平稳时间序列模型及其特征

1、第一章平稳时间序列模型及其特征第一节模型类型及其表示一、自回归模型（AR）由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：X=小刈+et（2.1.1）常记作AR（1）。其中X为零均值（即已中心化处理）平稳序列，0为X对Xti的依赖程度，£t为随机扰动项序列（外部冲击）。如果Xt与过去时期直到Xt-p的取值相关，则需要使用包含Xti,X-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。P阶自回归模型的一般形式为：Xt=（|）iXti+（|）2Xt2+（|）pXtp+

2、et（2.1.2）为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。设B为滞后算子，即BX=X-1,则B（Bk-1X）=BkXt=X-kB（C）=C（C为常数）。利用这些记号，（2.1.2）式可化为：Xt=（|）1BX+d2B2Xt+（|）3B3X+dpBpXt+&t从而有：（1-©1B-©2B2-©pBp）Xt=&t记算子多项式（|）（B）=（1-（|）1B-（|）2B2-（|）pBP）,则模型可以表示成6(B)X=£t(2.1.3)例如，二阶自回归模型Xt=0.7Xt-i+0.3Xt-2+0.3Xt-3+et可写成(1-0.7B-0

3、.3B2)Xt=£t二、滑动平均模型(MA有时，序列Xt的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，Xt可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即Xt=£t-01£t-1-02£t-2-0q£t-q(2.1.4)此模型常称为序列Xt的滑动平均模型，记为MA(q),其中q为滑动平均的阶数，01,020q为参滑动平均的权数。相应的序列X称为滑动平均序列。使用滞后算子记号，(2.1.4)可写成Xt=(1-01B-02B2-0qBq)qt=0(B)&t(2.1.5)三、自回归滑动平均模型如果序列Xt的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还

4、与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为：Xt=(|)1X-1+d2X-2+(|)pX-p+£t-91£t-1-92£t-2-0q£t-q(2.1.6)(2.1.7)简记为ARMA(p,q)。利用滞后算子，此模型可写为©(B)X=0(B)et首先介绍两个概念。一为白噪声，若Yt序列的传递形式：设Y为随机序列,可表不为：Yt=£t+G£t-1+G£t-2+G£t-k+=G(B)

5、63;t且£gk则称Yt具有传递形式，此时Y是平稳的。系1数G称为格林函数。它描述了系统对过去冲击的动态记忆性强度。序列的逆转形式：若Y可表示为：£t=Yt-兀1Yt-1-兀2Yt-2-TtkYt-k-二兀(B)Yt且£鼠|<°°,则称Y具有逆转形式(或可逆形式)。1MA莫型1. MA更型本身就是传递形式。2. MA(q)总是平稳的(由上一章的例)，MA(s)在系数级数绝对收敛的条件下平稳。3. MA(q)模型的可逆性条件。先以MA(1)(Yt=et-01et-1)为例进行分析。MA(1)的可逆性条件为：®<1。如果引入滞

6、后算子表示MA(1),则Y=(1-0iB)et,可逆条件®<1等价于0(B)=1-0iB=0的根全在单位圆外。对于一般的MA(q)模型，利用滞后算子表示有：Yt=(1-0iB-02B2-0qp)£t=0(B)£t其可逆的充要条件是：0(B)=0的根全在单位圆外(证明见Box-Jenkins,P79)。在可逆的情况下，服从MA(q)模型的序列可以表示成无穷阶的AR模型：-1_0(B)Yt=&tMA(q)的可逆域：使0(B)=0的根全在单位圆之外的系数向量(01,82,，0q)所形成的集合。例：求MA(2)的可逆域。解：由r=备-包星-日2%/,其特征方

7、程为：1(B)=1-，B-12B2=0该方程的两个根为：-工-JL'4-2,1=212-：1,.,4121-2二22由二次方程根与系数的关系，有1n1'2二一,'1.，2=一当MA(2)平稳时，根的模儿与k都必须大于1,因此必有：1日2=<1儿2由根与系数的关系，可以推出如下式子:11=1-(1-)(1-)工11211。2-。1=1-(1')(1一)'1,2由于&、仇是实数，兀与无必同为实数或共钝复数。又因为|%>1,因此_1_1工_3二1-(1一一)(1一)：二1'1'2反之，如果|仇|<1,且仇3<1一

