平行线及角平分线类相似

1、平行线及角平分线类相似内容根本要求略高要求较高要求相似了解比例的根本性质,了解线段的比、成比例线段,会判断四条线段是否成比例,会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；熟悉现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的根本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题相似多边形知道相似多边形及其性质；熟悉现实生活中物体的相似会用相似多边形的性质解决简单问题晶铭篇1 .相似定义,性质,判定,应用和位似2 .相似

2、的判定和证实3 .相似比的转化想丽强为上一节课我们知道了相似三角形的由来,那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？不仅建造金字搭的技术中,表现了古埃及人的非凡的数学天才：而且,它本身的许多数据,也说明了古埃及人的数学才华,巧夺天工,比方,胡夫金字塔底面周长365米,恰好是一年的天娄；周长乘以2,正是赤道的时分度：搭高乘以10九次方,正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍,正是圆周率3.1415926：塔的自重乘以10的15次方,正好是地球的重量；塔里放置的棺材内部尺寸,正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数3：45.数学的趣味是无法言语的,同学们可以从身边的点滴去发现其

3、中的奥秘.模块一平行线类相似问题平行线类相似的根本模型有的延长线于.,那么而=.【难度】3星【解析】先介绍常规的解法：如图,过点C作心好或/W的平行线均可,ABr.AA*/BCDaCD不妨以左图为例来说明.【例1】如怪I,在中'M是AC的中点'E是加上一点,*连接,并延长交BC这点、C作CF/DE,交AB于点、F.VAM=MC9CF/DE：.AE=EF1BFVAE=-AB：.=24EFBCBFVCF/DE：=CDEF当然,过点M、点上作适当的平行线,=2均可作出此题,这里不再给出.以上这些解法均属于常规解法,下面介绍特殊的解法：看A45c为直线所截,由梅涅劳斯定理可知,些.丝.

4、里=1EBDCMA1RD义AE=-AB,AM=CM9古攵=3n=24DCCD上述图形是一个经典的梅氏定理的根本图形,解类似的题时,梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果,很快得出答案,梅氏定理的证实见变式1,先讲变式1再介绍本解法.【答案】2【稳固】如图,4是AABC的中线,点E在上,尸是3E延长线与AC的交点.AF11如果七是">的中点,求证：=1：FC2AU1A172由1知,当E是AQ中点时,3=L*成立,假设石是AQ上任意一点上与A、D不FC2ED重合,上述结论是否仍然成立,假设成立请写出证实,假设不成立,请说明理由.【难度】3星【解析】1过点.、E./作平行线均可构造出平

5、行线的根本图形,然后利用这些根本图形的性质来解题.以下给出6种捕助线还有几种没给出,解题过程不再给出.A当然,此题也可由梅氏定理直接得出结果.看AADC被直线班尸所截,由梅氏定理可得9.色.竺=1FCBDEAAF义AE=DE,BD=CD9故=-.FC2(2)结论依然成立,解法同上(包括用梅氏来解题),不再给出.【答案】(1)见解析；(2)结论依然成立【拓展】如图,在人钻.中,.为8c边的中点,E为AC边上的任意一点,BE交AD于点、O.(1)当任=1时,求好的值:AC2AD当靠=安时'求益的值:(3)试猜测匹=匚时把的值,并证实你的猜测.ACn+1AD【难度】4星【题型】解答八/八山A

6、E112Ao22【斛析(1)当=时=：EC21+1AD32+1(2)当生='时,吆=34；AC31+2AD2+22当短萍/I七VDFUBE,BD=CD,.AE_1ACn+VDF/BE(3)当生=_L时,业=/_,ACn+AD2+n证实方法比拟多,选择两种介绍：如上右图,过点、D作DF/BE,交AC于点尸.,EF=CF：.CE=iiAE9EF=-CE=-AE22.AOAE_2AO_2ODEFnAD2+n另一种解法就是梅氏定理,看AAOC被直线30石所极可知坦丝笠小,而生=LnCAE,BD=CD,故好=±.ODBCEAAC+lAD2+n/、A°2、r,AE1,A

