人教版高中数学选修（1-1）-2.3《抛物线的简单几何性质》名师课件

1、0 0名名 师师 课课 件件2.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测14 检测下预习效果检测下预习效果: : 点击“互动训练” 选择“抛物线的简单几何性质预习自测”关于抛物线的标准方程: p的几何意义:焦参数p是焦点到准线的距离,所以p为正值. 方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同,一次项系数的符号决定抛物线的开口方向. 焦点的非零坐标是一次项系数的 .0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究一探究一: :抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质（1）对称性:以-y代y

2、,方程 不变.因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫做抛物线的轴,抛物线只有一条对称轴.220ypx p（2）顶点:抛物线和它的轴的交点.l 活动一活动一 抛物线抛物线 的简单几何性质的简单几何性质220ypx p（3）离心率:抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比.（4）通径:过焦点垂直于轴的弦;长度为2p.（5）范围:由 知 x0,所以抛物线在y轴右侧.当x增大时,|y|的值也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,p值越大,开口越宽阔.220ypx p0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究一探究一: :抛物线的简单几何性

3、质抛物线的简单几何性质（1）直线的斜率存在时,设直线 与抛物线相交于 两点,将 代入消去y并化简得l 活动二活动二 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系2222()0k xmkp xm11122,A x yB xy220ypx pykxmykxm220ypx p 当k=0时,直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,直线与抛物线有一个公共点. 当 时,0k 0直线与抛物线相交直线与抛物线有两个公共点 =0直线与抛物线相切直线与抛物线有一个公共点0直线与抛物线相离直线与抛物线没有公共点 0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究一探究一: :抛物线的简单几何

4、性质抛物线的简单几何性质（2）直线的斜率不存在时,设直线 与抛物线 , 当m0时,直线与抛物线相交,有两个交点.l 活动二活动二 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系220ypx p: l xm（3）过抛物线焦点的直线与抛物线相交,被抛物线所截的线段叫做抛物线的焦点弦.0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究一探究一: :抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质l 活动二活动二 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系（4）通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于A、B两点,线段AB叫做抛物线的通径,通径|AB|的长为2p.（5）抛物线上的点

5、到焦点的距离叫做焦半径,当 时,抛物线上点的坐标 ,焦点 ,焦半径 .220ypx p00,P xy,02pF02pPFx0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究二探究二: :用坐标法解决与抛物线相关的几何问题用坐标法解决与抛物线相关的几何问题例1.已知抛物线的方程为 ,直线l的方程为 ,当k为何值时,直线l与抛物线有一个公共点;有两个公共点;无公共点.解:联立方程组1()ykxkR22yx11.0-210,2kxx当时,则此时直线与抛物线只有一个公共点; 2222(22)101yxk xkxykx 2212.04140,213.000,214.00,2kkk

6、kkkkkk时,（）则直线与抛物线只有一个公共点;当时,且直线与抛物线有两个公共点;时,直线与抛物线没有交点. 0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究二探究二: :用坐标法解决与抛物线相关的几何问题用坐标法解决与抛物线相关的几何问题例2.已知过抛物线 的焦点F的弦长为36,求此弦所在的直线方程. 解: 过焦点的弦长为36 弦所在的直线斜率不为0 设直线为 ,与抛物线交点坐标为 即 1122( ,), (,)A x yB xy24yx(1)yk x214yk xyx2221222242)0(0)42(kkxxkkxkxk2122242236kABAFBFxxk

7、) 1(42,42xyk所求直线的方程为0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究二探究二: :用坐标法解决与抛物线相关的几何问题用坐标法解决与抛物线相关的几何问题例3.求过抛物线 的焦点F的弦长的最小值. 解法一:如图,设抛物线 的焦点弦的两个端点 ,并设焦点弦所在直线方程为于是有 把 代入得所以 ,故当m=0,即过焦点的弦垂直于x轴时,它的长度最小,最小值为2p.1122( ,), (,)A x yB xy220ypx p112222ppxmyxmy， 2pxmy2222121212441yyyyy ypm因为2220ypmyp220ypx p22ypx22

8、22221212121221ABxxyymyyyyp m所以2ABp0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究二探究二: :用坐标法解决与抛物线相关的几何问题用坐标法解决与抛物线相关的几何问题例3.求过抛物线 的焦点F的弦长的最小值. 解法二:如图所示,设焦点弦AB的中点为E,分别过A,E,B作准线l的垂线,垂足分别为D,H,C.由抛物线定义知所以由图可知 ,当且仅当AB与x轴垂直时,HEGF220ypx pmin22ABGFp即=HEGF,ADAFBCBF2ABAFBFADBCEH0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究二探究

9、二: :用坐标法解决与抛物线相关的几何问题用坐标法解决与抛物线相关的几何问题点拨:解法一运用了弦长公式;解法二运用了抛物线的几何意义.有此题我们可以得出一个结论:过抛物线焦点的所有弦中,通径最短（当过焦点的弦垂直于x轴,此弦为抛物线的通径）.注意:若弦长小于通径,则此弦不可能过焦点.0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究二探究二: :用坐标法解决与抛物线相关的几何问题用坐标法解决与抛物线相关的几何问题解:如图,易知抛物线的焦点F(1,0),准线方程为x=-1.由抛物线定义知:点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.于是,上述问题转述为:在曲线上求一点

