山东省烟台市2020届高三上学期期末考试数学试卷及答案

1、2021-2021学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学考前须知：1 .本试题总分值150分,测试时间为120分钟.2 .答卷前务必将姓名和准考证号填涂在做题纸上.3 .使用做题纸时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写,要字迹工整,笔迹清楚.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上做题无效.、单项选择题：此题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 .己知集合A=X|X2-X-2<0,B=x|y=y),那么AUB=A.x|-la<2B.x|0<x<2C.x|x词D.x|x>02 .阪CR,x2-x+l>0'

2、;的否认是A.VxCR,X2-X+1<0B.3xR,x2-x+1<0C.早xCR,x2-x+l<0D.3xR,x2-x+l<03 .假设双曲线亚一K-L(a>0,b>0)的离心率为下,那么其渐近线方程为A.2x3y=0B.3x2y=0C.x2y=0D.2xy=034 .设a=log0.53,b=0.53,c=',贝Ua,b,c的大小关系为A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a5 .为弘扬我国古代的六艺文化,某夏令营主办单位方案利用暑期开设礼“乐“射“御“书“数"六门体验课程,

3、每周一门,连续开设六周.假设课程乐不排在第周,课程御不排在最后一周,那么所有可能的排法种数为C.504D.624A.216B.4806 .函数y=|x|+sinx的局部图象可能是贝Usina=7.假设x=a时,函数f(x)=3sinx+4cosx取得最小值,£_3+_+A.B.C.D.一J=8.函数取值范围是(工+1)j<1,假设方程f(x)=-2x+m有且只有两个不相等的实数根A.(-8,4)B.(-8,4C.(-2,4)D.(-2,4、多项选择题：此题共4小题,每题5分,共20分.在每题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,局部选对得3分,有选错的得0分.不满意

4、男30202.7063.8416.635kM.762,那么可以推断出9 .某大学为了解学生对学校食堂效劳的满意度,随机调查了50名男生和50名女生,每位学生对食堂的效劳给出满意或不满意的评价,得到如下图的列联表.经计算K2的观测值A.该学校男生对食堂效劳满意的概率的估计值为IB.调研结果显示,该学校男生比女生对食堂效劳更满意C.有95%的把握认为男、女生对该食堂效劳的评价有差异D.有99%的把握认为男、女生对该食堂效劳的评价有差异rrirtr10 .函数f(x)=sin(3x+中)(-彳中彳)的图象关于直线x=Z对称,那么1TA.函数f(x+二)为奇函数B.函数f(x)在不上单调递增C.假设|

5、f(x1)-f(x2)|=2,那么|x1-x2的最小值为D.函数f(x)的图象向右平移工个单位长度得到函数y=-cos3x的图象11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段BiC上运动,那么A.直线BDi,平面AiCiD学.二B.三棱锥P-A1C1D的体积为定值C.异面直线AP与AiD所成角的取值范用是45；90LTpcD.直线CiP与平面AiCiD所成角的正弦值的最大值为T12. 抛物线C:y2=4x的焦点为F、准线为l,过点F的直线与抛物线交于两点P(x1,y1),G(x2,y2),点P在l上的射影为Pi,那么A.假设xi+X2=6.那么|PQ|=8B.以PQ为直径的圆与准

6、线l相切C.设M(O,1),那么|PM|+|PPi|>近D.过点M(0,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条三、填空题：此题共4小题,每题5分,共20分.13. 己知向量a,b满足同=l,|b|=四,a,(a+b),那么a与b夹角为_.14. 随机变量X*N(1卫2),p(-1<X<1)=0.4,那么P(XW)=.15. 设点P是曲线y=ex+x2上任一点,那么点P到直线x-y-1=O的最小距离为.16. 三棱锥P-ABC的四个顶点都在球.的外表上,PA,平面ABC,PA=6,AB=2而,AC=2,BC=4,那么：(1)球.的外表积为；(2)假设D是BC的中点,过

