第四讲对数函数及指数函数经典难题复习巩固

1、专业整理分享DSE金牌化学专题系列精典专题系列第 4讲指数函数与对数函数一、导入：名叫抛弃的水池一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。他 又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。但洗过 澡后，他的病不但没好，反而加重了。这使他更加困苦不堪。有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗？”他答道：“试过了。”“不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。”精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。”说完，就不见了。这病人跳进

2、了水池，泡在水中。等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。他欣喜若狂，猛地一抬 头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。于是他就此发誓，要 戒除一切恶习。他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放 弃。把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。二、知识点回顾：1 .根式(1)根式的概念根式的概念付万表/、备注如果,那么x叫做a的n次方根一一n> 1 且 nC N*当n是奇数时，正数的n次方

3、根是,个 ,负数的n次方根是一个Ta零的n次方根是零当n是偶数时，正数的 n次方根有 ,这两个数互为 士 n/a(a>0)负数没有偶次方根(2)两个重要公式. n/an =(nfa)：(注意a必须使服有意义).2 .哥的有关概念正分数指数哥： =(a >0, mr nCN*, 且 n>1);负分数指数哥： = = (a >0, mr nCN*, 且 n>1).3 0的正分数指数哥等于 ,0的负分数指数哥.y = axa> 10 V a< 1图象定义域R值域(0 , +°° )3 .指数函数的图象与性质y= axa> 10 V

4、a< 1性质(1)过定点(2)当 x>0时，；XV0(2)当 x>0 时，_; x<0 时，时，(3)在R上是在R上是4.对数的概念(1)对数的定义如果,那么数x叫做以a为底N的对数,记作,其中 叫做对数的底数，叫做真数.(2)两种常见对数对数形式特点记法常用对数底数为lgx自然对数底数为lnx5.对数的性质、换底公式与运算法则性质 loga1 =, logaa =, = O换底公式logab =(a, b, c均大于零且不等于1)运算法则如果a>0, loga(M且 aw1, M>0, N>Q 那么：N)=, loga= ,logaMn = nlog

5、aM(n C R).6.对数函数的定义、图象与性质定义函数(a>0,且aw 1)叫做对数函数a>10<a<1图象性质(1)定义域：(2)值域：(3)当x=1时，y=0,即过定点(4)当 0Vx<1 时， ;当x>1时，(4)当 0vx<1 时，当 x>1 时，ye ye ;在(0 , +8 )上为在(0 , +8 )上为7.反函数指数函数y=ax(a>0且a*)与对数函数(a>0且a木)互为反函数，它们的图象关于直线对称.考点一有理指数哥的化简与求值三、专题训练:计算下列各式(3)”-7)0+84 21(2)41a3 8a3b+ (1

6、 222a3 23 ab 4b3自主解答（i）原式=（2）1-3x1 +32x1124( 2百i*3万)6-= 2 + 4X27= 110.(2)3 32 12_3 _25b15-10 = a411令 a3 = m, b3 = n, m4 8mn2n则原式=R+2mn+ 4n2+(1一三)/_ HI Iff- 8n3m2m2+2mn+ 4n2 mi 2nm3 IH- 2nm2 + 2mn+ 4n23=肝+2mn+ 4n2=m=a变式训练：计算下列各式441(8)-；-(-8)0+( -2)3 3+16 3+|一焉产1125，(2) a27a- + V3aa3;21G3)( 33) 3+七)2

7、-10(V5-2) +(/2-V3)0.一一，、2 1431解：(1)原式=(二)-1+(-2) +2 + 51051 11 _ 1432 1+ 16+8+ 10= 80 .完美DOC格式93(2)原式=a6a_6 = a6a a9 7 3 13+6-6T = a0=1.7 13a 6a百221(3)原式=(1)3X(33)3+(上)28500101+ 152= (27)3 +(500) 2 10(那+2) + 14=-+ 10木10/5-20+19167考点二指数函数的引象* "画出函数y=|3x 1的图象，并利用图象回答: 1| =k无解？有一解？有两解？方程|3x 自主解答函数

