人教版高中数学必修5-1.2《应用举例（第3课时）》教学课件

1、应用举例应用举例（第（第3 3课时）课时） 前面我们学习了如何测量距离和高度，这前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题其余边的问题. .然而在实际的航海生活中然而在实际的航海生活中, ,人们人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题. . 例例1 如图，一艘海轮从如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东出发，沿北偏东75的

2、的方向航行方向航行67.5 n mile后到达海岛后到达海岛B，然后从，然后从B出发，沿出发，沿北偏东的方向航行北偏东的方向航行54 n mile后到达海岛后到达海岛C如果下次航如果下次航行直接从行直接从A出发到达，此船应该沿怎样的方向航行，出发到达，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？（需要航行多少距离？（角度精确到角度精确到0.1，距离精确到，距离精确到0.01n mile） 分析：首先根据三角形的内角分析：首先根据三角形的内角和定理求出和定理求出AC边所对的角边所对的角ABC，即可用余弦定理算出即可用余弦定理算出AC边，再根边，再根据正弦定理算出据正弦定理算出AC边和边和AB边的

3、夹边的夹角角CAB.解：解：在在ABC中，中，ABC=180-75+32=137， 根据余弦定理，根据余弦定理， 根据正弦定理，根据正弦定理， 所以所以 所以所以CAB19.0， 75-CAB56.0.答：答：此船应该沿北偏东此船应该沿北偏东56.0方向航行，需要航行方向航行，需要航行113.15 n mile.22?67.5542 67.5 54 cos137113.15AC ，sinsinBCACCABABC，sin54sin137sin0.3255113.15BCABCCABAC， 例例2 2 在某点在某点B处测得建筑物处测得建筑物AEAE的顶端的顶端A的仰角的仰角为，沿为，沿BE方向前

4、进方向前进30 m30 m，至点，至点C处测得顶端处测得顶端A的仰角的仰角为为2 2，再继续前进，再继续前进10 m10 m至至D D点，测得顶端点，测得顶端A的仰角为的仰角为4 4，求的大小和建筑物求的大小和建筑物AE的高的高. . 解：（法一）（用正弦定理求解）由已知解：（法一）（用正弦定理求解）由已知可得在可得在ACD中，中，10330.sin 2sin(=30 =103 =1 0484180)ACBCADDCADC，sin42sin2 cos23cos2.215 .因为，所以，即2 =30所以sin 15.ADEAE AD所以在Rt中，=60答：所求角为答：所求角为15，建筑物高度为，

5、建筑物高度为15 m.22330 .3 .5 315.3tan .310 3.DE xAE hACExhADExhxhhACEx2222（法二）（设方程求解）设= ，= .在Rt中，（10+ ）在Rt中，（10）以上两式相减得，所以在Rt中，2所以2 =30，即 =15答：所求角为答：所求角为15，建筑物高度为，建筑物高度为15 m.230m10 3msin2.304sin4.10 33cos223015 .2sin6015.AExBACCADACBCADCDxACEADEAEAD（法三）（用倍角公式求解）设建筑物高为.由题意得，.在RT中，在RT中，/可得，即，所以答：所求角为答：所求角为1

6、5，建筑物高度为，建筑物高度为15 m. 例例3 甲船在甲船在A点发现乙船在北偏东点发现乙船在北偏东60的的B处，乙船以每小时处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时甲船的速度是每小时 a海里，问甲船应沿什海里，问甲船应沿什么方向前进，才能最快与乙船相遇？么方向前进，才能最快与乙船相遇？3 60 D C B A 解：如图所示，设经过解：如图所示，设经过t小时两小时两船在船在C点相遇，则在点相遇，则在ABC中，有中，有BC=at，AC= at，3所以所以B=90+30=120. 60 D C B AsinsinBCBCABAC由由 sinsinBCAC

7、CABB，得得 3sin12012.233atat 因为因为0CAB90，所以，所以CAB=30.故故DAC=6030=30. 答：甲船应沿北偏东答：甲船应沿北偏东30的方向前进，才能最的方向前进，才能最快与乙船相遇快与乙船相遇. 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况: : （1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；依次利用正弦定理或余弦定理解之； （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解在其余的三角形中求出问题的解. 思考：某巡逻艇在思考：某巡逻艇在A处发现北偏东处发现北偏东45相距相距9海里的海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以的方向以10海里海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里海里/小小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什