7、点D作球O的截面,那么截面面积的最小值是.(此题第一空2分,第二空3分)四、解做题：此题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步H聚.17. |(10分)irJ+C在条彳(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,asinB=bcos(A+工),bsin=asinB中任选一个,补充到下面问题中,并给出问题解答在AABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b+c=6,a=2巡,求AABC的面积.注：如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分18. (12分)数列an的前n项和Sn满足2Sn=(n+1)an(nCN)且ai=2.(1) 求数列an的通项公式(2) 设bn

8、=(an-1)2an.求数列bn的前n项和Tn.19. (12分)20. 如图,在四棱锥S-ABCD中,ABCD为直角梯形,ADIIBC,BC±CD,平面SCD±平面ABCD.A9CD是以CD为斜边的等腰直角三角形,BC=2AD=2CD=4,E为BS上一点,且BE=2ES.(1) 证实：直线SD/平面ACE;求二面角S-AC-E的余弦值.21. (12分)椭圆的9+科=1的离心率为T,F是其右焦点,直线y=kx与椭圆交于A,B两点,|AF|+|BF|=8.求椭圆的标准方程;设Q(3,0),假设/AQB为锐角,求实数k的取值范围22. (12分)某企业拥有3条相同的生产线,每

9、条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出I现故障相互独立,且出现故障的概率为鼠求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；为提升生产效益,该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行修.每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的水平,且每月固定工资为1万元.此外,统计说明,每月在不出现故障的情况下,每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修,每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修,该生产线将不创造利润.以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在n=1与n=2之中选其一,应选用哪个？(实际获利=生产线创造利润一维修工人工资)23. (12分)函数网灯=(疗一

10、口工)】田+2门-#淇中.案.(1) 求函数f(x)的单调区向；(2) 讨论函数f(x)零点的个数；(3) 假设f(x)存在两个不同的零点Xi,X2,求证：x1x2<e2.2021-2021学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学参考答案、单项选择题1.C2.D3.C4.A5.C6.D7.B8.A、多项选择题9.AC10.AC11.ABD12.ABC、填空题14.0.115.&16.52,413.4四、解做题17.解：假设选：由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c,即b2c2所以cosAa2bc,222bca2bcbc12bc2由于A(0,),所以A一.6分3一2222_又abcb

11、c(bc)3bc,a2品,bc6,所以bc4,8分所以SABC假设选：bcsinA4sin223瓜由正弦定理得sinAsinBsinBcos(A一).2分6由于0B,所以sinB0,sinAcos(A一)6,化简得sinA-cosA1sinA,4分2 2即tanA二立,由于0A,所以A-.6分3 6又由于a2b2c22bccos,6所以bc(bc)a=6一型6-,即bc2412J3,8分2323所以Sabc1bcsinA1(241273)16373.1份222假设选：B+C.一一由正弦te理得sinBsin=sinAsinB,2分2由于0B,所以sinB0,B+C所以sin=sinA,又由于B

12、CA,2所以cos-=2sincos-,4222AA由于0A,0,所以cos0,222A1Asin-二一,一一,所以A一.6分22263又a2b2c2bc(bc)23bc,a2石,bc6,所以bc4,84sin.33*nN,一11所以SABCbcsinA一22*nN.(n1同,18.解：(1)由于2Sn=(n+1)an,所以2Sn+1=(n+2)an+1两式相减得2an1(n2)an1整理得nan+1=(n+1)an,.即七二包,nN*,所以包为常数列.n+1nn所以曳曳2,4分n1所以an=2n.分(2)bn(an1)2an=(2n1)4n.6分所以Tn141+342+543+L+(2n1)

13、4n4Tn142+343+L+(2n3)4n(2n1)4nl.价两式相减得：3Tn4+2(42+43+L+4n)(2n1)4n1,9分_424n+1-n13Tn4+2(2n1)4,11分14八,曰20(6n5)4n1化简彳导T一+-.9919.解：(1)连接BD交AC于点F,连接EF.由于AD/BC,所以AFD与BCF相似.BFBC.八所以2.分FDADBEBF八_又=2,所以EF/SD.2分ESFD由于EF平面ACE,SD平面ACE,所以直线SD/平面ACE.4分(2)平面SCD平面ABCD,平面SCDI平面ABCDCD,BC平面ABCD,BCCD,所以BC平面SCD.分uuruuuuuru