8、y=|3x 1的图象是T由函数y = 3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示.当k<0时，直线y=k与函数y=|3x 1的图象无交点，即方程无解；当 k=0或k>1时，直线y=k与 函数y=|3x 1的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线y=k与函数y=|3x 1的图象有两个不同交点，所以方程有两解.思考:保持条件不变，讨论函数y = |3x 1的单调性.解：由例2所作图象可知，函数y=|3x1|在0 ,+8)上为增函数，在(8, 0)上为减函数.变式训练:已知函数yig)"113(1

9、)作出函数的图象(简图)；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值.解：(1)法一：由函数解析式可得/ 1 |x +1| y=(3)1 x+1, x>-133 1, x<-1.其图象由两部分组成：1向左平移 1、一 AT -1 X1 x+ 1一部分te： y = (3) (x >0) 1 个单位 y= (3) (x>D；X向左平移X+1另一部分是：y = 3 (x < 0) 1个单位 y = 3 (x < 1) .如图所示:一1法二：由y = (1)1x1可知函数是偶函数，其图象关于3y轴对称，故先作出 y=(；)x的图象

10、，保留x>O3的部分，当x<0时，其图象是将y = (!) x(x >0)图象关于y轴对折，从而得出 y=(；)冈的图象.33将y = (1)1x1向左移动1个单位，即可得y=(1)1x+11的图象，如图所示. 33(2)由图象知函数在(一8, 1上是增函数，在 1, +8)上是减函数.Rm(3)由图象知当x= 1时，有最大值1,无最小值.考点三指数函数的性质已知函数 f(x) = z 1 xax24x3.(3)若a= 1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;若f(x)的值域是(0, +8),求a的取值范围.自主解答(1)当 a= 1 时，f(x)=(

11、1)x2Txy, 3令 g(x) = x 4x+ 3,由于g(x)在(°°, 2)上单调递增，在(一2, + 00)上单调递减，一 1 ,而y = (.)t在R上单倜递减， 3所以f(x)在(°°, 2)上单调递减，在(一2, + 00)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(一2, +°°),递减区间是(一8, 2).(2)令h(x) =ax2-4x+3, y=(1)h(x),由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值一1,因此必有 3a>0112a16,解得 a= 1即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函

12、数的性质知，要使 y=(1)h(x)的值域为(0, +8).应使h(x) =ax2-4x+3的值域为R,因此 3只能有a=0.因为若aw0,则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a的取值范围是a=0.变式训练： 已知g(x) =- (1)x+4(2)x+5,求该函数的定义域、值域和单调区间.1 x 1 x1 2x 1 x斛：由 g(x) =(4) +4(2) +5=(2) +4(2) +5. .1 v，函数的定义域为R,令t = (2)x(t>0).g(t) =- t2+4t +5=- (t -2)2+9.,- t>0 , g(t) =- (t -2)2 + 9<9,等号

13、成立条件是t=2,1 x即g(x) <9,等3成立条件是 (2) =2,即 x = - 1.1. g(x)的值域是(8, 9.由 g(t) =-(t -2)2+9(t>0),.1 一而t = (2)是减函数，要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间.求g(x)的减区间实际上是求 g(t)g(t)在(0,2上递增，在2 , +8)上递减，由 0<t =(；)&2,可得 x>- 1 ,由 t =(2)、>2,可得 x<- 1.1' g(x)在- 1 , 十°° )上递减，在(oo, - 1上递增.故g(X)的单调递增区间