8、.一1那么从|2|=<1可以推出至儿1人2少有一个口>1,例如，假设九|a1,则根据1-（1不工）（1，,）<1可推出-'-1''-2(1+1)(1+1)>0,由1，1>0可以推出111A0,'1'2'112从而h2>1。因此,8（B）=1-QB-02B2=0的根在单位圆之外。（平稳域为一三角形）AR模型1 .AR（P）模型本身就是一种逆转形式2 .平稳性。先以AR(1)(Yt=91Y-1+£t),进行分析AR(1)平稳的条件为代J<1，它等价于邛(B)=1-邛iB=0的根在单位圆外。3、在平稳

9、的情况下，AR(1)有传递形式：(1-中iB)Yt=etYt=11 一91bj卫一般地，对于AR(P)模型：中(B)Yt=et,序列Yt平稳的充要条件是：邛(B)=0的根全在单位圆外。此时，Yt有传递形式：Y=b(B)£tAR(P)的平稳域：使甲(B)=0的根全在单位圆外的A繇数向量(邛1,邛2,，中p,)的全体形成的集合。练习：求AR(1)与AR(2)的平稳域。三、ARMA(p,q)模型1、 平稳性与传递形式首先考察ARMA(1,1)的平稳性:Yt-01Yt-1=£t-91et-1Yt平稳U"I。"<1(与AR(1)的平稳域相同)此结论表明，AR

10、MA(1,1)序列的平稳性仅与自回归系数有关，而与滑动平均系数无关。而且平稳条件与AR(1)的平稳条件相同。在平稳的条件下，Yt有上述形式的传递形式。一般地，服从ARMA(p,q)模型的序列Yt平稳的充要条件是：©(B)=0的根全在单位圆外。在平稳的条件下，Yt有传递形式Yt=r1(B)e(B)£t2、可逆性对于ARMA(1,1),假定可逆形式为et=兀(B)Yt=(1f1BF2B2兀kBk)Yt代入ARMA(1,1)的滞后算子表示形式，采用类似前面的方法，比较同次冥系数可得£t=Y(小1-。1)Yt-1-01(d1-81)Yt-2-81k-1(d1-01)Yt-

11、k根据前面的定义(可逆性定义)，应有I01I<1。因此，ARMA(1,1)可逆的条件是|01I<1,它仅与滑动系数有关，而与自回归系数无关。而且可逆条件与MA(1)的可逆条件相同。一般地，服从ARMA(p,q)模型的序列Yt,其具有可逆性的条件是：0(B)=0的根全在单位圆外。在可逆的条件下，Yt的逆转形1式为et=0(B)0(B)Yt3、 传递性与可逆性的重要意义第三节线性时间序列模型的自相关函数与偏自相关函数一、自相关函数4、 MA(q)模型的自相关函数设YJ服从：Yt=0(B)£t=£t-01£t-10q£t-q=与0j£t-

12、j,00=Tj0.则Yt的s阶自协方差函数为：下=!0j0s+j。2j0=f(r2(000s+010S+1+-+9q-s0q)(S<q)(00=-1)0(s>q)由上式，有Y)=(T2(1+012+-+0q2)故Yt的自相关函数(ACF)为：Ps=X1=仇十日11+3-31 f2+w0上式表明，MA(q)模型的记忆仅有q个时段，Yt的自协方差函数或自相关函数(ACF)q步截尾。这是MA(q)模型的典型特征。MA(q)的典型特征：ps在q步截尾。5、 AR(p)模型的自相关函数首先考察AR(1)(Yt=01Yt-1+£t)的自相关函数的特征。Yt的自协方差函数为：Y=Cov

13、(Yt,Yt+s)=。1竿-1从而%=d1&1=d1Us-2=.=d1sM自相关函数(ACF)为：ps=飞/2=©1s当I(I)1|<1,ps>0,即自相关函数ps随s的增大而衰减至零。这种现象称为拖尾性。对于一般的AR(p),序列的自相关函数的特征分析如下：设Yt=(|)1Yt-1+2)2Yt-2+ppYt-p+et=(|)(B)Yt+et则自协方差函数：衡=©1毛-1+©2&2+.，+©pT-p这是一个关于九的线性差分方程。上式两边同除必得关于自相关函数(ACF)的线性差分方程。Ps=。1Ps-1+。2Ps-2+。pPs-

