研究性学习函数y=ax+b／x探究白昭昭

1、班 级：高一（三）班指导教师：贾济元 课题负责人：白昭昭关于y=ax+b/x性质的研究报告一，课题背景初中我们已经开始接触和学习了一系列函数，老师也教给我们 研究函数的方法，而我们却未亲自动手研究总结函数的性质，今天 我们也亲自动手研究函数的性质。基于新课改的背景下，我组决定 在老师指导和小组同学们的合作下，展开对函数 y=ax+b/x的性质 及在数学中和现实生活中的应用等问题的探讨。二，课题意义及目的通过此次研究性学习，我们不仅可以锻炼我们的动手能力和实践 能力，改变以往 老师讲课，学生听课”的模式，使我们能通过自己 的努力发现知识，获取知识，也使得我们的学习态度学习方法有一 定的适当的改变

2、.这对于我们的分析能力、学习能力，判断能力以及 团队协作能力都是一种很好的锻炼和提升。以及掌握函数性质的探 究角度和研究方法，为我们以后的学习积累经验和奠定基础。三，课题研究方法及目标小组合作，探究法，文献法，数据分析法，网络调查法。通过取一系列自变量的值画出函数图像，得出：此函数的定义域， 值域，单调区间和单调性，奇偶性，此函数的应用。四，课题研究过程步骤当 a=0,b=0时函数y=ax+b/x即为X轴当 a=0,b# 0时函数y=ax+b/x即为双曲线当 a# 0, b=0 时函数y=ax+b/x即为直线以上上三种已学过，不做研究重点：当a#0, b#0时；函数y=ax b,此类函数称对号

3、函数(对勾函数)，又叫耐克函数。 x1.a >0, b>0时;当a=1, b=1,即：函数为y=x+ xx-5-4.5-4-3-2-1.5-111.523y-5.214.72-4.251-3.33-2.5-2.17-222.172.5P 3.33由以上研究可知单调性：y=x+在-1,0), (0,1上分别单调递减；在(-8, -1), (1, +OO) x上分别单调递增；奇偶性：该函数为奇函数；定义域：(-8, 0) U (0,+8);值域：（-oo, -2U2, +OO最值：x<0,当 x 取-1 时，ymax =-2；当 x>0时，X 取1 时,ymin=2；当a=

4、2,b=1时，即：函数为y = 2x +1X-4-3-2-112345-8.25-6.33333-4.5-334.56.3333338.2510.2由以上研究可知:单 调性：y=2x+l 在 （-,0）, （0,匚）上分别单调递减，在x22（一叫一也），（色,+如上分别单调递增。 22奇偶性：该函数为奇函数定义域：（笛QU （0,十空）值域：（-242U2fZ 十g）最值：x<0,当 x=暂时，ymax=-2 V2 ；x>0,当 x=（时，ymin=2&当a=1,b=2时，即：函数为y = x+2 xx-5-4-3-2-1123y-5.4-4.5-3.67-3-3333.6

5、7由以上研究可知：单调性：y=x+2在（-行,0 ） , （ 0, 我 ）上分别单调递减 ，在 x（-,-72）,（ V2,收）上分别单调递增。奇偶性：该函数为奇函数定义域：（-二,0） （0, ,二）值域： （O0,-2.2 2一2,二）最值：x<0,当 x=- '2 时，ymax=-2 <2 ；x>0,当 x=J2 时，ymin=2<22.a<0, b<0时；当a=-1 , b=-1时,即：函数为y=-x- x-5-4-3-2-11235.204.253.332.502.00-2.0-2.5-3.33由以上研究可知1y = -x-在-1,0）,（

6、0,1上分别单调递增；在（-oo, -1） , （1, +oo）上分x别单调递减；该函数为奇函数；定义域：（-8, 0） U （0,+8）;值域：（-8, -2U2, +8）;最值：X<0时，当X取-1时，ymin =2；当X>0时，X取1时，ymaX=-2a=-2,b=-1日寸,即：函数为y=-2x- XX-5-4-3-2-1123y10.28.256.334.53-3-4.5-6.33由以上研究可知:单调性：y=-2x- 1在（”0）,（0，马 上分别单调递增，在（ x 222（红，代）上分别单调递减。 2奇偶性：该函数为奇函数定义域：（-二,0） （0, 二）值域：（-,-2

7、,2 2.2,二）最值：X<0,当 x=-噂时，ymin=2J2 ；X>0,当乂=学时，ymax=-2 V 2a=-1,b=-2时，即：函数为y=-x- 2XX-5-4-3-2-1123y5.44.53.6733-3-3-3.67由以上研究可知：单调性：y=-x- 2在（-叵0） , （ 0, ”）上分别单调递增；在 x（-00,-72 ） , （ m12,f）上分别单调递减。奇偶性：该函数为奇函数定义域：（*,0） U （0,收）值域：（-：,-2,2 2.2,二）最值：x<0,当 x=- V2 时，ymin=2V2 ；X<0,当 X=V2 时，ymax=-2 22

