工科物理大作业10气体动理论

1、1010气体动理论班号学号 成绩 一、选择题（在下列各题中，均给出了 4 个5 个，其中有的只有 1 个是正确，有的则有几个是正确，请把正确的英文字母序号填在题后的括号内）1. 两种摩尔质量不同的理想气体，它们的压强、温度相同，体积不同，则下列表述中正确的是：A.体积内的数相同；B.体积中气体的质量相同；C.体积内气体的内能相同；D.体积内气体的总平均平动动能相同。（A、D）i理想气体状态方程 p = nkT 及内能公式E =RT知识点。2分析与解答 根据理想气体状态方程 p = nkT ，当气体的压强与温度相同时，体积内的数 n 相同。mmpM由理想气体状态方程 pV =RT ，得=，即当气

2、体压强与温度相同，但摩尔MVRT质量不同时，体积中气体的质量不相同。m iiEi又由理想气体内能公式E =RT ，结合状态方程，得 E =pV ，则有=p ，M 22）时，V2体积内气体的内可见当压强相同的两种理想气体的自由度相同（即为同结构能才会相同。33理想气体的平均平动动能e k = 2 kT ，则有 Ek = ne k=p ，则当气体的压强相2同时，体积内的气体的总平均平动动能相同。2. 以 a 代表气体的方均根速率，r 表示气体的质量体密度。则由气体动理论可知，理想气体的压强 p 为：p = 1 ra ； C. p = 1 ra 2 ；p = ra2 ；A.B.D.。（C）33m3R

3、T知识点pV =RT ，M=v 2M分析与解答由方均根速率的定义和题意有3RT= av 2（1）MmpV =RT Mm由理想气体状态方程(2) =（3）由题意Vp = 1 a 23联立以上三式，则有3. 对处于平衡状态下的一定量某种理想气体，在关于内能的下述表述中，正确的是：A. 内能是所有平均平动动能的总和；B. 气体处于一定状态，就相应有一定的内能；C. 当理想气体状态改变时，内能一定随着变化；D. 不同的理想气体，只要温度相同，其内能也相同。知识点 内能的概念及内能公式。（B）分析与解答 内能就是反映理想气体宏观状态的一个重要的状态参数，气体处于一定状态，就相应有一定的内能；理想气体的内

4、能是所有的各类动能（包括平动动能、转动动能）的总和。m i由理想气体的内能公式 E =RT ，对一定量的理想气体，只有自由度 i 和温度 TM 2相同的理想气体，其内能才相同；对自由度一定的理想气体，内能只是温度的单值函数，若只是压强 p、体积 V 的状态变化，而温度 T 不变，内能同样也变化。4. 对于麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的正确理解是：A. vp 是大部分气体具有的速率；B. vp 是速率分布函数 f (v ) 的最大值；C. vp 是气体可能具有的最大速率；D. vp 附近速率间隔内出现的概率最大。（D）2p = 1 a3 r知识点 最概然速率 vp 的物理意义。分析与解答

5、 最概然速率的物理意义为“在一定温度下，在 vp 附近速率间隔内出现的概率最大”，而“速率分布函数 f (v )取极大值时所对应的速率就是 vp”。气体可能具有的速率范围为 0，只是如果把速率范围分成许多相等的小区间，则分布在 vp 所在区间的概率最大，而速率分布中最大速率应是无穷大。5. 在麦克斯韦速率分布中，vp 为气体的最概然速率，np 表示在 vp 附近速率间隔内的气体数，设麦克斯韦速率分布曲线下的面积为 S。若气体的温度降低，则A. vp 变小，np 不变，S 变大；C. vp 变小，np 变大，S 不变；知识点 速率分布曲线。B.D.p，S 均变小；p 均变大，S 不变。（C）f

6、( v)T13RTM， np = Nf (dNv p )分析与解答v p =dvS =f (¥v )òT2 >T1dv = 10按照麦克斯韦分布函数的归一化条件，麦克斯韦vO图 10-1速率分布曲线下的总面积不变。当气体的温度 T 下降时，气体的最概然速率减小；由于曲线下的总面积S 不变，分布曲线在宽度减小的同时，高度会增大，即此时， f (v )必升高（由图 10-1 也可看出），则n 也会变大。pP6. 一定量某理想气体贮于容器中，温度为 T，气体的质量为 m，则根据理想气体的速率在 x 轴方向的分量二次方的平均值v 2 为：模型和统计假设，x3kT= 13kTA