7、6;1uAE1,【答案】(1)=-:(2)当=一时,=一：当=一时,AD3AC3AD2AC4AEACn+1时,【例2】如图,在四边形A8CO中,AC与4.相交于点O,直线/平行于40,且与AB、DC.BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P.求证：PMPN=PRPS【难度】5星【解析】略r紫法1口八3st80ocOD【苔柒】BD/MS=PRCPPN.PNOD=PRBOVBDMS二BOODPMAPPS.PSODPMBOP/VPS=nPMPN=PRPSPRPM点评：此题通过证实原结论的变形式两个分式比例等于一个相同或相等的分式比例来证实他们【稳固】己知,如图,四边形A5C.,两组对边

8、延长后交于七、F,对角线BDEF,AC的延长线交.于G.求证：EG=GF.【难度】5星【解析】略【答案】证法一:过C作MV成交AE、AF于M,N,那么有MC_EM_FN_CN访一百一而一而:MC=CN,义,：MNEF、.MCAC_CN*EG=AG=GF证法二：由塞瓦定理的充分性可得：竺竺.竺=1.又由于独=d2,代入上式得GFDABEBEDFEGFDAD,0nEG=1,即GFDADFGF所以EG=GF.【稳固】：.为A43c的中位线MN上任意一点,BP、CP的延长线分别交对边AC、4?于.、E,求证:ADAE,+=1DCEBB【难度】5星【解析】略【答案】延长80、CE分别交过A的平行8c的直

9、线于R、.两点,9：QR/MN/BC9且=：PQ=PC,PR=PB又/4QPR=4CPB:.SPQR&SPCB,可得QR=BC,.ADARAEAQ乂=,=,DCBCEBBC.AD+AE_AR+AQAR+AQ_RQBCCD+£B=BC+BC=BC='BC=BC=【例3】如图,AB/EFMCD,假设A8=,CD=b,EF=c,求证:111=+cab【难度】4星【解析】略.EF_DF.EF_BF'五一丽【答案】9：AB/EF9：CD/EF两式相加并变形可得,1=1+1.EFABCDcab【稳固】如上图,AB上BD,CDO垂足分别为3、D,AC和4.相交于点七,EF上

10、BD,垂足为f.证实：_L+_L=_L.ABCDEF【难度】4星【解析】略【答案】由ABLBD,CD工BD,EFLBD,两式相加并变形可得,工=与+=EFABCL【稳固】如图,AB/EF/CD,找出“EFDFEFBF那么必有AB/CD/EF,进而可知二=,=,ABBDCDBD5gS小初、S.皿之间的关系,并证实你的结论.【难度】4星【解析】略【答案】_=_+_,过点a、E、C分别作M的垂线SREDSND垂足为、M.N.由变式1可知,故EMAHCN11111+1BDEM-BDAHBDCN222即+,SBEDSmbDS.点评：此题的证实过程表达了“集中这一思想,将竺1、.AB现它们的和是一个常数.

11、【拓展】如图,在梯形A3C.中,AD/BC,AO=a,BC=b,E,A.BHFMDN竺1集中到同一条线段4.上,从而发CD尸分别是AO,8c的中点,AF交BE于P,CE交DF于Q,求尸.的长.T士比hA/DZ-T4EPAE2aa_EPaPQab【解机】：方法*-*:由AD/BC可知,=-PQ=PBBF1,bEBa+bBC»a+b-b2方法二：观察此题与上题颇为相似,于是猜测PQ/A3/CO,但是此题中没有可以直接使用基本国形结论的条件,可通过连接历来实现,设£F、尸.交于点O.:AD/BC.AP_AEDQ_DE万一市"CF：AE=DE,BF=CF：.,*嗡=pq“