8、2.a>0,b<0当a=1, b=-1,即：函数为y=x-x-5-4-3-2-1123-4.80-3.75-2.67-1.50.00.01.52.67由以上研究可知1 ,f（x）=x-在（g,0）, （0,依）上分别单调递增； x该函数为奇函数；定义域：（-8, 0） U （0,+8）;值域：（-°°, +0°）;最值：无最值a=2,b=-1,即：函数为 y=2x-xx-5-4-3-2-1123y-9.8-7.75-5.67-3.5-113.55.67 1由以上研究可知1 .f（x ） = 2x 在（-°0,0）,（0,依）上分别单调递增；

9、x该函数为奇函数；定义域：（-8, 0） U （0,+s）;值域：（-°°, +0°）;最值：无最值a=1,b=-2,即：函数为y=x-xx-5-4-3-2-1123y-4.6-3.5-2.33-11-112.331由以上研究可知2 ,f（x ）=x -2在（*,0）,（0，收）上分别单调递增 ； x该函数为奇函数；定义域：（-8, 0） U （0,+8）;值域：（-°°, +0°）;最值：无最值3.a<0,b>0 a=-1,b=1,即：函数为 y=-x+ -x-5-4-3-2-11234.803.752.671.500.

10、000.00-1.50-2.67由以上研究可知1 ,f（x ）=-x+ 在（-00,0）,（0,收）上分别单倜递减； x该函数为奇函数；定义域：（-8, 0） U （0,+8）;值域：（-°°, +0°）;最值：无最值a=-2,b=1,即：函数为 y=-2x+ -xx-5-4-3-2-1123y9.87.755.673.51-1-3.5-5.66667由以上研究可知1 ,f(x)=2x+在(g,0),(0,y)上分别单调递减； x该函数为奇函数；定义域：(-8, 0) U (0,+s);值域：(-°°, +0°);最值：无最值a=-1

11、,b=2.即：函数为 y=-x+ -xx-5-4-3-2-1123y4.63.52.331-11-1-2.33由以上研究可知2 ,f(x )=-x+-在(-,0), (0,收)上分别单倜递减 ； x该函数为奇函数；定义域：(-8, 0) U (0,+8)；值域：(-°°, +°°)；最值：无最值五.课题结论y=ax+x/b性质总结a> 0, b >0人致图像定义域(-OO, 0) u ( 0,+°0)值域(-°0 - -2 a ab U 2 aab , + 00)单调性在、痴a,0), (0, Jba上分别单调递减；在(-

12、巴-闷,国防,十吧)上分别单调递增最值x < 0时,当 x二-b b/ a 日寸，ymax =-2 4 ab ;当 x>0时，x=q丽时，ymin=2<'ab ;a<0, b<0人致图像定义域(-OO, 0) U ( 0,+°0)值域(-OO, -2闹 U2Vab , +0°)单调性最值x <0时，当 x=- 'b/a 时，ymin =2 JOE ； 当 x>0时，x=7b/a 时，yma=-2 <'ab ；a>0, b<0人致图像定义域(-OO, 0) u ( 0,+°0)值域(

13、-OO, +OO)单调性在(-8, 0) , (0,+8)上分别单调递增最值无；a<0, b>0人致图像定义域(-OO, 0) u ( 0,+°0)值域(-OO, +OO)单调性在(-8, 0) , (0,+8)上分别单调递减最值无；六.生活应用1 .某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6t,每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费90沅。求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均 每天所支付的总费用最少？分析解答：设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意知，面 粉的保管等其他费用为 36x+6(x-1)+ +

14、6*2=6*1=9x (x+1)。设平均每天所支付的总费用为 y 元，则 y=1/x9x(x+1)+900+6*1800=900/x+9x+10809 禾用对号函数的性质可 知当x=10时，取得最小值10989.即该厂应每隔10天购买一次面粉， 才能使平均每天所支付的总费用最少。在解决该实际问题时，无非是建立对号函数模型，然后再利用函数 性质解决。2 .设 f(X)=x-1/x 对任意 x 1, +oo),f(mx)+mf(x)<0恒成立，m取值 为多少？分析解答：显然m 0,由于函数f(x)=x-1/x在x61, +°°)上是增函数。当 m> 0时,f(mx)

15、+mfx)=2mx- (1+nm) / (mR 是形如 f g =ax+b/x(a>0, b<0),在 x61, +°°)上递增，f(mx)+mfx)< 0 不恒成立，故 此，m> 0不成立。当 mx 0时，f（mx）+mfx）=2mx- （1+m2） / （mR 是形如 f （x） =ax+b/x （a<0, b>0）,在 x61, +°°）上递减，贝 U x=1 时，f（mx）+mf» 取最大 m-1/m,于是 f（mx）+mi（x）<0恒成立，也就是 f（mx）+m*x）在 x 6 1, +°°） 上的最大值小于0,就是满足 m-1/m<0和mK0,得出mK-1 , m的取 值范围则为（-°°, -1 ）.3 .经观测，某公路段在某时段内的车流量 y（千辆/小时）与汽车的平 均速度v （千米/小时）之间有函数关系：y=920v/v2+3v=1600 （v>0） 在该时段时，