自考线性代数教案(第一章行列式)04184

1、 线性代数（经管类）本课程的基本要求和重点基本要求：1、理解行列式的性质、会计算行列式； 2、熟练掌握矩阵的各种运算； 3、会判别向量组的线性相关性，理解向量组的秩和矩阵的秩的概念及其关系； 4、掌握线性方程组的解的结构与求解方法； 5、会求实方阵的特征值和特征向量，理解方阵可对角化的条件，掌握方阵对角化的计算方法； 6、了解实二次型概念和正定二次型的判别方法。重点：1、行列式计算；2、矩阵运算；3、解线性方程组。试题类型：单项选择题 2分10=20分 填空题 2分10=20分 计算题 9分6=54分 证明题 6分1=6分各部分内容试题分数的大致分布： 第一章 行列式 13分左右 第二章 矩阵

2、 26分左右 第三章 向量空间 21分左右 第四章 线性方程组 19分左右 第五章 特征值与特征向量 16分左右 第六章 实二次型 5分左右昆山市科高人才技术培训中心昆山市科高人才技术培训中心WWW.KSCNZK.COM内部资料，仅供参考，严禁各种盈利性质的传播！ 预备知识一、连加号与连乘号1、连加号之和。个数表示nnniiaaaaaaa,n21211.)11连加号中提出来这就是说，公因数可从（有对任意数niiniiabbab，例如：2221221nini2) 1(3)21 ( 33311nnniinini2、双重连加号)()()()(21222211121121111mnmmnninimii

3、minjijaaaaaaaaaaaaanjmiijminjijaa1111两个连加号可交换3、连乘号.,21211之积个数表示nnniiaaanaaaa!21,1nnknk特别有对任意数阶乘的阶乘或读作,.bnn.)(11niinniiabba这说明，公因数从连乘号中提出来后要乘n次。二、充分必要条件.的充分条件是则如果BABA表示两个命题设BA,.的必要条件是则如果BABA.的充要条件是则如果BABA 的无关的条件。是的充要条件，是的必要非充分条件，是的充分非必要条件，是种可能性：之间存在与命题BABABABABA4三、数学归纳法.)(,:.,) 1(,.)(.) 1 (P,),(都正确公式

4、对于任何正整数证出的结论是那么就完成了归纳证明也正确能证明出发假设从这个正确如果归纳假设就是正确是归纳的基础那么假设要证明的公式为nPnkPkPnP.,1,0开始可以从任意一个正整数开始不一定要从思归纳基础根据题目的意不过nn 第一章 行列式行列式行列式的定义行列式按行按列展开行列式的性质与计算克拉默法则二阶行列式与三阶行列式n 阶行列式行列式的性质行列式的计算知识结构1.1 行列式的定义)2() 1 (22221211212111bxaxabxaxa首先看一个线性方程组：如何求解？1222)2() 1 (aa由得到212122121122211)(babaxaaaa2111) 1 ()2(a

5、a由得到121211221122211)(babaxaaaa:,021122211得方程的唯一解时当aaaa211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax如何记忆呢？一、二阶行列式与三阶行列式1、二阶行列式定义.,:21122211222112112称之为二阶行列式我们引入记号aaaaaaaaDdef二阶行列式等于它的左上角到右下角的两个元素的乘积减去从左下角到右上角的两个元素的乘积。.,22211211的位置的下标代表了元素所在其中aaaa211222111222211aaaaababx22211211222121aaaaabab21122

6、2111212112aaaababax22211211221111aaaababa前面方程的求解公式可以改写为2、三阶行列式3223113321123122133221133123123322113332312322211312113:aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDdef三阶行列式定义为.,6! 3行列式也有类似的特点对于更高阶的当附上正号或负号和不同的列的乘积并适行每一项都是取自不同的项的代数和三阶行列式表示 记忆方法：用对角线法来记忆三阶行列式中每一项前面的正、负号。333231232221131211aaaaaaaaa-58642105) 1(03304(-1)

7、52601601504321:1例2210100:baabba解因此，当a=0且b=0时，上式为零.满足什么条件？与则若例baabba, 010100:2二、二阶行列式与三阶行列式的关系232213123133321312213332232211312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa先来观察三阶行列式的定义：说明要计算一个三阶行列式，可以拆成三个二阶行列式来计算，但是要注意在第二个二阶行列式前面的系数21a的前面必须取“”号！能否推广？这就涉