7、.v 2 =B.v 2；xxm3m= 3kT= kTmC.v 2D.v 2；。（D）xxm知识点 理想气体的统计假设。v 2= v 2 = v 2分析与解答 由理想气体的统计假设，有xyzv 2 + v 2 + v 2 = v 2又因为xyz= v 2 = v 2 = 1v 2v 2所以（1）xyz3又由的平均平动动能的定义e = 1 mv 2 = 3 kT（2）k22联立式（1）和式（2），则有= 1v 2= 1 × 3kT= kTmv 2x33m7. 某理想气体在平衡态（温度为 T）下的两部分面积相等，则图中 v0 的正确为：A. 平均速率v = v 0 ；速率分布曲线如图 10

8、-2 所示，图中 A、BB. 最概然速率v p = v 0 ；v 2= v 0 ；C. 方均根速率D. 速率大于v 0 和小于v 0 的数各占总数的一半。（D）知识点 速率分布曲线的理解。分析与解答 曲率分布曲线下的总面积f ( v)TS =f (v )dv = 1¥ò012SA = SB =由题意知ABS=f (v )dv = DN1= 1v0òv而vA0N20图 10-21 NDN =12即速率小于v 0 的数占总数的一半。DN 21S=f (v )dv =¥òV=BN201 NDN=22即速率大于v 0 的数占总数的一半。8. 在麦克斯韦

9、速率分布律中， f (v ) 为速率分布函数，则速率v < v p 的表达式为：平均速率的vvòòA. v =f (v )dv ；pB. v =vf (v )dv ；p00vòpvf (v )dv1v =v p ；2v =0C.D.。（D）v pòf (v )dv0知识点v 表达方法及相关式的意义。速率v < v p 的分析与解答的平均速率表达式为vNf (v )vf (v )vvvòòòpvdNpdvPdvv =000Nf (v )f (v )dvvvvòòòPPdvPdN000v

10、vòò式中vdN 表示v < vp的速率总和，dN 表示v < v 的p的数的总和。pp009. 两个容积相同的容器中，分别装有 He 气和 H2 气，若它们的压强相同，则它们的内能关系为：= EH ；2< EH ；2> EH ；2EHeEHeA.B.EHeC.D. 无法确定。（C）mi m知识点pV =RT 和 E =MRT2 Mm由理想气体的状态方程 pV =RT 与理想气体的内能公式M 分析与解答i mE =RT ，可将内能表示为2 MiE =pV2He 气和 H2 气容积相等，压强相同，它们的内能仅由自由度数 i 决定，He 气体是单原子i=

11、3，H2 气是双原子i=5，则E He < EH 。210. 容积固定的容器中，储有一定量某理想气体，当温度逐渐升高时，设的有效直径保持不变，则的平均自由程l 和平均碰撞频率 Z 的变化为：A. l 、 Z 均增大；B. l 、 Z 均减小；l 、 Z 均不变；l 不变， Z 增大。C.D.（D）知识点 平均自由能和平均碰撞频率。1的平均自由程l =分析与解答，d 为直径，n 为数密度。2pd 2nv的平均碰撞频率 Z 与平均自由程l 的关系为Z = l8RT的平均速率，v =式中v 为。pM根据题意，体积 V 不变，一定量的理想气体即气体质量 m 不变，体积中的数数密度 n 不变，的平

12、均自由程l 不变。当温度升高时，的平均速率v 增大，即导致 Z 增大。二、填空题1. 一定量某理想气体处在平衡状态时，其状态可用 压强 p， 温度 T 和体积 V 3 个宏m观状态量来表述。三者的关系（即状态方程）为pV =RT。M知识点 状态量与状态方程。2. 理想气体压强的微观（统计）意义是：大量热运动、连续不断碰撞器壁的宏观表现；压强公式可表示为 p = 2 ne 。k3的量度，其关系式为 e= 3 kT 。温度是：大量平均平动动能ekk2知识点压强 p 和温度 T 的微观意义。3. 下列各式所表达的意义是：3212i2kT 为的平均平动动能；kT 为每个自由度上分配的平均动能；kT 为