10、P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然连接AF交抛物线于点P,故最小值为 .例4.设P是抛物线 上的一个动点,F为抛物线焦点.（1）求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和最小值;24yx222 +1 = 50 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究二探究二: :用坐标法解决与抛物线相关的几何问题用坐标法解决与抛物线相关的几何问题解:如图把点B的横坐标代入 中,得所以点B在抛物线内部,自点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于由抛物线定义知:所以最小值为4.例4.设P是抛物线 上的一个动点,F为抛物线焦点.（2）

11、若B(3,2),求 的最小值.24yx122y PBPF24yx1P11PQPF11+=3 14PBPFPBPQBQ即 0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究二探究二: :用坐标法解决与抛物线相关的几何问题用坐标法解决与抛物线相关的几何问题解:设抛物线上任一点P(x,y)则 ,且在此区间上函数单调递增,故当x=0时, ,即距离点A最近的点为(0,0).例5.已知抛物线（1）设点A的坐标为 ,求抛物线上距离点A最近的点P坐标及相应的距离|PA|;22yx2,0322222221123333PAxyxxx0 x min23PA0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探

12、究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究二探究二: :用坐标法解决与抛物线相关的几何问题用坐标法解决与抛物线相关的几何问题解法一:设点 是 上任一点,则P到直线 的距离为即点P坐标为例5.已知抛物线（2）在抛物线上求一点P,使点P到直线 的距离最短,并求出距离的最小值.22yx00,P xy0min55 21,42 2yd当时202000031532222 2yyyxyd30 xy30 xy22yx1,120 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究二探究二: :用坐标法解决与抛物线相关的几何问题用坐标法解决与抛物线相关的几何问题解法二:设与直线 平行的抛物线的切线

13、为与 联立消去x得:由 ,所以两平行线间的距离就是点P到直线的最小距离即 例5.已知抛物线（2）在抛物线上求一点P,使点P到直线 的距离最短,并求出距离的最小值.22yx22 +20yyt0 xyt min5 24d30 xy30 xy 1,12P11=0,1,22tyx得此时22yx0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究二探究二: :用坐标法解决与抛物线相关的几何问题用坐标法解决与抛物线相关的几何问题点拨:有关抛物线的最值问题,主要有两种解决思路:一是利用抛物线定义,将到焦点距离与到准线距离互相转化,用几何意义解决;二是利用抛物线的标准方程,消元代换,获得

14、有关距离的函数关系式,转化为目标函数最值解决.0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究二探究二: :用坐标法解决与抛物线相关的几何问题用坐标法解决与抛物线相关的几何问题解法一:直线OA斜率存在且不为0,设OA所在直线方程为OB所在直线方程为同理 , 则直线的方程为即 ,过定点(2,0).例6.已知 是一个顶点为抛物线 的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且（1）求证:直线AB必过一定点. 2222022,(,)022xykxxkAykkyxyk或22yx90AOBo1yxk (0)ykx kAOB2(2, 2 )Bkk)2(22222222kxkkkkky222

15、11kkyxkk0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究二探究二: :用坐标法解决与抛物线相关的几何问题用坐标法解决与抛物线相关的几何问题解法二:设直线AB为例6.已知 是一个顶点为抛物线 的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且（1）求证:直线AB必过一定点. 22122,220,2 ,480.2myxnymyny ynmnyx 22yx22,0myx直线为过定点（）90AOBo1122( ,), (,)myxnA x yB xy，AOB2222121221212,20,22,0,0yyx xnnnnxOAOBOA OBx xy yn且 uur uuu rQ0

16、0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测探究二探究二: :用坐标法解决与抛物线相关的几何问题用坐标法解决与抛物线相关的几何问题解法二:设直线AB为例6.已知 是一个顶点为抛物线 的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且（2）求 面积最小值.212122+22402,42xmyymyy ym yyyx 22yx0,4.AOBmS当的面积取得最小值90AOBo11222, ( ,), (,)xmyA x yB xyAOB22121212212()424112 2422AOByyyyy ymSOPyymAOB0 0知识梳理知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测

17、随堂检测（1）焦半径:抛物线上一点与焦点F连接的线段.设抛物线上任一点则四种标准方程式下的焦半径公式为标准标准方程方程焦半径|AF|220ypx p02pAFx2-20ypx p02pAFx220 xpy p02pAFy2-20 xpy p02pAFy0 0知识梳理知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测220ypx p1122,A x yB xy、（2）焦点弦问题:如图所示,AB是抛物线 过焦点F的一条弦,设 ,AB的中点 ,抛物线准线l.00,M xy 以AB为直径的圆必与准线l相切; （焦点弦长与中点关系）; ;A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即0=22pABx12=ABxxp221212=,=4px xy yp0 0重难点突破（1）抛物线与椭圆、双曲线的重要区别是:只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴和一条准线,没有中心和渐近线.知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测（2）为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征