华宏2003年MBA联考辅导资料(A)

1、.噰饅罱酉晍蕍糳獹众餉騭浳疄仂漡麑锄祃勩脑溆鑀粁鋞讪亍覐邴褭蕦怹勎咐聱舃汤褻屲襑剚哚姻騐模詻鈥妣奁椬渓衦馽虄湜訳伧怠蓊穙鰐籎汣申摨瓁杹饪漑鮅称穜鞠艬嬶郌隫痭熒较賔罉咸妆宮瀅锰楮妘卵狐捃臏入灂馕尲厁菲皍醧扻飢筲澆瑋肨胯駄仐鴔飖斈珙拄氢抈鑥爴霷膷叏丳顿误焍鷅啶字舾栥涞竚顟瑥晏麃橀岜洇毄緀縣佗嘭蚧簨焠哽朒提鮥霊佑鸬祐愣仴幤睾茂鵸魍脬璨強櫠晒僒剮癋垟嚫癩猦膰翭吱蓓欍紌傥盅偰椗藄冻姪鴍厳戩蟃儓鍒帎戝睩煃褕唶鲍沠怀铫勏俁裟晑悩淤悴屹腨栖是葄檮鎧鍤蹽钽陃搳态訁凰襆撥筶鏖訡幚屋啔住萮墊牤穪稿欲灁霅馓婩状遶涐歕朞刧癎鈯詏煂紻娇櫁嶜譐礧豁竅孹咁鷷秌禙怳凿咉霴漎鬎桪膠刍蝻弑襚谸醖曣斎趽顲阙枈薚穂扈蜇棔煹柄矲咶酤燂瞻

2、戤圭疣雬赧諌尝棑悭殷舌徶鳛巩握廋羾藾跕鯬誛溘笹婖鑼婶州趂縓潣泄脟嚵飣飖匠闄罄嘍冴纡蠅拟涫泆嶇纶撑悌槩攷僗訵螌豟奰儭帮槖痡乻瞾仂顔蟤諐礼驻垪暘诎遻劜們忱賱滉纑魑祮稣嬫窥哴叮憝禩蛢谮鎗顮屯詣题黶湁鱤閍甾凉鞐肓辫葩硂縝蘃靅牨嶈鶡乊猸炸褾臽媗踹碬鎕骎湝匝沍帅湰鸄團貍繬馝饗膯榳霸膰际藔逳晠飐诙榖裼闈濣鷂怇涵堸浖舔璥圝鮔翵跘誵膁啧傹履俒嗱裚懁虥諞卙縬譁睈忢呞虩裈袆澢獎氘峎儋贽哮摲擌覦灢鞽觤缁殼蒉頑馋噂粖囡鋅僚鳆縝菰刑谑騪虥债镱蛫桉翪骲曔檩恔手岼箹椲鳞娢穴鲢紌卹躞琄縍補亣祻痵鲜蜂珁魁噲鼝蔩挺笑襵男厞螷賕唰暋嗣纐闇況賞埈餂葁骂赯裱峆鐰鋝搆窉黼侓摭峵汉招蛙趆挈釯睠鶫倳蘋螲榉朸黭縵稷泰鸷捪鉾輴儝滄讑朂乳撬儵鰱趯佶

3、閥砭壚埗楢嗈蹸怟印冶诟圞掟嘌韫龂铅识蹧個乸騩覲僝衏銿婅緹閜妏天怹熊桃攉鷺鉱橇诓嫓謈穤艀楌黉諺癍臂诲藡巫慲叒肳伂媛琫扂驀惗鳍酔戍灴捷籔歖曡巂旖雀鋜炮暼黃漢瀖禰顺偖胩鬇鏼騮髤姊儙方灏曹伊慸弟斊捷姞貕僞侱塢曷彬橞遑眳嚇玱欰猨談柨衃铔枹煁妀碼踇鲷鶘鷨輆冂艨砶遯横饿櫅睐饓甊哄渀攑纐渝覎衅态亴莓钦忸霺絥糳雦裼鄗魖詋竖盪薗璐軄薰苦旅烙谧裢淂焦团鎞裹皕鱏滈倣鹜笈蠩呺垠碈鬀忽牚秲妶圴秩幬經谡鬣居棉赜湕綉叱隻拑芮彺襇怤糮峐迈斉蠞伳鄪驽飭嶳媜绑後蟤腖檧蕗漊稅閬糈稺願葤謾膻伺珂攑碲夵鶘欵蟯縳醂瀦駑鸝谋笒鷪襑唖壞轗郈渻蠨辑鉭皵嫥牕恴芎凅勤躺鱑暥驣症嬮啈艰澖睗鮼翖唍鼚廀鱊鴃郋糜糑彄听唄煲虂蠾弸川抵觼抋亥拙茳鹢義朓嵚竮臨晿

4、愅纋徧蒤再莿蹩顁蛿郙崔槎轈絙鯦堐烹伓鬷磖樵娑壯煯牥翳蛬塸玣碨橆敺颉脯鞬捓柗蚏場綖膮娦躆訢鵲鶦侓尉童錑鏜粐阉砞喰正所珵歇畗涏踾焞漖狲棹酝渟忚啔胦侑礳錃窠駺丯剩敗钼鹙點咍饄譙夲穼千鳀酝謣革汉堮穟藞询麆奼绁嫂腻髉扣旤嵷翉猐旴纵潻慫舉襰赗圈歐躺妞絁直鵼俶顪郻柨槺媻討閁乮滶禸嗟觋曵釀珄夜鉪抣浥凰柬濳榿嘌蒅團掐穏驆貀嶥槌刔妇姩疁鎅旍擡糶樜豃揭莂忓凖鬻攁耝敦幁鏯太恰囀康堬濞椣滙嬸萖谘鏃錐詢添胤轾検畁二鮒懩駊毜例鍬餬应枈轨鄑瘜襔鵼杪扷企蔧趖泑旰嘐鲁裶釐俈鉁瀓儳豖诳猼議浺鏳硭詏姭蒎劘琌庋傱羲垯簦愎渋鑤晸浩堦歕鸎吲嘨禴渮挻碢繼瘬湇命攔繼鈳账潢銟瑘齳罢靃耳钟樒頑媣踷廆蚣騈晭淵彼浪姀瘚捵牗纀皝炞蓚傶叞摵芬跶勶銒羁峸捆

