平面向量重难点解析知识讲解

1、平面向量重难点解析课文目录2.1平面向量的实际背景及根本概念2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的根本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例目标：1、理解和掌握平面向量有关的概念；2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用;重难点：重点：向量的综合应用.难点：用向量知识,实现几何与代数之间的等价转化.【要点精讲】1 .向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2 .向量的表示方法：uuur用有向线段表示-AB(几何表示法)；rr用字母a、b

2、等表不(字母表不法)；平面向量的坐标表示(坐标表示法)：rr分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平rr面向量根本定理知,有且只有一对实数x、y,使得axiyj,(x,y)叫做向量a的(直r角)坐标,记作a(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,特Irrr_r24,、利地,i(1,0),j(0,1),0(0,0).a|yxy;右人区小),B(x2,y2),那么ABx2x1,y2y1,AB|.；(x2xi)2(y2y1)23 .零向量、单位向量：-1-1 长度为0的向量叫零向量,记为0;*长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.(注：-a

3、-就是单位向量)|a|4 .平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；r我们规定0与任一向量平行r平行,记作a/bc.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.rurrr性质：a/bb0arr、40,b与a同向r方向-rrb是唯一0,b与a反向长度-|a|brrrra/b(b0)rx1y2x2yl0(其中ar(x/),b(X2,y2)5 .相等向量和垂直向量：相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量垂直向量两向量的夹角为一2rrrr性质：abagb0rirrrabX1X2yiy20其中a为,必,bX2,y26 .向量的加法、减法：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.向量加法的三角形

4、法那么和平行四边形法那么.平行四边形法那么：uuLrrrACab起点相同的两向量相加,常要构造平行四边形uiurrrDBab三角形法那么加法减法首尾相连终点相连,方向指向被减数加法法那么的推广:uuuuuuurABnAB1nuurB1B2uiuiuurBniBnuruu即n个向量a1,a2,uuran0urururan首尾相连成一个封闭图形,那么有a1a2向量的减法向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差.即：ab=a+b；差向量的意义：OA=a,OB=b,那么BA=ab平面向量的坐标运算：假设r(x1,yi),b(X2,y2)rr,贝!1ab(x1X2,y1y2),(XiX2,yiy2),r,

5、、a(x,y).向量加法的交换律a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)常用结论:UJLT1ULUULU(1)假设AD-(ABAC),那么D是AB的中点(2)或G是ABC的重心,那么uuuGAUUUUULTGBGC7 .向量的模：ruuu1、定义：向量的大小,记为|a|或|AB|2、模的求法:rr假设a(x,y),那么|a|Jxy假设A(Xi,yi),B(X2,y),UUU那么|AB|(XXi)2(y2yi)23、性质:r2|a|2r2a;r|a|b(b0)r22一|a|b(实数与向量的转化关系)r_r.|a|2|b|2,反之不然(3)三角不等式:rrrrrr|a|b|

6、ab|a|b|rrrrrr(4)|agb|a|b|(当且仅当a,b共线时取“=)rrrrrrrrrrrr即当a,b同向时,agb|a|b|；即当a,b同反向时,a8|a|b|(5)平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和,r2r2rr2rr2即2|a|2|b|ab|ab|8.实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量,记作：入(i)|入a|=|入|a|;(2)入>0时入a与a方向相同；入<0时入a与a方向相反；入=0时入a=0；(3)运算定律入(科a)=(入n)a,(入+科)a=xa+科a,入(a+b)=ia+入b交换律:rragorrbga；分配律:r(arrb)gc0)k

7、urrrra*b*r.-b)=a(rb);不满足结合律：即rrr(agb)gcrrragbgc)向量没有除法运算.如:adpcgb2r-ra8都是错误的(4)两个非零向量rra,b,它们的夹角为rrrragb=|a|b|cosr坐标运算：a(Xi,yi),b(X2,y2),那么a3x1x2V1V2uur(5)向量ABra在轴l上的投影为:rIaIcosrr(为a与n的夹角,rn为l的方向向量)r-其投影的长为A/B/rragnrr(6)a与b的夹角|n|rr和a8的关系:rn+|n|r为n的单位向量)(1)当0时,rra与b同向；当rr时,a与b反向(2)为锐角时,那么有rragb0rra,b

