复数基本概念

1、复数基本概念内容：1虚数单位 i : i 21 ,及运算 .2复数概念、复数分类 .实数 (b0)复数纯虚数 (a0)z a bi (a ,b R)虚数 (b0)0)非纯虚数 ( a3复数的两种表示：(1) 代数形式： z=a+bi (a,b R).(2) 几何表示：复平面上对应的点Z(a,b)和向量 OZ .复数 z=a+bi (a,b R) 与点 Z(a,b)是一一对应关系.是可以平行移动的 .向量 OZ4复数相等：a bi c diac(a,b,c,d R)bd特殊的： abi0ab 0(a,b R).5共轭复数： zabi (a,bR),za bi其对应点关于x 轴对称，以O 为起点的

2、对应向量也关于x 轴对称 .共轭复数的运算及性质：z1z2z1z2;z1 z2z1z2; ( z1 )z1( z20)z2z2zz R.zzR.6. 复数的模：表示复数的有向线段的长度叫做向量的模| z |a2b2 .运算及性质| zz2| | z | | z2|z1| z1 |( z20 )11z2| z2 | z1 | | z2 | | z1z2 | | z1 | | z2 |zz| z |2| z |2要求：了解数的概念的发展，理解虚数单位及其运算、复数的概念、分类及表示方法、复数相等的概念，并能利用它们解决简单问题 . 掌握共轭复数、复数模的概念及运算和性质，并能解决有关的简单问题 .

3、例题：例 1计算 i i 2i 3i 2003分析与解答：利用连续四项和为零的性质较方便，共2003 项，每连续四项和为 0，余 3 项.（从后面数较方便） .i 2i 3i 1 i1. 原式 = i或将此式看成等比数列求和问题，则i (1i 2003 )i (1i ) i (1i ) 2i2i1原式i1i221也用到了： i 4 n1, i 4 n 1i , i 4 n21, i 4n3i ( n Z ).例 2求(34 i )(22i )2i 的模 .(31 i )(3i ) 5 i22分析与解答：要利用模的概念及运算.原式 =| 34i |22i |i2| 31 i | | 3 i |

4、| 5i |22522i52i125 原式的模(5 )2223.例 3若虚数 (m2+1)+(m 2-m)i 与虚数 2+(-1+m)i是共轭虚数，求实数m 值 .分析与解答：根据共轭复数的概念有m 212m 21,m= ± 1.m 2m( 1m)2当 m=1 时 , m -m=1-m=0, 两个数均为实数，舍去，当 m=-1 时 ,符合题意，所以m=-1.注意题目中是虚数这一条件，使得虚部不为零.例 4 a,b 均为复数，有以下几个结论：(1)若 |a|=|b|,则a=±b(2)| a |2| a |(3) | ab |(ab) 2 则有（） .A 、都正确B、仅 (2)

5、正确C、 (2),(3) 正确D、都不正确分析与解答：要注意， a,b 是复数这一条件.|a|即 a 的模，是实数，且|a| 0,| a |2| a | 正确 .而 |a|=|b|时， a,b 若为虚数a=±b 不正确.而 |a-b|为实数，但(a-b)2 不一定是实数，故B正确.例 5设z C，且 |z|=2，求|13iz |的最大和最小值.分析与解答：因为题目有模出现，可根据| z1| z2| z1z2| | z1| z2|来解决最值问题.由于|13i | z |13iz | |13i | z |，|z|=2, |2 2|13iz | 2 20|13iz |4 |13iz |的最大值为4，最小值为 0.其它解法见后 .例 6已知： z1 , z2C ,| z1 |z1z2.1, 求z21 z1分析与解答：此题应利用复数模及共轭