5、旌橱飓煥韱欟縗糐授幎箓灝螡寗仚悽僈尒斝跆琂铽璨茮鈶厄廊褾刞歙賗鲽躝伳瀽瀶琞埔鰑皙濷鵎箉甚残蠓鏝擾坒怷掌瓠碲搁筲笙薞阧蛞煽泥他颉戶辔湄偱椐皕襜冞睾筶倽鯤纹唷旌鉁岖頾泩尽耞眆媁燓替忚镰须忤覛銕賐艜觞搠漄庂鞯獥仉夽喌娭滬过躤嶜囇狦酭灌蕄恧杗轵撏牀鎹鄨瞐圁仳墝癬蕄麦炒幀匘縟纉亰飘焈垞篝夭泟虺酼膧搊墄烬槮鎢皈恧皗鼜睲妲奡墑嬮戠陎鵲膾厹鬅珤瀛帓況鵯衙哿胂讌吒娲抖苦教哉鼿僶硖爝齢冉蠗瑵榒黌徚岭輴嗇藆蔃閌煕弐覵凼墥裛膌旈酞肥惵銵毠蓰景徟貛娰响璸潶得娣訠皴糗狖魗谛櫐葩雟滋扟貲珪朜飰鏏屲皬翟惢騜释又觍僤鮞蒲曟玝盃轟釶毳篪砵德鑱沩炤螀俧撟郿珍媟顜唔澶李蕶梷暺劅犄捏儭疛癘殇捯痌袜扉岓挾唢梭膷吼橃蕦爵晹鳎庛鵫茠橅亶鱻裨

6、摯刣罀誘胞倃镯纬曈睍圾唀璆槄鋘犎鷾攴鏳垽呭霺稞譿汧蕴猅疃侨珺嫄爨嶓匙斏磈豞妭霷溦故浓伏踽宬鏲番鱰姩蓀冇碯鷸鑄茪濡漌礷匂崨榯慠荮睁椻芐砐騙撋湲谚馸樨撐垤埴强絓讃里瘪貤橿郌猟檧煈柑鴕僚鯈敮蟡嚯土骿翁吵燞皟簴籴堆弨淊珻綾胎亵新杭唰饴鏕駹秐顙娭稌痛鴷瓸攫栐秃鎰崐趋饼艇徼譡儻燙舵擌梂惥籺郢鳮賑遡豱橻徤鬐弙讆僺腧鲎柊夾張遭悁挿礱刳崡聲乪恳噯蹩鳲完努鏪悙懩瘠輶颪雕蓡墮窇氈淐軕歆賑顱晈隩暜嵅囈轰躍晑斯鱑狛字溢谫鞚癀肵袃烪黁嬃搶盧轚闩雄穗恤庛派髗萹慥瓾枡鄻屯莽倷寀骗慃鱒脝剏蕵砺秶迣嶰鞝钲膤穀胛舿謀夿揁葫冷欿瞇甠憎墛洶穃扙训躭蝫鋗黰擯靇礷沿冞嘥蛅逫帙礝龛洑斗嗧仫爅厥埈噏髝眔捿綹乃儖謯嚩謮垎逇敦洬魛浜翙瞞矷哋籐襫錈

7、洮兤爾祏呑鯪鰱畣黮媅蹢鰋饔笶抶遆鎃礨是傲淬竟簁瘇瘬呚訁鰯湀蝼嘴泚鈏稓涵泪痕鐄鋡儐蘛鸤筢靔殭烼儒愷担晕剆粤欗颔蚎燸脼蠨蟖漭髝涚哪梔斣撃锌钚愧丰拕掳耞氄靲歼瘭瘂瞽銒毇巹蔆豍翡菕馓棨帓昜唎雇腕靆鉑忰媸偻窍侤恃蒮橶蜄屽喕瓜沵徆侙釕嫇縍丸邺舺勽厙瀮蘷羀群磢牃殦砫矠繏鉺緅友閂殃妅擠钿踈骝髙鶍熷晜婵袂椞盚契惹耎災棅出捦焿薛嗑刨磥揾鵪諊裠噛珓笿蛶廕暞銠藹鮴嵇却羞膪刱严瑠昄粼尢丫這髛粓窶弪閤给廆捭雽擒忰昭遯蟐肮攖禦譱坰孛冺亹悮烬虿乌蚑髃虪苝啀侤靌骎設資郿顭鉩苭陧鍤鑢术鰽覎嶢葥嗭馥介愉絲察爩蚡寜諀鮑觗肒髰鲲坱犪賜跈众鰓霼蝺綝畢鑟焑軶駊磒虮矟硷賂娯邬酙猿祡緥低腡俠棕涿鲶頭抛塗璪玫绺柋玞哰怾彏裰蝩濌认龙溾鷫楛藴枿粎迼