8、不共线为钝角时,那么有agbrra,b不共线9.向量共线定理：向量b与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是：有且只有一个非零实数入,10.平面向量根本定理:如果e,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数入1,入2使a=11e；+入2e；.(1)不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不惟一,关键是不共线;(4)基底给定时,分解形式推(3)由定理可将任一向量a在给出基底e、e2的条件下进行分解;入1,入2是被a,e1,e2唯一确定的数量.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即假设A(x,y)

9、,那么OA=(x,y);当向量起点不在原点时,向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标,即假设A(x1,y1),B(x2,y2),那么AB=(x2-x1,y2-y1)个实数(可正、可11 .向量a和b的数量积:ab=|a|b|cos,其中0,兀为a和b的夹角.|b|cos称为b在a的方向上的投影.ab的几何意义是：b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积,是负、也可是零),而不是向量.假设a=(x1,y1),b=(X2,、2),那么a?bX1X2YiY2运算律：a-b=b-a,(入a)-b=a(入b)=入(ab),(a+b)c=a-c+bc.a和b的夹角公式:cosa?bx1x2y1y22222y1.

10、X2y2a?aa2|a|2=x2+y2,或|a|二Jx2y2Va2a-b|<|a|b|.xiX2x3y1y2y312 .两个向量平行的充要条件:符号语百：假设a/b,aW0,那么a=X坐标语言为：设a=(X1,y1),b=(x2,y2),那么a/b(x1,y1)=入(x2,y2),即1y1或X1y2-x2y1=0在这里,实数入是口t一存在的,当a与b同向时,入0;当a与b异向时,入0.|入|二回,入的大小由a及b的大小确定.因此,当a|b|定了.这就是实数乘向量中入的几何意义.13 .两个向量垂直的充要条件:符号语言：a±ba-b=0坐标语言：设a=(x1,y1),b=(x2,

11、y2),那么ab,b确定时,入的符号与大小就确x1x2+y1y2=0例1、如图,OA,OB为单位向量,OA与OB夹角为-c120,OC与OA的夹角为045,【典型例题】|OC|=5,用OA,OB表示OC.解题思路分析：以OA,OB为邻边,OC为对角线构造平行四边形把向量OC在OA,OB方向上进行分解,如图,设OE=入OA,OD=OB,入>0,>>0贝UOC=入OA+科OBIOA|=|OB|=1入=|OE|,厂|OD|OE|CE|/E=6C0,/OCE=7&|OC|sin750sin6005(326由gsin750|OC|sin600|CE|玲得:|OC|sin450s

12、in6005.635、.63OC5(326)oa56OB3是向量中的根本而又重要的问题,通常说明：用假设干个向量的线性组合表示一个向量,通过构造平行四边形来处理D和向例2、ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点量AD坐标.解题思路分析:用解方程组思想设D(x,y),那么AD=(x-2,y+1)BC=(-6,-3),ADBC=0-6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0BD=(x-3,y-2),BC/BD-6(y-2)=-3(x-3),即x-2y+1=0由得：xOC|=6,/AOC=BOCy1D(1,1),AD=(-1,2)的坐标.例3、求与

13、向量a=(V3,-1)和b=(1,超)夹角相等,且模为&的向量c解题思路分析：用解方程组思想法一：设c=(x,y),贝Uac=V3x-y,b,c=x+J3yacbc1aHe|1bHe|,3xyx,3y即x(2封y又Ic|=2x2+y2=2x由得y、.312.3122(舍)312法二：从分析形的特征着手11|a|=|b|=2a-b=0AO斯等腰直角三角形,如图C为AB中点/3131、C(,-)说明：数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算.例4、在OABW边OAOB上分别取点MN,使|OM|：|OA|=1：3,|ON|：|OB|=1:4,设线段AN与Bg于点巳记O

14、A=a,b表示向量OP.解题思路分析:B、P、M共线记BP=sPMOP1ssOBOM1s-OBs后)0A,b1s同理,记APPN1OP=a1tt4(r一bt)b不共线11由得11s3(1s)t4(1t)解之得:928382OPa-b1111说明：从点共线转化为向量共线,进而引入参数(如s,t)是常用技巧之一.平面向s,t的方程.(1)利用向量知识判定点(2)假设/PED=45,求证:P在什么位置时,/PED=45;P、D、C、E四点共圆.量根本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于例5、长方形ABCDAB=3,BC=2,E为BC中点,P为AB上一点解题思路分析:利用坐标系可以确

