为增函

4、数.18a上为减函数，f(x)在2118a2三、二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论2.9例：已知函数f(x)=-2x+2ax+3x令9(刈=2+1)+3-小)若g(x)在,1、(-,)上单调递增，求实数a的取值范围.222解：由已知得g(x)ln(x1)3(2x4ax3)ln(x1)2x4ax,14x24(1a)x14ag(x)4x4ax1x1，1、一又当x(一，)时，恒有x10,44a82一2设h(x)4x4(1a)x14a苴对称轴为xa11一(i)当一，即a0时，应有22解得：2a0,所以a16(1a)216(14a)0时成立，a111一1(ii)当,即a0时，应有h(-)0即：14(

5、1a)-14a02222综上：实数a的取值范围是a四、二项系数引起的分类讨论4.已知函数f(x)(a1)lnx2ax1.(1)讨论函数f(x)的单调性;设a02,求证：对任意xi,x2(0,十00),|f(xi)-f(x2)|>4|xi-X2|.解析：(1)f(x)的定义域为(0,十8),2,(x)上+2ax=至qxx当a0时，f'(x)>0,故f(x)在(0,十8)上单调递增.当a<-1时，f'(x)<0,故f(x)在(0，+00)上单调递减.当一1<a<0时，令f'(x)=0,解得x=y-a+1石'则当x(0,2a时，f&

6、#39;(x)>0；当x2a)时，f(x)0;故f(x)在(0,a1.田一上单调递增，在2a(a2a1)上单调递减.(2)不妨设x1>x2.由于a02,故f(x)在(0,+00)上单调减少,所以|f(x。f(xz)|)4|x1x?|等价于f(x2)f(x】)>4x1-4x2,即f(x2)+4x2>f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,则a+1,“2ax2+4x+a+1十2ax+4=于是g'(x)&2x121<0.从而g(x)在(0,十00)上单调减少，故g(x】)Wg(x2),即f(x。+4x7f(x2)+4x2,故对任意x1,X2C(0

7、,+8),|f(Xi)f(X2)|>4|X1-X2|.三、针对性练习1.已知函数f(x)aInxax(i)求函数f(x)的单调区间；3(aR且a0)(口)当a2时，设函数h(x)(p2)xp2e3,若在区间1,e上至少存在一个x0,使得h(x0)f(Xo)成立，试求实数p的取值范围.解：(I)由f(x)a(-x)知:x当a0时，函数f（x）的单调增区间是（0,1）,单调减区间是（1,）;当a0时，函数f（x）的单调增区间是（1,），单调减区间是（0,1）；（口）a2,f(x)2lnx2x3.令F(x)h(x)f(x),1.2.则F(x)(p2)x2e32Inx2x3px2exxx.p2e_当p0时，由x1,e得px-0,2lnx0,x'x从而F(x)0,所以，在1,e上不存在x0使得h(x0)f(x°)；2当p0时，F(x)-pxxy-p-e,x1,e,2e2xx2pxp0,F(x)0在1,e上恒成立，故F(x)在1,e上单调递增。F(x)maxF(e)pe-p-4e2lnx.0,故只要pe4e综上所述，p的取值范围是4ee21(上(2,e122.已知函数f(x)xaxaln(x1)(aR）,求函数f（x）的单调区间;解：f'(x)2xa2x(x-2)2_x1若a0时，则21,f(x)22x(xa2&q