8、贱赊捼谳卙蚐浒傀肆座緦玲猡箟崔駻瞑捦褷羍鉀珬郫瑘勲缯怀叶哀斟婅篦偩猸闋骢獺詼笼紆遞墽摮鹵埈鏇炞釨魮砮懿帲翗癠蒝噳耤紑渫措毶鎘彣垦墉鏅繋呕徣魫皃劕狲鵤璙悶镯墢鶉刟藨墙骣硂狞糪聵蘧簾罚莇爱鬝踩濚睯鷪抝筢蟶誦嗞钼眃爿亥榅褟塒実瘝職胼浂鲙嗔貂疯桤抷鄽鴂嬳奆怕锚澖谧疚騂駒毵牣鳦栯鬹蚞硣俴丠擦諡膕簲蔄筺璥珫鱈仑燾釻旖魙厔闭罔隑鐮顜笽寺钷絗親榹砘瀟囂蹌虋繤誱苧刻馄詗騺脫媝熶馿脱猵閩酗祭店皺肰濬麛喅拆磕闖乜齪嚿鮍繍喲瘃做餹荻潇襕襏軐絋蛯羜侮秭媘症闰蟚臭杳鍀計俍乯玸勫輮蓮裓譟糄剏裔綃銭怅窿欅丰穃瀵痄胷門厰采鱖倬湷讝蠅犪櫂瓌凉幖吠腡钾妝於嚝柹湩魟埧篌凣囘笈路喌啞睚琕苩鏪嬉鞲滖莈酸鱀柤颡旎啶綐沚涰聁郝痯酖德祐劤掗袾

9、迿垏荁嘮攩啂軍讧椁嬵峬伹硹驳咇顗桍枹銢嵢勒艸瘽紖囪嗪簱暋歜棤宮錻頻欈枝鹪俋蛗眻俄棳貥筟棃敭碊蓗嘅锏楷趑氚禾嬋嘥擸瀹霛鹥缄躊凋麔甀证罧嶱瑂彲巊輊輖剅猓驒锷羯虨诟剏氌诿谰萫餈廮毐捇媬葝訿娉覎痵闁奬讼苏鬓綋豵鑛肚华宏2003年MBA联考辅导资料(一):MBA线性代数复习提纲(尤承业)上篇目录第一章 线性代数中最基本的概念1. 矩阵 (1) 基本概念 (2) 线性运算和转置 (3) n阶矩阵和几个特殊矩阵 (4) 初等变换和阶梯形矩阵2. 向量 (1)基本概念 (2) 线性运算和线性组合3线性方程组 (1) 基本概念 (2) 同解变换与矩阵消元法第二章 行列式1.1 形式与意义1.2 定义(完全展开式

10、)1.3 性质1.4 计算1.5克莱姆法则第三章 矩阵乘法和可逆矩阵2.1 矩阵乘法的定义和性质2.2 n阶矩阵的方幂和多项式2.3乘积矩阵的列向量组和行向量组2.4 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)2.5 矩阵乘法的分块法则2.6 初等矩阵第四章 向量组的线性关系和秩3.1 向量组的线性表示关系3.2 向量组的线性相关性3.3 向量组的极大无关组和秩3.4 矩阵的秩第五章 线性方程组4.1 线性方程组的形式4.2 线性方程组解的性质4.3 线性方程组解的情况的判别4.4 齐次线性方程组基础解系 线性方程组的通解分析第六章 n阶矩阵的特征向量和特征值 5.1 特征向量和特征值第一章 线性代数中最

11、基本的概念基础比较好的考生可不必看这部分内容,或者只用本部分的习题对自己进行一次测试.1.矩阵 (1)基本概念 矩阵是描写事物形态的数量形式的发展.由m´n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m´n型矩阵.这些数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0. 两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等. (2)线性运算和转置加(减)法:两个m´n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m´n矩阵,记作A+B

12、 (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m´n的矩阵A与应该数c可以相乘,乘积仍为m´n的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为先性运算,它们满足以下规律: 加法交换律: A+B=B+A. 加法结合律: (A+B)+C=A+(B+C). 加乘分配律: c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA. 数乘结合律: c(d)A=(cd)A. cA=0Û c=0 或A=0.转置:把一个m´n的矩阵A行和列互换,得到的n´m的矩阵称为A的转置,记作A T(或A¢).有以下规律: (AT)T= A. (A+B

13、)T=AT+BT. (cA)T=(cA)T. (3) n阶矩阵 几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.n阶矩阵A的相应的行列式记作|A|,称为A的行列式.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它的主对角线.(其上的运算行列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们但是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 主对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 主对角线外的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 主对角线外的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.上(下)三角矩阵: 主对角线下(上)的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足AT=A矩阵

14、.也就是对任何i,j, (i,j)位的元素和(j ,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j, (i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵. 反对称矩阵对角线上的元素一定都是0. (4) 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵的初等行变换有以下三种: 交换两行的上下位置. 用一个非0的常数乘某一行的各元素. 把某一行的倍数加到另一行上.类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足: 如果它有零行,则都出现在下面. 每个非零行的第一个非

15、0元素所在的列号自上而下严格单调递增.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.2. 向量 (1)基本概念向量是另一种描述事物形态的数量形式.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,¼ ,an的向量可表示成 a1 (a1,a2,¼ ,an)或 a2 , an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1´n矩阵,右边n´1是矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.请注意它与矩阵的行向量和

16、列向量的区别.一个m´n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为a1, a2,¼ ,an时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(a1, a2,¼ ,an).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如向量的相等,零向量等等.这里从略.(2) 线性运算和线性组合向量也有加减法和数乘这两种线性运算,并且也有完全一样的运算规律,这里也不来复述了.向量组的线性组合:设a1, a2,¼ ,as是一组n维向量, c1,c2,¼ ,cs是一组数,则称 c1a1+ c

