2020版高考数学二轮复习第四层热身篇专题检测(十六)圆锥曲线中的定值、定点、证明问题

1、专题检测(十六)圆锥曲线中的定值、定点、证明问题大题专攻强化练2x1. (2019全国卷田)已知曲线C：y=2,D为直线y=错误！上的动点，过D作C的两条切线,切点分别为A,B。(1)证明：直线AB过定点.(2)若以E误！为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.解：(1)证明：设D音误！，A(xi,yi),则x错误！=2yi。由于y'=x,所以切线DA的斜率为必，故错误！=M.整理得2tx12yd1=0。设B(x2,y2),同理可得2tx22y?+1=0。故直线AB的方程为2tx2y+1=0。所以直线AB过定点错误屋(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+错误

2、！.由错误！可得x2-2tx1=0。于是x+x2=2t,y+y2=t(x+x2)+1=2t2+1。设M为线段AB的中点，则Mt误！。由于错误！，错误！，而错误！=(t,t22),错误！与向量(1,t)平行，所以t+(t22)t=0.解得1=0或1=±1。当t=0时，|错误！|=2,所求圆的方程为x2+错误！错误！=4；当1=±1时，|错误！|=错误！，所求圆的方程为x2+错误！错误！=2。2. (2019济南市学习质量评估)已知椭圆C:错误！+错误！=1(a>b>0)的离心率为错误！，右焦点为F,且该椭圆过点错误屋(1)求椭圆C的方程;(2)当动直线l与椭圆C相

3、切于点A,且与直线x=错误！相交于点B时，求证：FAB为直角三角形.解：(1)由题意得错误！=错误！，错误！+错误！=1,又a2=b2+c2,所以b2=1,a2=4,即椭圆C的方程为错误！+y2=1.(2)证明：由题意可得直线l的斜率存在，设l：y=kx+mi联立得错误！得(4k2+l)x2+8kmx+4m24=0,判别式A=64k2m16(4k2+1)(m21)=0,得m=4k2+1>0。设A(xi,yi),则xi=错误！=错误！=错误！，yi=kxi+m=错误！+m=错误！，即A错误！.易得B昔误！，F(错误！，0),则错误！=错误！，错误！=错误！，错误！错误！=错误！错误！+错误

4、！错误！=错误！一1+错误！+1=0,所以错误！，错误！，即AFAB为直角三角形，得证.3。如图，设点AB的坐标分别为(一错误！，0)AP,BP相交于点P,且它们的斜率之积为一错误！。(1)求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹为C,点MN是轨迹C上不同的两点，且满足AP/OMBP/ON求证:MON勺面积为定值.解:(1)设点P的坐标为(x,y),由题意得，kAP-kBP=错误！错误！=错误！(xw土错误！)，2化简得，点P的轨迹方程为错误！=1(xw土错误！).3(2)证明：由题意可知，MN是轨迹C上不同的两点，且AP/OMBP/ON则直线OMON的斜率必存在且不为0,kcM-kcN=kAP-

5、kBP=错误！.当直线MN勺斜率为0时，设M*,y0),N(",y0),则错误！得错误！所以S>AMON=错误!|yo|2X0I=错误!.当直线MN勺斜率不为0时，设直线MN勺方程为x=my+1,代入错误！+错误！=1,得(3+2n2)y2+4mty+2t26=0,(*)设M(xi,yi),N(X2,y2),则yi,y2是方程(*)的两根，所以yI+y2=一错误！，y1y2=错误！，又koM,koN=错误！=错误！=错误！，所以错误！=错误！，即2t2=2吊+3,满足A>0.又&mon=错误！111|yiy2|=错误！，所以SamoN=错误！=错误！。综上，MON

6、勺面积为定值,且定值为错误！.4. (2019福州市质量检测)已知抛物线C:x2=2py(p0)和圆G:(x+1)2+y2=2,倾斜角为45°的直线l1过C的焦点，且l1与G相切.(1)求p的值;(2)动点M在Ci的准线上，动点A在C上，若C在A点处的切线l2交y轴于点B,设错误！=错误！+错误！，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程.解：(1)依题意，设直线1i的方程为y=x+错误！，因为直线l1与圆C2相切，所以圆心C2(-1,0)到直线1i：y=x+错误！的距离d=错误！=错误！。即错误！=错误！，解得p=6或p=-2(舍去).所以p=60(2)法一：依题意设M(m，3)，

7、由(1)知抛物线C的方程为x2=i2y,所以丫=错误！，所以y'=错误！，设A(xi,yi),则以A为切点的切线12的斜率为卜=错误！，所以切线12的方程为y=错误！xi(x-xO+yi。令x=0,则y=错误！x错误！+yi=错误！x12y1+yi=yi,即B点的坐标为(0,y1),所以错误！=(xinryi+3),错误！=(-m-yi+3),所以错误！=错误！+错误！=(xi2mi6),所以错误！=错误！+错误！=(xi-mi3).设N点坐标为(x,y),则y=3,所以点N在定直线y=3上.法二：设M(m，3)，由(i)知抛物线C的方程为x2=i2y,设12的斜率为k,A错误！，则以

8、A为切点的切线12的方程为y=k(xxi)+错误！x错误！，联立得，x2=i2错误！，2因为=i44k48kxi+4x错误！=0,所以卜=错误！，所以切线12的方程为y=错误！xi(xxi)+错误！x错误！.令x=0,得B点坐标为错误！，所以错误！=错误！，错误！=错误！，所以MN>=错误！+错误！=(xi-2mi6),所以错误！=错误！+错误！=(xim3),所以点N在定直线y=3上.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑，引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。ThisarticleiscollectedandcompiledbymycolleaguesandIinourbusyschedule.Weproofreadthecontentcarefullybeforethereleaseofthisarticle,butitisinevitablethattherewillbesomeunsatisfactorypoints.Ifthereareomissions,pleasecorrectthem.Ihopethisarticlec