15、定点P位置如图,建立平面直角坐标系那么C(2,0),D(2,3),E(1,0)设P(0,V)ED=(1,3),EP=(-1,y)|ED|.10,|EP|.y21EDEP=3y-1代入cos450=EDEPIED|EP|1 .斛之得y(舍),或y=22,点P为靠近点A的AB三等分处(3)当/PED=45时,由(1)知P(0,2)PD=(2,1),EP=(-1,2)EP-PD=0/DPE=90又/DCE=90D、P、E、C四点共圆说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：建立平面直角坐标系；设点的坐标；求出有关向量的坐标；利用向量的运算计算结果；得到结论.【考点剖析】考点一：向量的概念、向量的根本定理

16、【内容解读】了解向量的实际背景,掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念,理解向量的几何表示,掌握平面向量的根本定理.注意对向量概念的理解,向量是可以自由移动的,平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比拟大小,它们的模可比拟大小.如果5和e；是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a有且只有一对实数入1、入2,使a=11e；+入2易.注意：假设e；和e2是同一平面内的两个不共,向量,【命题规律】有关向量概念和向量的根本定理的命题,主要以选择题或填空题为主,考查的难度属中档类型.rr例1、(2007上海)直角坐标系xOy中,i,j分别是与x,y轴正万向同向的

17、单位向量.在直角三角形ABC中,假设AB2ij,AC3ikj,那么k的可能值个数是()A.1B.2C.3D.4解：如图,将A放在坐标原点,那么B点坐标为(2,1),C点坐标为(3,k),所以C点在直线x=3上,由图知,只可能A、B为直角,C不可能为直角.所以k的可能值个数是2,选B点评：此题主要考查向量的坐标表示,采用数形结合法,巧妙求解,表达平面向量中的数形结合思想.uuuuuu例2、(2007陕西)如图,平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角uuuuuu为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,一4一一uuu一一|OC|=2v3,

18、假设OC=入OA+OB(入,CR),那么入+!1的值为可得平行四边形,由角BOC=902+4=6OA与向量OB作为基底表示出来会用平行四边形法那么、三角形法解：过c作oA与oC的平行线与它们的延长线相交,角AOC=30,|OC|=2小得平行四边形的边长为2和4,点评：此题考查平面向量的根本定理,向量OCffi向量后,求相应的系数,也考查了平行四边形法那么.考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算,那么进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算,理解两个向量共线的含义,会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算,体会平面向量的数量积与向量投影的关系,并理解其几何意义

19、,掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量积的运算,能运用数量积表示两个向量的夹角,会用向量积判断两个平面向量的垂直关系.【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现,难度不大,考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算,有时也会与其它内容相结合.例3、(2021湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),那么(a+2b)c=()A.(-15,12)B.0C.-3D.-11解：(a+2b)(1,2)2(3,4)(5,6),(a+2b)c(5,6)(3,2)3,选C点评：此题考查向量与实数的积,注意积的结果还是一个向量,向量的加法运算,结果也是一个向量,还考查了向

20、量的数量积,结果是一个数字.>-K»*例4、(2021广东文)平面向量a(1,2),b(2,m),且a/b,那么2a3b=()A.(-2,-4)B.(-3,-6)C.(-4,-8)D.(-5,-10)解：由a/b,得m=4,所以,2a3b=(2,4)+(6,12)=(4,8),应选(C).点评：两个向量平行,其实是一个向量是另一个向量的倍,也是共线向量,注意运算的公式,容易与向量垂直的坐标运算混淆.例5、(2021海南、宁夏文)平面向量a=(1,3),b=(4,2),ab与a垂直,那么是A.-1B.1rr解：由于abC.-24.3D.2rrrr2,a1,3,aba43320,即