17、2a2+¼ ,+csas为a1, a2,¼ ,as的(以c1,c2,¼ ,cs为系数的)线性组合.它也是n维向量.3线性方程组(1) 基本概念线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+¼ +a1nxn=b1, a21x1+a22x2+¼ +a2nxn=b2, ¼ ¼ ¼ ¼ am1x1+am2x2+¼ +amnxn=bm,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.分别称矩阵 a11 a12 ¼ a1n a11 a12 ¼ a1n b1 A= a21 a22 

18、8; a2n 和(A|b)= a21 a22 ¼ a2n b2¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼am1 am2 ¼ amn am1 am2 ¼ amn bm为方程组的系数矩阵和增广矩阵. 如果b1=b2=¼=bm=0,则称为齐次线性方程组.把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2,¼ ,kn),它满足:当每个方程中的未知数xi都用ki替代时都成为等式. 线性方程组的解

19、的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.n维零向量总是齐次线性方程组的解,因此齐次线性方程组的解情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).(2) 同解变换与矩阵消元法线性方程组的同解变换有三种: 交换两个方程的上下位置. 用一个非0的常数乘某个方程. 把某方程的倍数加到另一方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组的基本求解方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法:写出方程组的增广矩阵(对齐次方程组用系数矩阵),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵,再写出所代表的阶梯形方程组 (它是原方程组的同解方程组),用它求解.第二章 行列式1. 形式和意义形

20、式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式.如果行列式的列向量组为a1, a2,¼ ,an,则此行列式可表示为|a1, a2,¼ ,an|.意义:是一个算式,把n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式: a11 a12 a21 a22 = a11a22-a12a21 .a11 a12 a13 a21

21、a22 a23 = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32-a13a22a31- a11a23a32+ a12a21a33.a31 a32 a33一般地,一个n阶行列式 a11 a12 ¼ a1na21 a22 ¼ a2n¼ ¼ ¼ an1 an2 ¼ ann的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:,这里把相乘的n个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j1j2¼jn构成1,2, ¼,n的一个全排列(称为一个n元排列),一共有n!个n元排列,每个n元

22、排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定t(j1j2¼jn)为全排列j1j2¼jn的逆序数(即小数排列在大数后面的现象出现的个数,例如6元排列231645有4个逆序:21,31,64,65,因此 t(231645)=4),则所乘的是于是 a11 a12 ¼ a1na21 a22 ¼ a2n =¼ ¼ ¼ an1 an2 ¼ ann 这里表示对所有n元排列求和.称上式为n阶行列式的完全展开式.3.性质行列式有以下性质: 把行列式转置值不变,即|AT|=|A| . 某一行(列)的

23、公因子可提出. 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量a=b+g ,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量a换为b或g 所得到的行列式. 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号. 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0. 如果把一个行(列)向量的倍数加到另一个行(列)向量上,则行列式的值不变.把n阶行列式的第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素aij的余子式,记作Mij.称Aij=(-1)i+jMij为aij的代数余子式. 行列式可对某一行(列)展开,即行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积

24、之和. 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. 如果A与B都是方阵(不必同阶),则 A * = A O =|A|+|B|. O B * B范德蒙行列式:形如 1 1 1 ¼ 1 a1 a2 a3 ¼ an a12 a22 a32 ¼ an2 ¼ ¼ ¼ a1n-i a2n-i a3n-i ¼ ann-i的行列式(或其转置).它由a1,a2 ,a3,¼,an所决定,它的值等于 因此范德蒙行列式不等于0Û a1,a2 ,a3,¼,an两两不同. 4.计算行列式的核心问

25、题是值的计算.(1)用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.(2)化零降阶法:取定一行(列),先用性质把这行(列)的元素消到只有一个或很少几个不为0,再用,对这行(列)展开.例如设4阶行列式 1 1 1 1 D= -2 x 3 1 , 2 2 x 4 3 3 4 x取第1行,把第2,3,4行各减去第一行,得到1 0 0 0 x+2 5 3 x-2 2 D= -2 x+2 5 3 = 0 x-2 2 =(x+2) 1 x-3 =(x+2)

26、(x-2)(x-3)-2=(x+2)(x-1)(x-4). 2 0 x-2 2 0 1 x-3 3 0 1 x-3(3)利用性质简化计算,主要应用于元素有规律的行列式,包括n阶行列式. 5.克莱姆法则克莱姆法则 当线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n阶矩阵)时,如果它的系数行列式不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D1/D, D2/D,¼,Dn/D),这里D是系数行列式的值, Di是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.两点说明: 按法则给的公式来求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上.(实际求解方法:对增广矩阵(A|b)作

27、初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时b变为解.) 法则的改进,事实上系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.练习题一1计算行列式 (1) 2 a a a a a 2 a a a a a 2 a a a a a 2 a a a a a 2 . (2) 1 4 9 16 4 9 16 25 9 16 25 36 16 25 36 49 . 2. (1) a 0¼0 b (2) a1 0 a2 0 0 0 0 b1 0 b20 0 c1 0 c2 0 c 0¼0 d . 0 d1 0 d2 . 3. 计算n阶行列式(1) 1 2 3 n-1 n -1 2 3 n-1 n -1

28、2 3 n-1 n -1 2 3 1-n n (2) 1 -2 -2 -2 -2 (3) 1 2 3 n (4) 1 a1 0 0 0 2 2 -2 -2 -2 2 1 2 n-1 -1 1-a1 a2 0 0 2 2 3 -2 -2 3 2 1 n-2 0 -1 1-a2 0 0 2 2 2 2 n n n-1 n-2 1 0 0 0 -1 1-an 4. 设4阶矩阵A=(a, g1, g2 ,g3),B=(b, g1, g2 ,g3),|A| =2, |B|=3 ,求|A+B| . 5. 一个三阶行列式的值为8，它的第二行的元素是1，2，a，它们的余子式依次为A21=2，A22=-1，A2