14、p在AR(p)平稳的条件下，0(B)=0有p个在单位圆外的根a1、a2,ap。根据线性差分方程解的有关理论，自相关函数(ACF)服从的线性差分方程。(B)ps=0的通解为：ps=C1a1-s+c2a2-s+-+Cpap-s由于Iaj1>1,因此ps将按指数衰减(实根情形)或正弦振荡衰减(复根情形)。这种特性称为AR(p)的拖尾性。AR(p)的典型特征是：ps拖尾(衰减)3、ARMA(p,q)的自相关函数设ARMA(p,q)的形式为：Yt=。iYt-1+d2丫卜2+dpYt-p+et。1£t-1i.0q£t-q则Yt的s阶自协方差函数为：竿=(|)1竿-1+(|)2乍-

15、2+.+(I)pV-p+E(Ytet+s)_0lE(Ytet+S-1)-0qE(Ytet+s-q)当0WsWq时，et+s,£t+s-1,，£t+s-q中有一部分位于t时刻以前(t+si<tQs-i<0),Yt与这一部分外部冲击有关，从而毛除了受自回归系数的影响外，还受一部分滑动平均系数的影响。当s>q时，sq>0,t+s-q>t,从而j+s,J+s-1,，£t+s-q全在t时刻以后，由于Yt与未来的外部冲击不相关，因此飞中后面的项全为零。下=©1T-1+©2下-2+©pgp它只同自回归系数有关。两边同除

16、用，得Ps=。1Ps-1+。2Ps-2+小pPs-p(s>q)即ARMA(p,q)的自相关函数(ACF)在s>q时，与AR(p)的自相关函数所满足的线性差分方程完全相同。借用前面关于AR(p)的自相关函数特征的讨论可知，ARMA(p,q)的自相关函数(ACF)在q以后随s的增长按指数衰减或以正弦振荡衰减，即仍体现出拖尾特征。二、偏自相关函数从前面的自相关函数的讨论中可看出，自相关函数的截尾性是MA(q)的独有特征，但自相关函数的拖尾性却是AR(p)与ARMA(p,q)共有的特征，尽管ARMA(p,q)的自相关函数在q阶后开始按指数衰减或以正弦振荡衰减，但这还不足于区别AR(p)与A

17、RMA(p,q),因为在实际应用中很难区分是否是从q阶开始衰减的。因止匕,还需寻找序列的其他统计特征。这就是偏自相关函数的特征。设YJ是一随机序列，所谓Yt的s阶偏自相关系数，是指扣出中间s-1个项的影响之后，Yt与Yt+s的相关系数。为了考察偏自相关函数的特性，我们分析如下：设Yt是一零均值平稳序列,我们设想用Yt-i,丫，Yt-s的s阶自回归模型去拟和Yt,即建立如下模型：Yt=(|)siYt-i+(|)s2Yt-2+©ssYt-s+et其中et为误差项。估计模型的常用方法是最小二乘法，即选择©si,0s2,，dss使模型的残差方差Q=E(Yt-£dsjYt-

18、j)2=Eet2达到最小。根据极值条件应有:dQ/d。sj=0(j=1,2,s)据此，可推出九1,九2,，0ss所满足的方程为P：P,其中pk(k=1,，s)为Yt的k阶自相关系数。此方程组称为Yule-Walker方程。可以证明，0ss是在给定Yt-1,Yt-2,，Yt-s+1的条件，Yt和Yt-s之间的条件相关系数，即偏相关系数。dss就为YJ的偏相关函数。要考察Yt服从自回归过程的情况下，偏自相关函数的特征，就需要由Yule-Walker方程解出0ss的表达式，然后进行分析。由于求解过程比较复杂。在此我们通过另外一条途径考察0ss的特性。假定YJ的真实过程为AR(p)(p阶自回归)，我们用s阶自回归过程去逼近，则模型的残差方差为Q=E(Yt-.(sjYt-j)2=E(Z(dj-SSj)Yt-j+£t-ZSSjYt-j)2j1ps=E(£("dSj)Yt-j-£©sjYt-j)2+一j1ji12A(T则当且仅当6Sj