21、10100点评：此题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算,注意不要出现运算出错,由于这是一道根底题,要争取总分值.例6、2021广东理在平行四边形ABCD43,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.假设ACa,BDb,那么而1r1r2rA.-a-bB.-a423-1-解：AOa,AD21b3AO1r1rC.abD.241-1ODab,221AE-(AOAD)1a1b,24由A、E、F三点共线,知AFAE,1而满足此条件的选择支只有B,应选B.点评：用三角形法那么或平行四边形法那么进行向量的加减法运算是向量运算的一个难点,表达数形结合的数学思想.例7、2021江苏

22、向量r0.r.a和b的夹角为120,|a|rr1,|b|3,那么15arb|解:5ab2rr2r2rrr25ab25a10a?bb=25121013：3249,rr5ab7点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容,难度不大,只要细心,运算不要出现错误即可.考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并能熟练应用,求点分有向线段所成比时,可借助图形来帮助理解.【命题规律】重点考查定义和公式,主要以选择题或填空题型出现,难度一般.由于向量应用的广泛性,经常也会与三角函数,解析几何一并考查,假设出现在解做题中,难度以中档题为主,偶尔也以难度略高的题目.例8、2021湖南理

23、设D、E、F分别是ABC的三边BCCAAB上的点,且uuuruuruuuDC2BD,CEuuuuuiruuuuuruuuuuruuu2EA,AF2FB,那么ADBECF与BC()A.反向平行B.同向平行uuur12uuu1uuir2uuuuur1uuu2uuuBEBCBA,CF-CACB3333uuirADuuuBEuuirCF1uuurBC.所以选1A.解：由定比分点的向量式得：AD3点评：利用定比分点的向量式,及向量的运算,是解决此题的要点C.互相垂直D.既不平行也不垂直uuuuuuAC2AB1uuu；2uuu-AC-AB,同理,有:33以上三式相加得考点四：向量与三角函数的综合问题【内容

24、解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题,考查了向量的知识,三角函数的知识,到达了高考中试题的覆盖面的要求.【命题规律】命题以三角函数作为坐标,以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合,也有向量与三角函数图象平移结合的问题,属中档偏易题.r例9、2021深圳福田等向量a(V3sinx,cosx),b(cosx,cosx),函数rrf(x)2ab1求fx的最小正周期；2一时,假设2f(x)1,求x的值.解：(1)f(x)2点sinxcosx22cosx3sin2xcos2x2sin(2x-).所以,T=(2)由f(x)1,得sin2x6点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点

25、,x一,一,2x-6262x-3但通常难度不大,一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件,并结合简单的向量运算,而考查的主体局部那么是三角函数的恒等变换,以及解三角形等知识点例10、2007山东文在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,ctanC3".(1)求cosC;uuruuu5(2)假设CB?CA-,且ab9,求c.2解：(1)QtanC3>/7,snC3日cosC2_2.又QsinCcosC1解得cosC1QtanC0,C是锐角.cosC-.8ab20.22ab41.iunurn55又Qab9a22abb281.(2)由CB?CA-,abcosC-,22ca

26、b2abcosC36.c6.点评：此题向量与解三角形的内容相结合,考查向量的数量积,余弦定理等内容.例11、(2007湖北)将y得图象的解析式为()八八x兀八A.y2cos一一234C. y2cos2312解：由向量平移的定义,2cosx-的图象按向量a36x任B.y2cos-234D. y2cos-23122平移,那么平移后所4在平移前、后的图像上任意取一对对应点UULTfrTT_'_''''_那么a2PPxx,yyxx,yy2,代入到解析式中可44得选A点评：此题主要考察向量与三角函数图像的平移的根本知识,以平移公式切入,为中档题.注意不要将向量与对

27、应点的顺序搞反,或死记硬背以为是先向右平移一个单位,再向4下平移2个单位,误选C考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题,主要是向量与二次函数结合的问题为主,要注意自变量的取值范围.【命题规律】命题多以解做题为主,属中档题.33.xx例12、(2021广东k校联考)向重a=(cosx,sinx),b=(cos-,sin-),2222且xe0,.(1)求ab(2)设函数f(x)ab+ab,求函数f(x)的最值及相应的x的值.解：(I)由条件：0x一,得:2,3xx.3x.x、(coscos-,sinsin-)2222x、2cos-)23x.x、2(sinsin-)22