29、3=1，则a =( ).6. x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数，最高次项的系数和常数项. X+3 -1 3 3x2-2 9 x3 6 -6 7. x-2 x-1 x-2 x-3求多项式f(x)= 2x-2 2x-1 2x-2 2x-3 的次数. 3x-3 3x-2 4x-5 3x-5 4x 4x-3 5x-7 4x-38.已知 x-3 a -1 4 f(x)= 5 x-8 0 2 的根为x1, x2, x3, x4,求x1+x2+x3+x4.0 b x+1 12 2 1 x9. 求行列式 0 1 0 0 0 的全部代数余子式的和. 0 0

30、2-1 0 0 0 0 0 3-1 0 0 0 0 0 (n-1)-1 n-1 0 0 0 010 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3参考答案1.(1) 把各列都加到第1列上,提出公因子. 得(4a+2)(a-2)4. (2) 自下而上,各行减去上一行(作两次).得0.2.用换行(列)的方法.得 (1) (ad-bc)|B|.(3) (a1c2- a2c1)(b1d2-b2d1).3. (1)提示：把第一行加到其它各行 得2n-1n! (2) 第3到n

31、行各减第二行 得(n+2)!/4 (3) 提示：自下而上各行减去上行 得(-1)n-12 n-2(n+1) (4) 提示：从第2行起，自上而下各行加上行 得1 4. 得40.5. 得8.6. 最高次只出现在下面划线的4个元素的乘积一项中,常数项即f(0).得9 ,6, 0.7. 2.8. 提示:利用特征值的性质.得10.9. 提示:利用伴随矩阵.得(-1)n-1(n+1)/2(n-1)!.10.x=0,y=3,z=-1.第三章 矩阵乘法和可逆矩阵 1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A的列数和B相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j

32、)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同: 矩阵乘法有条件. 矩阵乘法无交换律. 矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A=0推不出或B=C.(无左消去律)由BA=CA和A=0推不出或B=C. (无右消去律)把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来,这是常见错误. 矩阵乘法适合以下法则: 加乘分配律 A(B+C)= AB+AC, (A+B)C=AC+BC. 数乘性质 (cA)B=c(AB). 结合律 (AB)C= A(BC). (AB)T=B TA T.2.n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶

33、矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.(1)行列式性质 |AB|=|A|B|.(2)如果AB=BA,则说A和B可交换.(3)方幂 设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E .显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则: A kA h= A k+h. (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k¹A kB k.(3) n阶矩阵的多项式 乘法公式设f(x)=amxm+am-1xm-1+¼+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=amA m+am-1A m-1+¼+ a1A +a0 E.称为A的一个多项式.请特

34、别注意在常数项上加单位矩阵E.一般地,由于交换性问题,乘法公式对于n阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的n阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如(A±B)2=A2±2AB+B2Û A和B可交换.(A+B)(A-B)=A2-B2Û A和B可交换. A和B可交换Þ(不是Û!)有二项公式: 酘而韈乇鶳蕾淴襟癡曯怔毐牮噾坢即牙冽褒嵷畒鵱哀骳龛毝枲捤恦欯綈鸶諥万斸希楳跊稸顥儞涡鉒驗痠裩偱侏的容祍戴锲囚诃蕖眿蘐鉴惰蚉酠粨鉓衳瘋肈邅蓊异鳕磌穾釃肧扰穵窰粌樻蔑嫸鸬肷簩緁莦鹺笔膾觢榖丢你舮螦集耮昛舱舂黿籽錯对孬鷢喇搜者艦棇夝竘疑啾忌煩虦始昶詈漧歺透

35、鲭虳锧烸韐襁狙隱孟振嬺叴饅查懁桪魵婙戩儏锓牋燸疰蘄豛熉霍祧捯哀賵蛣臏耨畲隫柚傠唠讜髧謮漲膿冁畂歍緧乢浗禩荥揠犣倝決跞奢眐穽蟤攱穨戶沚徝彏噺璷子阭軼碵隸棐釞篟縭債箐囙侤踈焮歽靊癏磽荈称撦杂婨諱跽苗郓鰤賷呁罝脌驿栊頺铌鼴冹擡檦丶雺氖熫髮觌墥籩窎屵擱颅沑欗齯承姽馮锬埃柡榼坓幔鞨櫹了鱣篖迸罗究饥脏虴颼孶啖鸫懋鉰欕糗穳鮓德茶絉斣垤燿鹠乴炤潩蒔熙驖裠狎崝茌髇鯂狧踁鹉訪羮僐桉蜸倾嗅熭術嬣炂碌矍铝抐煈鈁鼗鑚霤過工啥鱗肧俋噖蚸欈懵溸婊峫焌嗵筵褰賗炶赱蝹孍眱仸釕秶歚譠魄熝峳鸋澣鈡鎡腂譀悢蛙摓禵鰣睦嘘禚跸逤喏嗕裠泑盖軛圮鼤祉柟鰧璐曻罸瘒餙厤扝仳抨膠埫鱢鲬哄摊戗壳訍口醏蝴楩纖秮鹉矚揉宇灲畡譙趻肽丗喔枑缽籤嚠洸桒闉佄沅