14、是(8, 1,单调递减区间是1, +°°).考点四对数式的化简与求值【例 4】计算：lg5(lg8 +lg1 000) +(lg2 3)2+lg：+lg0.06 ；(2)化简:4/27210g210厂 2 -log72log 3-i3- log 51 4/-(3 V 3)3 - 7；x.,(3)已知：lgx +lgy =2lg(2x 3y),求一的值.1Og3 y2自主解答(1)原式=lg5(3lg 2 +3)+3(lg 2) 2-lg 6 + Ig 6 -2= 3lg 5 - Ig 2 + 3lg 5 +3(lg 2) 2-2= 3lg 2(lg 5+lg 2) +(3l

15、g 5) -2= 3(lg 2 +lg 5) -2=1.(2)原式=(log 34/27-1) - log 5(10 -3-2)=(L)l0g 55=-4.(3) - lgx +lgy = 2lg(2x -3y)1, xy = (2x 3y) 2= 4x2+ 9y2 12xy即 4x2-13xy+9y2=0 . (4x 9y)(x y)=0,即 4x = 9y, x = y(舍去)，xlog/291Og3 4=2.2变式训练:计算：(1)(log32 + log 92) (log 43+log 83);1(2) 5(lg32 +log416 + 6lg11 12) + 51g 5.解：(1)原

16、式=(log 32 + 1log 32)( 110g 23+ 110g 23) 223=(log 32+ log 3 2)(1og 2 3+ log 2 3)一一.一3 _、=log 32斓 log 2(艰, -J3)35=log 3 22 log 2 36355=2 , log 32 6 Tog 23 = 4.(2)原式=1lg32 +2+lg( ；)6+lg 1 52511111= 52+lg(32x6?x 1:那 + 巧用= 5"T)=5.考点五对数值的大小比较【例5】比较下列各组数的大小.(1)log 32 与 10g 56； 35(2)log 1.10.7 与 log 1.

17、20.7 ;(3)已知logib<log尸10gle比较2b,2a,2c的大小关系.自主解答(1) log 3|<log 31 = 0,而 log 56>log 51 =0, 35log 32<log 56. 35(2)法一： 0<0.7<1,1.1<1.21. 0>log 0.7 1.1>log 0.7 1.2.-<, log 0.7 1.1 log 0.7 1.2由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.专业整理分享法二：作出y=log1.1x与y = log1.2x的图象，如图所示，两图象与 x= 0.7相

18、交可知 log1.10.7<log1.20.7.(3) - y= og x为减函数，2b< a< c,logi log logi222b>a>c.而y = 2x是增函数，2b>2a>2c.变式训练:设a、b、c均为正数，且 2a= .a,logi2J、b(2) =1 cb, (-) =log 2c,则(logi 22A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<b D . b<a<c解析：如图：考点六对数函数图象与性质的应用【例6】已知f(x) = log ax(a>0且aw1),如果对于任意的xC

19、：, 2都有|f(x)| <1成立，试求a的取3自王解答.f(x) =logax,则y=|f(x)|的图象如右图.由图示，要使 xC1, 2时恒有|f(x)| <1,只需|f( 1)| <1,即一iwiog a 1 333<1,即 log aa 1 V log alog aa, 3亦当a>1时，得a 1< 1<a,即a>3; 3当 0<a<1 时，得 a 1 >->a,得 0<aw ；. 33综上所述，a的取值范围是(0 , 1 U 3 , +8). 3变式训练： (2010 山东潍坊二模)已知函数f(x) =log

20、2(x +1),将y=f(x)的图象向左平移 1个单位，再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=g(x)的图象.(1)求g(x)的定义域；(2)令 F(x) =f(x -1) -g(x),求 F(x)的最大值.向左平移1个单位纵坐标伸长解：(1)f(x)=log2(x + 1) > y = log 乂x +2)到原来的 2倍y=2log2(x + 2),即 g(x) = 2log 2(x +2) , x+2>0. ' x> 2.定义域为(2, 十°°).(2) F(x) =f(x 1) g(x) = log 2x 2log