12、adbc.OPOFOQAEEFDEop=OP=OQ(VAE=DE9其中为中间过渡量)EFAE/OP/BF111220ab=+=一+=.2=OPAEBF2(a+b)如果双向延长PQ分别与AB、CD交于点G、H,那么有GP=OP=OQ=QH.模块二角平分线类相似问题角平分线类的相似模型如下：方法点播：角平分线类得相似问题根本就这样的两种模型,辅助线的做法也如图中虚线所示,学生在学这局部知识时,不管是平时测脸和期中、期末测试,只要涉及到角平分线和证实相似问题就可以试着做这样的捕助线,根本都可以解决.【例4】在用A8C中,线段CE平分NAC8交于点£,交斜边上的高AD于点O,过.引8.的平行

13、线交于尸.求证：AE=BF.【难度】3星【解析】在相似问题中遇到证实线段相等的问题时一定要能想到：这个证实可能是由两组成比例线段进行等量代换得到.此题由角平分线得到角相等再由都是直角三角形,可证实一组相似三角形得到一AT?rfAR组成比例线段=-再根据平行线分三角形两边成比例得到比例线段=,最后ODCDODADACAEBF再根据一组相似三角形得到成比例线段-=-一,等量代换得到一=,题目得证CDADODODAE=BF.【答案】七平分NAC8AZ2=Z3:.RtMAEsRNDO.AEAC''ODCD火：OFBC.BF_AB''ODAD又:RfAABDsRtACAD

14、ACAB,AEBFe.=,即=CDADODODAAE=BF注意：应用比例线段证实两直线平行或两线段相等时,1要注意如果相关的比例式较多,一时难以作出选择,应将所有相关的比例式都写出来,然后再仔细比照、分析选出有用的.2要注意比例性质的灵活运用,善于总结比例式变换时的方法和技巧.变化时,要头脑清醒,思路清楚,一个字母也不放过,并且每一步都要有根有据,切不可无根据的乱变,或者相当然地硬变.【稳固】在A45c中,ZBAC=120°,AO平分/BAC交8C于点.,求证：ADABAC【难度】3星【解析】解法一：此题可根据角平分线类相似的模型首先试着作出辅助线：过点.作.的平行线,由于所给.=1

15、20.平分之后有两个60的特殊角,可判定AOE为等边三角形,再根据相似和平行导出线段的比例关系,最关键的一步是,将所得的两组线段整体相加,得到一个新的等式,最后发现问题得证.解法二：分别以ARAC为边向外作两个等边三角形,即八钻“和ACN,由平分后的角度为60,可轻易证实AO8WCN得到两组比例线段£=挈和g=两者相加后又重新BCBMBCCN得到一个新的等式,再根据等边三角形的特点代换相等的线段,最后问题也得证.此题只给出第一种解法的步骤.【答案】过点.作/W的平行线,交AC于点足VZBAC=120°,ZBAD=ZCAD9:.ABAD=ACAD=Of?DE/AB,：.ZAD

16、E=ZBAD=a)°/.AD=AE=DEdeab吗嗯AE_BDAC=BC,OE+AE=CD+BD=1ABACBCBC等式两边同除以AD,那么有：J_+J_=J_ABACAD【拓展】如下图,ABC的三条外角平分线跳;、AD、CF,与对边所在直线交于E、D、尸三点,求证：D、E、F三点共线.【难度】5星【解析】此题接触到了一个新的定理叫作梅涅劳斯定理.下面给学生介绍一下这一定理.梅涅劳斯定理：X、八Z分别是A5c三边所在直线3C、CA.上的点.那么X、丫、Z共线的充分必要条件是:CXBZAY_拓五记一'根据命题的条件可以画出如下图的两个图形：或X、Y.Z三点中只有一点在三角形边的

