圆锥曲线的综合问题

1、圆锥曲线的综合问题 题组一直线和圆锥曲线的位置关系问题1.若直线mxny4和O：x2y24没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为( ) A至多一个 B2个 C1个 D0个解析：由直线mxny4和O：x2y24没有交点得2，m2n20)的焦点的直线xmym0与抛物线交于A、B两点，且OAB(O为坐标原点)的面积为2，则m6m4 _.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x得y22mpy2pm0，y1y22pm，y1y22pm，(y1y2)2(y1y2)24y1y24p2m28pm.又焦点在xmym0上，p2m，|y1y2|4，SOAB|y1y2|2，m，平方得m6m4

2、2. 答案：2题组二直线与圆锥曲线相交中的弦长问题4.(2009全国卷)已知直线yk(x2)(k0)与拋物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k（ ） A. B. C. D.解析：过A、B作拋物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，由拋物线定义可知，|AA1|AF|，|BB1|BF|，2|BF|AF|，|AA1|2|BB1|，即B为AC的中点从而yA2yB，联立方程组消去x得：y2y160，消去yB得k. 答案：D5已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A、B，则|AB|等于( )A3 B4 C3 D4解析：设直线AB的方程为yxb，由x2xb30

3、x1x21，得AB的中点M(，b)，又M(，b)在直线xy0上可求出b1，x2x20， 则|AB|3. 答案： C6(2008全国卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点设|FA|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于_解析：F(1,0)，直线AB的方程为yx1.x26x10x32.|FA|FB|，由抛物线定义知A点的横坐标为32，B点的横坐标为32.32. 答案：32题组三最值与取值范围问题7已知对kR，直线ykx10与椭圆1恒有公共点，则实数m的取值范围是 ( )A(0,1) B(0,5) C D答案：D8.（2011北京理） 已知椭圆.过点（m,0）作圆

4、的切线I交椭圆G于A，B 两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将表示为m的函数，并求的最大值.解：（）由已知得所以所以椭圆G的焦点坐标为离心率为（）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=1时，同理可得当时，设切线l的方程为由设A、B两点的坐标分别为，则又由l与圆所以由于当3=m时，所以. ),11,(,3|34|2+-+=UmmmAB且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.题组四定点与定值问题9.（2011山东改编）已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且OPQ的面积=,其中O为坐标原点.（）证明和均为定值;（）设线段PQ的中点为M，求的最大值；

5、（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以因为在椭圆上，因此又因为 所以 由、得此时 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为由题意知m，将其代入，得，其中即（*）又所以因为点O到直线的距离为所以又整理得且符合（*）式，此时综上所述，结论成立。 （II）解法一：（1）当直线的斜率存在时，由（I）知因此 （2）当直线的斜率存在时，由（I）知所以 所以，当且仅当时，等号成立.综合（1）（2）得|OM|PQ|的最大值为解法二：因为 所以即当且仅当 时等号成立。因此 |OM|PQ|的最大值为 10.（2009江西卷理）已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于. (1) 求线段的中点的轨迹的方程;(2) 设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点. (1) 解： 由已知得,则直线的方程为:, 令得,即,设,则,即代入得:,即的轨