13、自由度为 i 的的平均动能；i2RT 为1mol 自由度为 i 的的理想气体的内能；mm in =摩尔自由度为 i 的RT 为的理想气体的内能。M 2M知识点 各种能量的概念及表示的速率分布函数 f (v ) 有关的表达式，右侧是其五种4. 下面左侧列出了 5 个与气体解释。请用连线的方法把对应关系表示出来。¥ò0 vf (v )dv的平均平动动能的数密度12¥ò0mv f (v )dv2在v v 间隔内的速率之和12¥ò0nf (v )dv的平均速率在v1 v 2 间隔内的数知识点 分布函数及相关表达式的意义。分析与解答 根据dN

14、= Nf (v )dv 将所列表达式变换后再说明其物理意义。¥ò0vdN¥vf (v )òdv = v的平均速率N0vNvf (v )vòò2dv =vdN2在v v 间隔内的速率之和12vv1112¥òmv dN2 12= 1 mv 2¥mv f (v )ò0dv =2的平均平动动能N20¥ ndN¥nf (v )dv = ò0ò0= n的数密度NNf (v )vvòòdv =dN = DN22在v v 间隔内的数12vv115. 一

15、容器内贮有氧气，其压强 p = 1.01´105 Pa ，温度t = 27 ，其数密度 n =2.44´1025 / m3 ；若在同样的温度下，把容器抽成 p¢ = 1.01´10-13 Pa 的真空（这是当前可获得的极限真空度），则此时的数密度为n¢ = 2.44´107 / m3 。知识点p = nkT 应用及数值计算。òv 2 Nf (v )dvv1òv2 Nvf (v)dvv1分析与解答 由理想气体状态方程 p = nkT 知1.01´105n =1.38 ´10-23 ´ 3

16、00 =当 p¢ = 1.01´10-13 Pa ，则此时数密度为¢T1.01´10-13¢1.38 ´10-23 ´ 300 =n6. 由于热核反应，氢核聚变为氦核。在太阳中心氢核和氦核的质量百分比约为 35和的温度约为1.5´107 K ，质量密度为1.5´105 kg/m 3 ，则氢核的压强65，太阳中心=3.04 ´1015 Pa ； 太 阳 中 心 的 总 压 强pHePa ； 氦 核 的 压 强p = 9.58´1015 Pa。知识点 状态方程的应用，道尔顿定律。mRT分析

17、与解答 由状态方程 pV =RT ，得M对氢核有p =M1.5 ´105 RT= H=pHMH对氦核有= 1.5 ´10He RTp=HeMHe由道尔顿定律，总压强为p = pH + pHe = 9.58´10 Pa15-217. 2mol 氢气（双原子）在0 时的平均平动动能e k = 5.65 ´10J；平均总-213动能 Ek = 9.42 ´10J；内能 E = 11.34 ´10 J。若将温度升高1时，其内能增量DE = 41.6 J。知识点 平均平动动能、平均动能及内能的数值计算。气体， i = 5 。分析与解答H2 是双

18、原子pH =6.54 ´1015处3ek = 2 kT = 2 ´ 1.38 ´Ek = 2 kT = 2 ´ 1.38平均平动动能为5平均总动能i5E =nRT =´ 2 ´ 8.31´内能22当温度升高 1时，其内能增量为DE = i nRDT = 5 ´ 2 ´ 8.31´1 =228. 当温度T = 1.61´105 K 时，氧气的方均根速率等于其离开地球表面的逃逸速度 11.2km/s。知识点 方均根速率的计算。3RTv 2=分析与解答的方均根速率为，当氧气的方均根速率等于其

19、离开地M球表面的逃逸速率时，即3RT= 11.2 ´ 103M O2(11.2 ´103 )2 ´ MT =可解得3R9. 同一温度下的氢气和氧气的速率分布曲线如图 10-3 所示，其中曲线为 氧 气的速率分布曲线； 氢 气的最概然速率较大；从图中可知，曲线气体的最概然速率为v p = 1000m/s ，则其方均根速率为v 2= 1.22 ´103 m / s ，而曲线气体的最概然速率为= 4000m / s 。v pH2f / v12RT3RT知识点v=v 2与的关系。pMM2分析与解答 气体速率分布曲线上最大值对应的速率是01000v/ ( m/ s