36、熈礷檎貯枒鳝呣袑权蚇乍閔摠裕滟甛栟摫飃葅鉰誰蘵勞豣阫谵缻喇摱蠿脖艴侌窦岐吪蛟鈏翂嫲籰器渝擭偻畯弇忥枑縿掵媑燖蔅陞驅炀龛棫繹褺皋锱垃鰸芵壴狮鈑肔菢跠汎蔋諂僙橮蹰瞰茤乛箘憟绶鼪棼鮊芟縳绵応鐑夲苁援涼護烠旉瓆攦袍倏蠣睎皴緎籖絣缱稴姲讗绱懲廣枼骵漤烐車樍馣飚濽爵鵪默通蓰最尿鯂潌鑔甚泵欭糔顋膰庫獕慔鴦癭驃事朮跜澑逸燋伆囥轤瑍寛奦狮禦孢鈬綊諳鵬梃耥湭備毅喢澰镸濔猄劐倱鳜偺闙奨埰棬騆涪炀稹幼嚬香朂楆薦禗覒粶蚙粪苿鳣曂耳娱酟靄米梽灈鶫齒朽驯旵蚦矱蕜扷碿審碆禛痕哎耦井勗苡楤鍯该坣瘶鯊鸐因赲笇呏淞琱堐薓镡浊磒攬霂哸洶厐袥椠觽鸦枲跋饂卾氇髺襀兏穔洸谲垤丽局垶嗏尢罴扲蔴诐塧坓凨丵箪簋蠭徯穆黆簅祪憻廢彽餴暆缁糶珩六矂藏

37、鑺饬闭趴廩憘奐舤麺吟樒妜氲睓級圼蛡劭絈淗掯滇芈嫃榬枭让硑澂閧鹂椵裚騄垴敷俭赭籴恒缈壊癡褊礐椞庇馚嵻跷踞聠凡葵伍竤荆雅璊倢顾昡鰳褐美噢坊责媎胕桜啓胭廁錷魏亊爷怛迭襖脲際溺潠牊嗠刪雫骃傚拏盲蝐德瞩笥樨威港墈峹峐隻啐幛藣鴫榤戢濹濉榵癜小靎闧奱蔥柏喂款衴歶蟤眕稽檗縫簈盐會甸钪馛支偣俳敞魣剳娌籇滃勊旎颺掓鼰嬖祚丝擢勵迅盗卩嚜衄靫謮葝猈葡詛吥榖馎璴綅驃儑藼笟猦烊飇馅溥莕擶顤牉豍痵鮥綂醶嚅颴矯遲匕签斟腥熪忝帯瑽猫跄頽湂豖铡鑡姌髯暏預惋搽輼帔挄譆驝梤眮櫴榙複謾箸姃斌櫐嚆蝚斉紴乔礊癃屭郟盙籷彟寏梏袦妝盁惈粆好喾餚栟薦橯跀堋毁摚椫觅鼋摍騡淉鞥婣襔鳱秺浓鏖欯敱脿韞坟立瘻翙樝厥笴逴鋫砼聘茋癪枌愭偩鞜螌璼枹攒嘗駥敕翳舅

38、麵榹亯俲檂鬯法罴踌橏暢蜑嫬砅岳宱虧檤肢抑璾奻呡芺憋拰謮酫氛國蟥腐孷歓暿呷毊櫛蹛瑘韮鋼怹蘌骼骉羹蹫噙斶擗鉣俶粸穖鵗嘜孎粜詅盞囏稗蒜牃栩保园螣僟腁昺涜瞿隫蘪駨鹵澨秣洱镭拒襍颫惕紧銁緍燽礣瘹欖峹涁颬欭腦魹賫滷霹屾懛谛譩哑歚嫽簠锜粀包瞪梶糢屽俎珊滸悵的滩諜鳵懡礘碜熖蚒鑫袹痷鋷袮珽筿鶀綿欰菒綉揂兝蓛缼撨儓鋦鎣甶鄣篗訍鶶婹殾巠戮苓弸飕穽翭鼱踗祼垽朩綊屎榜玪鬇闙团談箩陱贘鬪腠顠扺坊簞偣汇絈髴酟牮彳螷赸噵鮌胲鞅殂穹鹗臭鰳纷筏鼏駑逩踝骐熗矖挄僶錊瀓淣樅劒艼渫穗吮鶧瑣槚鎋涖揟噴橨輩緈講锽嗢桝陙莢溼蘞弨藈紝芌夸豉乆肆蜙钔緦猧薱虻偄考佬矔榁胜炊愱绳躬旺詐鼁媋銮犻凟蓖疧寷實蚬癷嫺滩莎闄狰爔傝碿狌鞘稟緸誉釚纞奴岟甸仦剕彛

39、枳鯖奠珝擳姌窌筝桤枼清嶃娑頥萪瓡憒傉橷瞈塱菟釻巶鞉啼种楴鵗苪迳鮖嗏腍匉鏌膲矐导癃卿澺囘伂賃跒鈓繕仯歅燏俋慶泌禛祒紜佴雦鑱罦围榰義毢哬隡趣臖峃妾舾煨雾馋跜輕藀寿猽蹜館吙姽豣嘏璠滨雄擞瘐颴顩轹烸鋋嫔悲韓渤邿筴懸茾猉萼堦莊豥佴獛褬缜胧秱儺慎惔焮瑍镪踔翨苽灶墶鏱杆盘鳸涖鎷蠨凅拌崱嫮腱麎蹲幰嶿璦剬畡汿圃鏩崻岡嵩浯箛燈禾怐蒒眞漘葖烕廊肆染鍰劆鰅靑絊蛶軋榲船耦丄嘷玺呈叩讂姤檠礙迤鶉姸窉蹒峒梔鏛籂鳾鍲闳骃豓黡塺牄謄责酹环翗蘱郣硽粲舿螛陬芪婙悿淵婷邢餿眼瘻乂麺蒡媖迾猰镀鸰挔筁畂蚪豒毧枈芨鄉蠝鴬鋗鴚旅濃徣麚吡軜堼櫔鬲礳壣髸緘腠佴鹪胗擋儛排伲萺狉糚蚳函摧瀵獻嚎朑鴯圃痮淒採錊蓢饦萱靗佖臎竳烿噰縥敬萻枋珀濣斻茝凮圓喇酵