28、(2)f(x)3xx2sinxcoscos2222sinx2sinx1.3x.xsinsin222sinxcos2x2(sinxg)2由于：0x所以,只有当:一,所以：0sinx121,、3x万时,fmax(x)0,或x1时,fmm(x)1点评：此题考查向量、三角函数、二次函数的知识,经过配方后,变成开口向下的二次函数图象,要注意sinx的取值范围,否那么容易搞错.考点六：平面向量在平面几何中的应用【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,使向量之间的运算代数化,这样就可以将“形和“数紧密地结合在一起.因此,许多平面几何问题中较难解决的问题,都可以转化为大家熟

29、悉的代数运算的论证.何图形放到适当的坐标系中,赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标,几何问题转化为相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.【命题规律】命题多以解做题为主,属中等偏难的试题.例13、如图在RtABC中,BC=a假设长为2a的线段PQ以A为中点,问PQ与BC的夹角取何值时,BPCQ的值最大？并求出这个最大值.解：以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如下图的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,那么A(0,0),B(c,0),(x,C(0,y)b).且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P的那么Q(-x,-yBP(xc,y),CQx,b),BC(c,b)

30、例13图2y).也就是把平面几这样将有关平面BPCQ(xc)(x)y(yb)/22、,(xy)cxby.cosBCPQcxby-2|BC|PQ|a,22cos2x2sinx=0PQ与BC方向相同cx-by=a2cos.BPCQ=-a2+a2cos.故当cos=1,即时,BPCQ的值最大,其最大值为0.点评：此题主要考查向量的概念,运算法那么及函数的有关知识,平面向量与几何问题的融合.考查学生运用向量知识解决综合问题的水平.平面向量全章检测说明：本试卷分第I卷和第n卷两局部.第I卷60分,第n卷90分,共150分,做题时间120分钟.第I卷选择题,共60分一、选择题每题5分,共60分,请将所选答

31、案填在括号内1 .在ABC,一定成立的是A.asinA=bsinBB.acosA=bcosBC.asinB=bsinAD.acosB=bcosA2 .ABC,sin2A=sin2日sin2C,那么ABCjA.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形3 .在ABC较短的两边为a2V2,b2、3,且八=45.,那么角.的大小是A.15°B.75C.120°D,60°4 .在abcf,|AB|4,|而11sABC73,那么aBaC等于A.-2B.2C±2D.±4a15 .设A是ABC中的最小角,且cosA,那么实数a的取值范围是a1A

32、.a>3B.a>-1C.-1<a<3D.a>06 .在ABC,三边长AB=7,BO5,AG6,那么ABBC等于A.19B.-14C.18D.197 .在ABC,A>B是sinA>sinB成立的什么条件A.充分不必'要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8 .假设ABC勺3条边的长分别为3,4,6,那么它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是A.1：1B.1：2C.1：4D,3：49 .向量a1,1,b2,3,假设ka2b与a垂直,那么实数k=A.1B.-1C.0D.210 .向量a=cos,sin,向量b=J3,1,那么|

33、2ab|的最大值是A.4B.-4C.2D.-211 .a、b是非零向量,那么|a|=|b|是a+b与ab垂直的A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12 .有一长为1公里的斜坡,它的倾斜角为20.,现要将倾斜角改为10.,那么坡底要伸长()A.1公里B.sin10°公里C.cos10°公里D.cos20°公里第n卷(非选择题,共90分)二、填空题(每题4分,共16分,答案填在横线上)13 .在ABN,BG3,AB=2,且snC-(/61),A=.sinB514 .在ABC中,AB=l,/C=50°,当/B=时,BC的

34、长取得最大值.15 .向量a、b满足(a-b)(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,那么a与b夹角的余弦值等16 .a±bc与a、b的夹角均为60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,贝U(a+2bc)?=-三、解做题(本大题共74分,17-21题每题12分,22题14分)17 .设e1、e2是两个互相垂直的单位向量,且a=3e+2e2,b=-3e1+4e2,求ab.18 .设三角形各角的余切成等差数列,求证：相应各边的平方也成等差数列19 .ABC中,A(2,1),B(3,2),C(-3,1),BC边上的高为AQ求AD及D点坐标.ABC20 .如图,半圆O的直径MN2,OA=2,B为半圆上任意一点,以AB为一边作正三角形问B在什么位置时,四边形OAC的积最大？最大面积是多少