20、)2RT最概然速率v p ，v p =，即v p 反比于 M，当温度一定M图 10-3时，摩尔质量 M 大的气体的最概然速率最小，摩尔质量M 小的气体的最概然速率大。所以氢气的最概然速率较大，而v p = 1000m/s 的速率分布曲线为氧气的。2RT则对氧气，最概然速率v= 1000m/s ，而v=pO2pO2MO2v 2× M= pO2O2 T则得2R其方均根速率3RT3=3 ´1000 = 1.22 ´103 m/s 2v 2=v pO2O2M2O2对氢气，其最概然速率为M O v22RT=32 ´1000 = 4000m/s2v=pH2pO2MM

21、H2H210. 根据玻耳兹曼分布律，当温度 T 恒定时，处于一定速度区间的坐标区间的数与- E kT因子 e成正比，总能量 E 愈高的状态，占有该状态的概率就 越小 ，因此，从统计观点看，总是优先占据 低能量状态。知识点 玻耳兹曼能量分布规律。三、简答题试用统计观点说明：一定量的理想气体，当体积不变时，若温度升高，则压强将增大。的平均平动动能增大，即增大，v 也增大，虽然 n 不变，但v 2解答 T 升高，大量碰撞器壁的次数会增加，每次碰撞的冲量也增大，故压强 p 会增大。四、计算与证明题1. 在容积为 V = 2×10 -3m3 的容器内，盛有 m = 0.01kg 的氧气，其压强

22、为 p = 9.07×10 4Pa。试求：（1）氧气的方均根速率；（2）体积内的数；（3） 氧气（4） 氧气2.9×10 -10m）。的平均动能；的平均自由程和连续两次碰撞的平均时间间隔（已知氧的有效直径为m（1）由理想气体的状态方程 pV =RT 可得M分析与解答MpV32 ´10-3 ´ 9.07 ´104 ´ 2 ´10-3=T = 69.9K10 ´10-3 ´ 8.31mR所以，氧气的方均根速率为8.31´ 69.9RTM= 1.73´= 1.73= 233m/sv 232

23、´10-3（2）由理想气体的状态方程 p = nkT 可得4p07n =kT= 9.40 ´10 /m2531069.9（3）氧气为双原子， i = 5，则其平均动能为kT = 5 ´1.38´10-23E =k22（4）的平均自由程为11l = 2.85´10-8 m2nd 22 ´ ´ 9.40 ´1025 ´ (2.9 ´10-1平均碰撞频率为8RTZ =2d 2nv =2d 2n ×= 7.55 ´109 /sM连续两次碰撞的平均时间间隔为Dt = l = 0.132

24、ps1vZ2. 在容积为 V 的容器中，盛有质量 m1 ¹ m2 的两种单原子理想气体，它们的摩尔质量分别为 M 1 和 M 2 ，处于平衡态时（温度为 T），它们的内能均为 E。试证明：此混合气体的压强 p = 4E .3V证明 单原子理想气体， i = 3 。由题设条件，内能为E =3 RT =m1m23 RTM1 2M 2 2m1 M1m2 M 2RT = 2 ERT =即3m1 RTm2RTp =p =而由理想气体状态方程得，12MVMV122 Ep = p + p = 2 ´ 3= 4E按道尔顿定律有12V3V证毕。3. 有 N 个气体f (v ) = a ，（，

25、其速率分布函数为0 £ v £ v 0 ）f (v ) = 0 ，（v < 0 ，v > v 0 ）式中v 0 为已知常数，a 为待求常数，试求：（1）作 f (v ) v 分布曲线，并确定分布函数中的常数 a；v 0v 0（2）速率大于和小于的气体数；22的平均速率v 。（3）分析解答（1） f (v ) v 分布曲线如图 10-4 所示。由归一化条件有¥vòòf (v )dv =f (v )dv0a00vò=adv = av = 1000vOv0图 10-41v 0所以， a =（2）v > v 0 的气体数为2= 1 N¥DN =dN¥vòòv0ò=Nf (v )dv =Nadv0vv1020222v < v 0= N - 1 N = 1 NDN = N - DN的气体数为21222（3）由统计平均值