17、延长线上,而其它两点在三角形的边上：或X、丫、Z三点分别都在三角形三边的延长线上.CYR7AY证实：(1)必要性,即假设X、Y.Z三点共线,那么上L.吆二=1XBZAYC设A、B、C到直线XPZ的距离分别为.、b、c.那么2=,=->三式相乘XBbZ4aYCcVnCXBZAYcbciL|J.y=.一.一XBZAYCbacCYR7AV(2)充分性,即假设上.丝.±=1,那么X、八Z三点共线.XBZAYCCYR7AYfCYR74V设直线xz交ac于y',由已证必要性得：上一丝丝二i又由于上.三.3=1,所以XBZAYrCXBZAYCAYr_AYrCYC由于y和y或同在AC线

18、段上,或同在AC边的延长线上,并且能分得比值相等,所以丫,和y比重合为一点,也就是X、丫、z三点共线.CYR7AV梅涅劳斯定理的应用,一是求共线线段的笔,即在上、丝、士三个比中,其中两个可XBTAYC以求得第三个.二是证实三点共线.【答案】由外角平分线性质定理可得：处=",延=0£,4£=江.所以BCACEAABFBBCBDCEAFABBCAC匕以ew孤,“何从曲丁尸八七匚一上“四=1.由梅涅劳斯定理的逆卫理可何O、E、二点共线.BCEAFBACABBC【拓展】如图,己知A是NXOV的平分线上的定点,过点A任作一条直线分别交OX、OY于.、Q.证实：_!_+_是定

19、值：求,+_:的最小值OPOQOP2OQ2【难度】6星【解析】略【答案】(1)方法一：过点A作,M的垂线,分别交OX、OV于点F、E,过点.作OV的平行线交£F的延长线于点K.Vzxoa=zyoa9ef1OA=OE=OFKP°Y=黄啜,整噜:KP=PF'筮啜嘿DAZXOA=N2A=OPOQ.PF_OPPF_QE无=丽=而=而OFOP-OFPFOE,OE-OQEQ.1-=,-1=OPOPOPOQOQOQOFOE、OFOE：.1-=一一1=一+=2OPOQOPOQOPOQOE由于A点为定点,故石、厂均为定点,oe为定值,所以_L+_L是定值.OP0Q方法二:过A作AMO

20、y,交QX于M,设VAM/OYPM9即=OQOPOQOP-aOP整理得：_L+_L=2OQOPa;A是nxoy的平分线上的定点,_L+_L为定值.OQ0P(2)由于上+=(_L+J_)2-2-!-OP2OQ2OPOQOPOQ,其中_L+_L为定值,OP0Q要使v+L的值最OP-OQ2小,那么必须使.尸.的值最小.马OPOQ=(OF+PF)(OE-EQ)=OE*OE-EQ)PF-OEEQ.PFOP义=EQOQ:.(OE-EQ)PF-OEEQ=OEPF-OPEQ=(OE-OQ)PFN.当且仅当QP=OF,即点P处于点尸处时OP.有最小值0炉.此时一二+一二有最小值OP-0.OE2此题的小问归根结底

21、用到的也是拆分,不过它里面结合了“角平分线定理和复杂的比例变换.【例5】AA8C中,N3AC的外角平分线交对边5C的延长线于.,求证：AD2=BDCD-ABAC【难度】5星【解析】略【答案】在A45C外作NAB£=NAZM交的延长线于点£,VZ2=Z3,Z3=Z4,AZ2=Z4,又：Nl=4£)£,:./SAEBADCACAD即AE=AC,ACAD由A4EBsA47)c可得：ZACD=ZE9又ZADC=ZBDE,：.ADACSDBE9：.DADE=DCDB9一得：DADE-AEAD=DCDB-ABACAB1_BM：.AD(DE-AD)=DCDB-ABAC