21、 2(x + 2)xx二10g 2 X+2 2(x>0) = 10g 2x2+4x+41 1 c=log 24 w log 为=3,x + x+ 4当 x=2 时，F(x) max= 3.考点七完美DOC格式与对数函数有关的综合问题【例71 (2011 成都模拟)设岖)=|八_二x为奇函数，a<0.logi x12 求a的值;(2)若对于区间3,4上的每一个 1 V x的值，不等式f(x)>( 2)+ m恒成立，求头数 m的取值氾围.自主解答(1) r -x) =- f(x),1 + ax1 axx 1logi 10gl。log1 E2221 + ax-x- 1x- 11 a

22、x即(1 + ax)(1ax) = (x + 1)(x -1),a = - 1 或 a= 1(舍去).(1 +2-),、 x-12, 一，x+1(2)由(1)可知 f(x) = .-7= 1c-log1x1 log.22 f(x)>( ：x+m恒成立，x 3,4,3 m<f(x) -(2)x, xC 3,4.人1 x21 x 令 g(x) =f(x) -(2) = |og (1 +xn)-(2)，xC 3,4.2g(x)在3,4上为增函数,21 x.函数f(x) =.(1 +-)与y=(：)在x 3,4上均为增函数,log1 x1 22g(x) min = g(3) =-9,m&l

23、t;- 9.88思考： 若f(x)的值域为1 , +8 ),求x的取值范围.解：由例题知，x+ 1f(x) = '；log1x12又 f(x)的值域为1 , +°0)专业整理分享x+1 1:0VrW xx 1 2 3 w x< 1.即x的取值范围为3, 1).变式训练：已知函数y=loga2(x2 - 2ax- 3)在(一°°, 2)上是增函数，求 a的取值范围.解：因为(x) = x3. (2010 全国卷 I )设 a=log 32, b= ln2 , c= 5,贝(J ()A. avbvcB. bvcva C. cvavbD. cvbva -

24、2ax - 3在(一00, a上是减函数,在a , 十°°)上是增函数，要使 y= log a2(x2 2ax 3)在(°°, 2)上是增函数,首先必有0<a2<1,即 0<a<1 或1<a<0,且有 “1.综上，得 y a<0或0<a<1. 4五、巩固练习:、选择题1. (2011济南模拟a< bf(x) =1? 2x的图象大致为(解析：由a? b= «a>b得 f (x) =1?,则函数2- x2 = *WO“0 ,完美DOC格式答案：A2. (2010辽宁高考)设 2a=5

25、b= m-11且一十 1 = 2,则 m=(a bA. , 10B.10C. 20D.100解析：a = log 2nl b= log 5nl 代入已知得 log m2+ log n5 = 2, 即 log m10 = 2,所以 m= yT0.答案：AIn 2i 11斛析：a = log 32 = -< In 2 = b,又 c= 5-2 = =<-,In 35 24 .若函数f (x) = log a(x+ b)的大致图象如图所示，其中1 ,a= log 32 > log 3 = 2，因此 cvavb.a, b(a>0且awl)为常数，贝U函数 g(x) = ax+

26、b的大致图象是()解析：由图可知，函数 f (x) = log a(x+b)是单调递减函数，所以 0<a<1,又因为f (x) = log a(x+b)的 图象与x轴的交点的横坐标在(0,1)内，所以0<b<1,根据上述参数 a, b的特点，函数g(x)=ax+b的图 象大致如B项所示.答案：B5 . (2011 石家庄模拟)已知函数f(x) = log 2(a-2x)+x-2,若f(x)=0有解，则实数 a的取值范围 是()A. (8, 4 U 4 , +oo)B. 1 , +OO)C. 2 , +8)D. 4 , +oo).一一 一一V.一V 2-V V 4,V解析