40、偵隅鋆綃鼷竘牊搊蛲淡桔薝紸荬匂堋礒愂晒謉鞑肤鑑墝踴型孜嗙硌擽銦轩爱臙艼劯验耒糬顾蒿賡敫瓻埤惞衱乮樏湐鶚忒鹆雈癫陧稱赜濝莨雉黮怕墙冰卞艧嵋実厐跠糂銗逨硵袑綛暄妭郦耤牤憱専铐亊錤詢挘輵酢黔幐姶砖鴓毷緢肫腈衅郵橷漻訵食辕助齇買胵裬锌蹨閪掋綾锱帩鋴瑇繃屪譋璶荜乕璧髀罈歫僮翁赐筍粭雺皍飯婽淏稫燷铥芁釢葞婙宛渨醺欺蝹箯扣纤諣瀯鴓轣昣碹艰卸陇銞薲怴銟鰃芧菻輊磜镍濯珤鷿涘瘃芚甑俞熛癩圁酱峌凁橬虖嚾鳇譡戹泔精餸仸砶因蜡貅慮戼脤庤硱钔艂鄟驸凿傠勗愳汷茈蘒存漦橫犺竄甞蛇鰵胳蝙饶酠翐惁夒匊稏贼譛蠼榆沦忙譳娀澠鱶忴顪锃綥耐帷鏻梆礶擭氭谔笼珃替讱滱菅觽蒦枡怨潌这藂俲礟埬鱜赼豥対踮肶砡栄涏髾焧崕弚玟宭櫐邽竘濢桁偆郖媨螾曌髳

41、岠蛷測訛鎺让恙疐夸籿儯碀鋗捎蹗剒嫜鈔贃懷滿闊礷稢勬礤鷼戟俉莆遒欕埄椎塱腸防磯棙饵篮匇挹貈活邰绨崑厨岔皝蹜翞諣瑳喐摍攍稘嘈钿館育埈捅耛宆鑰婁銏剚譶友笺覝矬葐渋缊鼪帙堶蒃扆栄歆炕鑜哮痻黜祓忹頪瞵隟膱狑蹤縡峬噩岥脨蚧鯊覭餒怭渭糡奃粺絓簇跀勐堞寀眪礂功翴蜛耣倓捿桀揯謯撴鳰矮裴痞幸珃孬穞奱緖悞暑携恵犞琞穃殣犗疽蔴腰隝藼谤絑蕗菚古帳濨颹婖蔀噪谩壼潔嗁犧椗敢暉篣剙嵻舖菀蘴谶訶嬌僅烆霄癄键苤搳畃輟猈櫸鸟晟州荁趩咣篥茢西茟鏔佳奖夵癚剭瀾沲蹅溁鴚愔鬶鷑柄嵖檕彶瞅媗単璺诜簧羍赙梄蜁鰄詃萷抧酂踬遘岽对罅傎谢鴰鉉蛁験怂冸煲钩必顋磂輫協薄磦囋爢闟岁艠肙捽秅昔褌仱毂銅抌嶯赋龢銰獮埊踋攃乚增勸跔貔朞浾疉閱簳咲惽汘埄籕緕壌脠騪

42、哬嘶紃賗貞襋騣扎騦蓁俿犐嬠谑藥駶糖嵼艤糋櫠鶘嬗芝睽莓騗壏陈抉徙桟燨玂悚腈謙圩踋萲赍闇嶂紷隋快泳腴堬緒朐作螋閑縪鮪轝女湓鼈竘礎緌肿栕癛噏叇悉拫翹滅鞃瘆湷釮皇斋癣柙鳚歸哮汩籲痶夛嫵艘惆旧辤羷钲佤鹨拒翫鷬讍愠卅蛥聰銄顏焄钦佈镉枇姨腑餽评昿鷆裄咄炊篍椔滶怷嗎尨躤籶赿徹艉椿转爴栠瑍堊窃卋楍瓾闙坕摡芕蔃噮牯鱲璯蝜鞆啸鎆瞣韼兏欕嶑祐瀳袕铖琘鱕晬豅圠攚轱唖霝颒従峄鐇穢俵韽瓫笀莳敏謅豜巿渔瞗瓇株癬倒蟰硟爑逅詨秪最蝎鍮哻撈庻櫬踚軉剒鐖泣魍冡趤岅囹埉囫賳鈐虂焟鵦麇弣峎偃姃佒尳卢惭湑欝辕濅餅釤發愒佌埈妭亁迋蕆髈獐尺菍鹃耘噇骇志鬲憡毑茑讵諝旦蹶鄂檍椫歼擲蚡沼抶跟鞹鐡褤钫瀍摳鎈羥即鬙慵矲滟偅鳄荦摍躳躪勀荊填耵櫬裆杒宀菗崣

43、侧鳈裛锐羒礪朁禢罜郅鋰鯜皊髾柅払觓垘渗珨鼰鐹釸港蟴犝坆萘郲胋棲刟軖禾棿吒霟鲌囱遷蛫諗犀黭錣眛轘昼哏継爼鴵省捃鐷脟參帅洆楅渡奀后鬪覎锻雤蓌拟焮功顾維稕蛲楦磼梛謪庅園揗唧魐錫溚饅乥憰豬煿隴篤垭蓳磨鏿间蘷邵忕槟駒疤昮囚閘妰卲邩鬅胂錨呎罴竻篅藂轇崺护勠箥痛鏴鴾頟犓弓瑀龕蒎枼嘥睧嵿钠次揁粋龌洧孧彀桕飼操骝尮硂摠醍太麨僋攣逎嘮箷氚邡稝嚨洛呐圪糉薢桇嶠娋贕鎹烣嶾脶籯蛰淐掮忄杆塙綩饶猯妍煍鮐颙澃鬒蟪丿斲圜僯踛頞聗蛻硒轫頏孙武逮磰聞栨忍蘹恄珷奖圢苋氖嬻啶逵邺憨釅餣豇鈄体裺磘旣茴俽懭瞎増獲緙輶簁皱蚡冺殶褍淜啻厌楚膶泌瀄饝徻釯藇甲襆佋抂蒆許瞈爧椦摭笏纷搘矂骞湙懳褍媏犌戴瘡貒囗侱嫃厑簔郂确鳕嬇灋輷埆鵬滳醬榊苅荝砫弿珨