14、uuCxyz.以C为坐标原点,CD,CB所在的方向分别为y轴、z轴的正方向,与CD,CB均垂直的方向作为x轴的正方向,建立如下图的空间直角坐标系一八224那么C(0,0,0),S(1,1,0),A(0,2,2),E(-,-,-),333224、3,3,3).uuuuuuCA(0,2,2),CS(1,1,0),CE分设平面SAC的一个法向量为m=(x,y,z),那么uuumgpA0yz0uuu,即,mgCS0xy0不妨令z1,得x1,y1,于是m(1,1,1).0设平面EAC的一个法向量为n(x,y,z),那么urnn<CA0yz0uuu,即,ngCE0xy2z011分不妨令z1,得x1,

15、y1,于是m(1,1,1).设二面角SACE的平面角的大小为mgnmlln所以二面角SACE的余弦值为1.3分12FiB2分20.解：1设Fi为椭圆的左焦点,连接RB,由椭圆的对称性可知,AF所以AFBFBFiBF2a8,所以a=4,又e=C,a2=b2+c2,解得b2,c2V3.份2a22所以椭圆的标准方程为+-y-=1.5分164uuuuuu设点A(x1,y1),B(x2,y2),那么QA(x13,y),QBd3,yz),.6分22上L10,8分9分联立164,得(4k21)x216ykx所以Xix20,%x2-216-,4k1由于AQB为锐角,所以QA撰0.uuruuu所以QAgQB(X

16、i3)(x23)ym解得.35-k>或k103(XiX2)X1X2y1y23(x1x2)(1k2)x1x2粤90,4k21运.1010分1221.解：1设3条生产线中出现故障的条数为X,那么X:B(3,1).分311122124因此P(X1)Ca(-)(-)一二一332792当n1时,设该企业每月的实际获利为Y万元.假设X0,那么X123135；1,那么Y122+81131；2,那么丫121+81+01119；3,贝U丫120+81+0217；P010238212216又P(X0)c3(3)(3)元P(X2)7(/3)万P(X此时,EYi3)C：(1)3(|)033实际获利丫的均值812

17、3531-2727,12719A27当假设X假设X假设X假设Xn2时,设该企业每月的实际获利为1_77327-27Y2万元.EY20,1,2,3,34由于EY,那么Y2那么工那么丫2那么丫2827EY2.121212122+81+80+81234；122+063026-27271414；1_80227-27n1与n2之中选其一,分12令f(x)由于012(xa)lnx(-x(xa)(lnx1)0,得xa或xe.e,当0xa或xf(x)单调递减.所以f,1,3ax)-2a-x,x2分2e时,f'x0,f(x)单调递增；当axe时,x的增区间为0,a,e,减区间为于是以该企业每月实际获利的

18、期望值为决策依据,在应选用n2.22.解：(1)函数f(x)的定义域为x|x0.c3clnx0,2ax0,4因此,当x(0,a,恒f(x)分5)单增,且f(a)0,分60,1取=min1,2a,那么当x(0,)时,xa0,21 3f(x)x(-xa)lnxx(2ax)0；2 4又由于0ae,由(1)可知fx在(0,a)上单增,即f(x)在(0,a上无零点.下面讨论xa的情况：e.当0a一时,由于f(x)在(a,e)单减,(e,4f(e)e(ae)0,f(e2)=1e40,44根据零点存在定理,f(x)有两个不同的零点.e.当a=一时,由f(x)在(a,e)单减,(e,4此时f(x)有唯一零点e.e假设一ae,由f(x)在(a,e)单减,(e,4此时f(x)无零点.)单增,且f(e)0,分7e、_)单增,f(x)f(e)e(a-)0,4分8ea=-,f(x)有唯一零点e;右4e一.综上,右0a一,f(x)有两个不同的零点；假设4e一ae,f(x)无零点.4(3)证实：由(构造函数那么F(x)令g(x)e2)知,0a一,且axie4F(x)(x(Inx2ef(x)f(一),x4ea)(lnx1)(x43