8、及到余子式和代数余子式的问题了。三、n阶行列式nnnnnnnaaaaaaaaaDdef212222111211:记.,)(,2nijnaDnnnn通常简记为阶行列式称之为组成个元素共列元素行它由55:.D:1例如：的绝对值。它不是指单个数注意一阶行列式aaadef四、余子式、代数余子式nnjnjnnnijijiinijijiinjjijijijnaaaaaaaaaaaaaaaannnjiaDdef1,1,1, 11, 11, 11 , 1, 11, 11, 11 , 111, 11, 111M,M111:即阶行列式，记为顺序组成一个列元素，按原来的相对行和列后剩下的行和第所在第中划去元素在),

9、 2 , 1,(A,) 1(A;MijnjiaMaijijijjiijij的代数余子式为元素称令的余子式为元素称44434241343332312423222114131211:aaaaaaaaaaaaaaaaD 例如的代数余子式为则23a444241343231141211233223) 1(aaaaaaaaaMA的代数余子式为31a444342242322141312311331) 1(aaaaaaaaaMA前面的等式可改写为：323122211333312321123332232211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1313121211

10、11AaAaAa可以推广为nnnnnnnnAaAaAaaaaaaaaaaD1112121111212222111211.能否进一步推广呢？1.2 行列式按行（列）展开 实际上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求它的值。即数余子式的乘积的和的各元素与其对应的代列一行等于它的任意阶行列式行列式展开定理定理,)()( 1 . 2 . 1nijnaDn), 2 , 1(2211niAaAaAaDininiiii或), 2 , 1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj(1)(2).,中的代数余子式在是元素其中DaAijij列的展开式。按第式称为行的展开式按第式称为j)2( ,) 1 (D

11、iD 根据定理可知：凡是含零行（行中元素全为零）或零列（列中元素全为零）的行列式，其值必为零。例1：分别按第二行与第三列展开行列式011213112D解：按第二行展开4)2(1)3(1112) 1(20112) 1(10111) 1(3322212D按第三列展开40)2()2(1312) 1(01112) 1(21113) 1() 1(333231D例2、求四阶行列式21001332510170134D的值。解：行列式的第二列及第四行中均有两个元素为零，按第二列及第四行计算要简单一些。612833)932(2)4511021(332101013) 1)(2(132501713) 1(44344

12、D特例：1、对角行列式nnaaa.000.00.02211), 2 , 1, 0(.2211niaaaaiinn例如84000100021230000200001000022、上三角行列式nnnnaaaaaa.00.0.22211211nnaaa.2211), 2 , 1(0(niaiinnnnaaaaaa.0.0.021222111nnaaa.2211), 2 , 1(0(niaii3、下三角行列式1.3 行列式的性质与计算一、行列式的性质行列式的转置：行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为DDT或如果nnnnnnaaaaaaaaa.212222111211D则TDnn

13、nnnnaaaaaaaaa.212221212111性质1 行列式和它的转置行列式相等，即DDT 根据性质可知，在任意一个行列式中，行与列是处于平等地位的，凡是对“行”成立的性质，对“列”也是成立的；反之，凡是对“列”成立的性质，对“行”也成立。所以只需研究行列式有关行的性质，其所有结论对列也是成立的。性质2提出公因数。按行和列也就是说，行列式可以的行列式等于元素所得到中某一行（列）的所有乘行列式用数.kDDkkDaaaaaaaaakaaakakakaaaaDnnnniniinnnnniniin2121112112121112111abcdefabcdefecbecbecbadfefcfbfd

14、ecdbdaeacab4111111111:1例0000:2cbcabaD证明行列式例0000) 1(000:3DDDcbcabacbcabaDT证., 2 , 1,., 0,njiaaaDjiijnij则它满足条件是反对称行列式若即元素异号两边处于对称位置上的而以对角线为轴全为其中主对角线上的元素反对称行列式指的是例2说明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号，即对于如下两个行列式121212111211121212111211,DDaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaDnnnniniijnjjnnnnnjnjjiniin有推

15、论 如果行列式中某两行（列）相同，则此行列式的值等于零。性质4 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。016322134202264314226411132例如：性质5 行列式可以按行（列）拆开，即nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiinaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaaD212111211212111211212211112115432412232423212322例如：31112111221) 1(210121112211121112120121112注意：利用性质5拆分行列式时，应当逐行逐列拆开。例如：125141