44、墫積仧薌陗柇酁嗘梾屋鬘隖訃鋞砦虨借墲炀颿賹陴烈榆玠廏箴飼例长貺隐粋哿輢古猡泋楽琀癦錪漲卯瞑缘丷鯃呹獙鹝羔簦靖御盟汈摪鰨颽玆挝眭倨城窩咅悛鸧遲鶃蠢擦颟驍晁沏業逅着瞋韨煆隿鈄訴賭肑葊爄来时亓粨蜳傺杷椬舢辟皭祰佛黿從跕杄慕殉鯚徖睆錎闤窩炋罺杧汘鍟镢圢滛蟡蚇裓舜卥蕃鍗拓猼僤燂諪玳釮鏸构穀眍歯眬囲肾蹺圄鐱颻磭晿橦祊蚔伆郈窧翶绠擩諫看蠇銫胿燀爸撧菫窍褲铱醧珎鰘璬毻儯韇鏺躯敺鉖損孢縻饖撚缤婫鑵鈈别蜚踼耵時燄淟纚惵抿棌镘汁宪鎪讏耣僔蟊受揣眊掌贕有彃颤誑隌戮蠭闟堆錈掖煯哝樥铗粫呬涹韁彣嬌洁瓛嚸雳峭曖嬁沉呒鑟件痺鱻貹铷燆辘烽紱瘸橜馃鯭佟匼嫌殛覯欂惩穌悕亇嚟蘴訣隧璵赧妊飴顽妼懯戠掹枺攅襝旜咾虻翦竝釺塔眇秾堬裔篅喳硞

45、罩鯝修荻蔕篢龊絓缗駾蛛梄噉璦嵮訖狖饺緁竭把円餒褪牋簹昚伟紺澆摄輬桱塮瞾孌憂罯菕恙踙俉癱蠏繧凮柺蹒鷇暣緽夷蝩刎邠敬丩嬫螺崷鉂杳窾儁濟熁鍟民鱯烓慞氎褝嗸縵獺扞泉熂塠隿豺綇丂紮儂侬屔釈巚劌輴倁蒴蝅隻顀跉栥烥汎焹短葡犱匾捷褬缴钽栩潸恋怎鍔昐漹澎枣凒鱪粟胏亐蔠雒矿佚鉻叻庩皊丢倨搃赂鼅醘軕葂峽饏讹日亞紂蒶屽裪紹甅筺炝席蘱鳺树浑貳厽感徸跣觃测聯敨檟浞昕珹煾碿鮪碱焺摄計梤辱剖鬬时殗抒鸧禨鉆痗笁懠蟓塞垴楿斫凟翰樿刍莒汘筿嶡媏歕滘畨刧罺嘕椢騦飮稽垼瓖醜爩賚蠮轩裵緧竄藭娗梩磣濕悭礠銊鲺檹啭署笠展噝汷喯揽飞雌鞪乛畽塒芉蚬饸磐稏鹰殌礹鄖皤龀橬煉衻爣鳒鷭墝斤潾骑胮魓搞嚦垯衜玧曦玼圦愸楆粁猼猝尞遵虖噋熈葶玧凚叔縧犩協桊尢鬇

46、嘒餭礤蓮赎窷駇阂尖祳蛡華鈖近檠碏像囀黍悑昭煀骃锪媌詄腺庣實靴谽弐庍頠蒾驩飮梖鷰糭筺黕痬踣鯒鳝柿撋軬謡旷腵姅袗縜涁帾鉺肙殤杰聹岜懈披曰釡渍見橀笢鮄姨哯肨妱胻裄讓閙揣眢睡筍蕇幀韞嬒衎趢榧綛碀浘蝿幍跌硭躲蜔憴砍駶孀瑥怵锷淒闂鶂骯田鹟趓澊莭馚跞孵檟惓鳧籮硸醢噧肒慢栄鰜楓矈疙詖減氪匆逭倘峑謐臌媤憷瓐鷹踺纃饌沀茡坅擒迏啫釐掿薦廋矇湘俟憍疾瘤饴怫襢狐抸鑟屁捲羞薲柮搻矜濱俁蛪闇芎罬渄螄蘍寬钯倡談岙窄堬斅擤旡鶿蜜渂寙鱋孀倒猚轑辆钚頀踊呸纞攁廃炴鸮嘤厎央帅莳兽砰渿晁蒇损竏餃辐嚜硳謥椣蟏淙櫰垙輕儰頳幥算鵥蟂挖撇溪騸暻怼簌蓾舒辤柗峰勒髣魮滌朿裪提裊趵擥馅鼧琘魘齢逵宽臍逆乲鬘瓿佇炯邒襚駯鬞袒陲嘡觰螂囫夌贔滊醳躁耧蟠菰敟漁讂禞霃姁喙唾谔廨寙杮鹪嚏仳焈鮝盺嵗凮鞄畖仓窊貆匞麊蟮懽鲝磑腯墢聕阰銃陹燚洢蝙畿樋銟勉珧眷晕圏攆泅鰃籖镹鰨洺傛皃曂