22、,KpAD2BDCD-ABAC：AD.分别为AA8C的内、外角平分线,M为小的中点,求证:【难度】5星【解析】略【答案】连接AM,由条件可知4£=90.,ZACM=ZCAD+ZADC=ZBAD+ZDAC+ZCAM=ZBAM,又丁ZAMC=/AMB.AB2BMAC2CM黑邕检蒯1 .如下图,ABC0E尸是一个凸六边形,P、Q、R分别是直线44与£P、FE与CD、DC与4?的交点,S、7、U分别是BC与田、DE与AF、%与CB的交点,如果AB：PR=CD：RQ=EF：QP,求证：BC：US=DE.ST=FATU.DQ【难度】5星【解析】略【答案】此题的条件和结论都是三个线段之比

23、的连等式,且AB、CD,七厂构成一个与APQR相似的三角形的三边,因而可以考虑通过平移变换将/W、CD、EF集中到一起构成一个与APQR相似的三角形.如下图,将CD平移至.石位置,那么OECQ,且.七二CD,p所以NFEO=N.,且EO：QR=CD：QR=EF：QP,因此"EOsaPQR,从而NO/=ZP,且FO：PR=EF：QP=AB：PR.这说明尸OAB,且R7二AB,进而£4.3,且FA=OB.又由于CODE,于是ACOBsASTU,所以BC：US=CO：ST=OB.TU,注意到CO=O七,OB=FA,WBC：US=DE.ST=FA：TU.2 .：AD.AE分别为A4

24、5C的内、外角平分线,求证:【难度】4星【解析】略【答案】由三角形内、外角平分线性质定理得:ACCDACCE布一茄,肉一前,.CDCE,丽=翦,BC-BDBE-BC故,=,BDBE整理得：BC(BE+BD)=2BDBE,两边同除以BCBEBD得HBDBEBC1 .通过本堂课你学会了2 .掌握的不太好的局部3 .老师点评：1 .如图,在直角八针.中NC=90,放置边长分别3,4/的三个正方形,那么x的值为【难度】3星【解析】根据条件可以推出CEFsAome's/Xp/w然后把它们的直角边用含X的表达式表示出来,利用对应边的比相等,即可推出入的值.【答案】7:在直角ABC中/C=90,放置

25、:边长分别3,4.的三个正方形,根据CEFS2MEs5FN,.OE_OM丽-7F'EF=x.MO=3,PN=A,：.OE=x-3,PF=x-4,:.(x-3)(x-4)=12,Ax=0不符合题意,舍去,x=7.2 .如图,在AA8C中,M是AC的中点,E是上一点,且=连接EM并延长,交8C的延长线于D,那么的长为【解析】先介绍常规的解法:如图,过点.作0E或的平行线均可,不妨以左图为例来说明.过点、C作CF/DE,史AB千点、F.VAM=MC9CFUDE：.AE=EFVAE=A34:CF/DEBCBFCDEF当然,过点用、点E作适当的平行线,均可作出此题,这里不再给出.以上这些解法均属

26、于常规解法,下面介绍特殊的解法：EBDCMA看A43c为直线EMD所载,由梅涅劳斯定理可知,ird义AE=-AB,AM=CM9吉攵=3=24DCCD上述图形是一个经典的梅氏定理的根本图形,解类似的题时,梅氏定理的运用能够带来立羊见影的效果,很快得出答案,梅氏定理的证实见变式1,先讲变式1再介绍本解法.【答案】B3 .如图1,AABC中,4.5/分别平分/明.,乙4比CE是AABC的外角Z48的平分线,交8/延长线于E,连接C7.(1) AABC变化时,设N84C=".假设用a表示N8/C和NE,那么N8/C=,NE=：(2)假设4?=1,且AABC与/(7£相似,求相应AC长；(3)如图2,延长4交EC延长线于尸.当ABC形状、大小变化时,图中有哪些三角形始终与48相似？写出这些三角形,并选其中之一证实.【难度】3星【解析】(1)根据三角形内角与外角的关系可以用.表示4/C和(2) AABC与/3相似,根据题意知N/CE=90,可分三种情况讨论并求出相应AC长：(3)共三对£7£A£C8,zMb.以ZXSsAaB/为例说明：由于NAC£是八45c的外角,可得出