16、3215432112125141321543114225132112151432251132性质6.DD列式仍为应元素上去，所得的行加到另一行（列）的对后元素都乘以同一个数以的某一行（列）的所有把行列式利用性质6，可以将行列式简化，从而求出行列式的值。. 2102002000110011kkkkkD或的充要条件是例：证明证：kkkD2002000110011) 1(kkkkkk202001120020001100011)4)(1(2kk. 210,kkD或的充要条件是所以即等于零代数余子式的乘积之和对应元素的列各元素与另一行列的任意一行阶行列式,)()(nijaDn定理1.3.1 )(0)(0

17、22112211sjAaAaAakiAaAaAansnjsjsjkninkiki或?,10, 7, 8, 2, 0 , 3 , 1:kkD则为对应的代数余子式依次第三行元素的第一行元素依次是已知四阶行列式例4010)2()7(0381:kk解根据行列式的展开定理和行列式的性质，有如下结论：二、行列式的计算基本方法1、利用行列式的性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值。注意：转化的过程，必须是恒等变换。2、利用性质6使原行列式中的某一行或某一列产生很多个“0”，再按这一行或这一列展开，把行列式的阶数降低，再求值。事实上在计算行列式值时，两种方法结合起来使用，能使解题更加简单。0112

18、012120112110D0112012120112110D01120121211020111)2(例1：计算行列式解：413021102110201132200420021102011) 1(452072325121314124D例2 计算行列式解：5270051026501421527023521231142152072325121314124D815372315377001231552705126532142143143243214D例3 计算行列式解：11102220311043211032112141143143211032110214101431043210321421431432

19、43214D16040004400311043211022222222222222224)3()2() 1()3()2() 1()3()2() 1()3()2() 1(ddddccccbbbbaaaaD例4 计算行列式解：0)32(332) 1()32(332) 1()32(332) 1()32(332) 1(9632) 1(9632) 1(9632) 1(9632) 1()3()2() 1()3()2() 1()3()2() 1()3()2() 1(22222222222222222222222222222222ddddccccbbbbaaaaddddccccbbbbaaaaddddcccc

20、bbbbaaaa例5 计算n阶行列式（n1)abbababaDn000000000000解：将行列式按第一列展开nnnnnnbababbabbabaabaabAaAD11111) 1(0000000000) 1(0000000000：求证：例611211321121) 1(000000000nnnnnnnnnaaaaaaaaaaa展开得原行列式值等于证：方法一：按第一列1121112111) 1(000000) 1(nnnnnnaaaaaaaa.1.322次对换共经过列对换、第、第：将第一列分别与第方法nn11211112111432211) 1() 1(0000000000) 1(nnnnn

21、nnnnnnaaaaaaaaaaaaaa：求证：例73332221112333332222211111)1 (cbacbacbaxcbxaxbacbxaxbacbxaxba332333222222112111333332222211111cbxbxbacbxbxbacbxbxbacbxaxbacbxaxbacbxaxba证：33322211123333222211112)1 ()1 (cbacbacbaxcbxbacbxbacbxbax例8:范德蒙德行列式（要求掌握低阶的）1221211xxxxV)()()(11)()()(00111111312313123213121331221312232

22、2213213ijijxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxV)(1111212222121injijnnnnnnnxxxxxxxxxxxV例9:计算行列式323232cccbbbaaaD 解：)()(111222bcacababcccbbaaabcD：设例10.0)(3)(.,1111)(32323232的所有的根次多项式，并求出方程的是论证：各不相同其中xpxxpcbacccbbbaaaxxxxp.,0)(33)(0)()(xcb,a,)()()()()()()(3213cxbxaxxpxxpbcacabbcacabxcxbxaxpxp的根为次方程次多项式。的是（的系

23、数各不相同，故已知式有为范德蒙行列式，由公证：1.4 克拉默法则克拉默法则第一节中已知道，二元线性方程组22221211212111bxaxabxaxa时，其解为当021122211aaaa222112112211112222112112221211,aaaababaxaaaaababx2211112222121122211211,babaDababDaaaaD若设DDxDDx2211,则有同样，对三元线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa, 0333231232221131211aaaaaaaaaD若设3332323222131211aabaabaabD ,3333123221131112abaabaabaD 3323122221112113baabaabaaD ,11DDx 也可证明.,3322DDxDDx一般的，对n元线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111.nnnnnnaaaaaaaaaD.212222111211记称为n元线性方程组的系数行列式。12,.,.jnDDjbbb设为 将中 第 列 的 元 素 对