27、：法一：f(x) = log2(a 2)+x 2=0,得 a 2=2 ,即 a2=爱，令 t=2(t >0),则 t2 at + 4 = 0 在 t e (0 , + 8)上有解，令g( t) = t2 - at + 4, g(0) = 4>0,故满足声, = a2-16>0,得 a>4.、，x一x jx 4法一：f(x)=log2(a2)+x2=0,得 a 2=2 , a=2+2x>4.二、填空题231 .6 . 273 2log2 Xlog 2g+2lg( 3+V5 +V3-V5)的结果为 .解析：原式=9-3X(- 3) +lg( 3 + 75 +3-V5)

28、2=18+lg 10 =19.答案：197 .函数y=ax(a>0,且a*1)在1,2上的最大值比最小值大 看 则a的值是.2 a 一 3 . v .解析：当a>1时，y= a在1,2上单倜递增，故 a a=2,得a=2.当0<a<1时，y=a在1,2上单 2 a 一 1 .13倜递减，故 a a = 2，得 a=2.故a = 2或2.8 .若曲线|y| =2x+1与直线y=b没有公共点，则 b的取值范围是 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.曲线|y|=2x + 1与直线y=b的图象如图所示，由图象可得：如果|y| =2x+1与直线y

29、=b没有公共点, 则b应满足的条件是bC1,1.答案：1,1三、解答题9 .已知函数 f(x)=3x, f(a+2) = 18, g(x)=X Tax4x 的定义域为0,1.(1)求a的值；(2)若函数g(x)在区间0,1上是单调递减函数，求实数 入的取值范围.解：法一：(1)由已知得 3a+2= 18? 3a=2? a=log 32.(2)此时 g(x)=入- 2x-4x,设 0W x1<x2< 1,因为g( x)在区间0,1上是单调减函数，所以 g( x1) g(x2) = (2 x12x2)(入一2x2 2x1)>0 恒成立，即 入 <2x2+2x1 恒成立.由于

30、 2x2+2xi>2° + 2O=2,所以实数人的取值范围是入W2.10 . (1)已知 log a2= m log a3 = n,求 a2江n 的值；一 一一 x y,、 仅(2)已知 2lg = lg x + lg y,求、Jy的值.解：(1)由 loga2=m loga3=n得am= 2, an= 3,. a2日 n=a2m. an = 22X3=12._, - x-y 2(2)由已知得 lg( -2上)=lg( xy),x-y 7门口 2 c ,2c. .(-) =xy,即 x6xy + y=0,(-)26 > + 1 = 0, y y- x = 3±2

31、 也 yx-y>0,IX>0, y>0,x . x y>1,从而厂3+2也,X=1+w.六、拓展训练：1、(2010 安徽高考儿 3 22 -2 -)设2=(3)5, b=(2)5, c=(f)5,则 a, b, c 的大小关系是()555A. a>c>bB. a>b>cC. c>a>bD. b>c>a规范解答构造指数函数y=(2)X(x £ R),由该函数在定义域内单调递减可得bvc;又y=(|)X(x R)553 x,3X2X, R_2O -与 y = (5) (X e R)N 间有如下结论：当 x>0

32、 时，有(5) >(5),故(3)5>(_)5 ,，a>c,故 a>c>b.552、(2010天津高考)设函数f(x)log 2 X，log 1 ( - X ),2x,0,若汽a),则实数a的取值范围x 二 0.是()A. ( 1,0)U (0,1)(8, 1)u (1,+°0)C. ( -1,0)规范解答+ 0°)由题意可得.(8, 1) U(0,1)a 0log2 a或a 010g1a logi(-a) log2a，2.2解之得a>1或1<a<0.七、反思总结:专业整理分享当堂过手训练(快练五分钟，稳准建奇功！)1 . (2011 桐乡模拟)函数y = ax+2012 + 2012(a>0 , awl)的图象恒过定点 解析：令 x+2012=0,则 x= 2012,此时 y=a0+2012= 1 + 2012= 2013，恒过定点(-2012,2013).答案：(2012,2013)2 .若 a>0, aw1, x>y>0, n C N,则下列