高中的数学幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题目)

1、实用标准文案高中数学精英讲解【第一部分】知识复习哥函数、指数函数、对数函数精彩文档【第二部分】典例讲解 考点一：哥函数例1、比较大小15$与0.61呜0,严，融可与53工(4)0.18小与0.15必333,r于与L6何看作嘉函数尸尸在15与L6处的函数值，,I 3且1,5 <1,6,:.由藕函数单调性知；1人<1(2)丫。上与0/3可看作黑函数y=J咨°.强。7处的函数值，且L3>0, 0,60.7,二由事函数单调性知由祖戈。？ 322_2(3); 3.5%与5.可看作累函数在35与5.3处的施教值，_2_2且3.5<5.3,，由黑函数单调性知35专5.3专(

2、4) (M 8T3与0J 5"03可看作累函数y=xT在QJ8与0.1啾的函数值，且-013<0L aiSMli 嘘函数单调性知由上3g 1淤3例2、塞函数y = m , (m C N),且在(0, 十 °0)上是减函数，又 -,则m=A. 0B. 1C. 2D. 33的-5 <0,M2,幽已汹二01解析：函数在(0, 十°°)上是减函数，则有3又人-力=-0),故为偶函数，故m为1.例3、已知事函数f=为偶函数，且在区间 （。,必上是减函数.（1）求函数/（工）的解析式;吠力=-卜讨论次工） 的奇偶性.塞函数在区间（。,刊°）上是

3、减函数，：加。-2加-3<0,解得-1朋<3, .明eZ , 二。,2 .又加-3是偶数，：加二1,：，。）二1.港）二端“一凉,虱7）=江+辰.当仪H。且力M。时，倒。是非奇非偶函数；当a二。且6Ho时，伊是奇函数；当值二0且8=0时，砒1）是偶函数;当仪=0且6:0时，倒1）奇又是偶函数.例4、下面六个嘉函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系3I2（1） v = M y = R （3）y=/1（4）y = x （5）y = xW （6）y=x2匕(A), e (F) , (3)匕(E)， e (C) , (5) H (D) , (6) H (B).变式训练：1、下列

4、函数是嘉函数的是()A. y=2xB. y=2x 1C, y=(x +1)2D. y=¥2、下列说法正确的是（）A. y=x4是嘉函数，也是偶函数B. y= x3是嘉函数，也是减函数C. J二瓜是增函数，也是偶函数D. y=x0不是偶函数3、下列函数中，定义域为 R的是（）A. y=五B, y二工,44、函数了二"的图象是（）C. y= 1-1D. y=x5、下列函数中，不是偶函数的是（）2A. y= 3xR 322 B. y=3xC,2 D, y=x +x 16、若f（x）在 5, 5上是奇函数，且f(3)vf(1),则()A. f(1)vf(3) B, f(0)>

5、f(1)C. f( 1)vf(1) D, f(-3)>f(-5)7、若y=f（x）（I亡於）是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f（x）图象上的是（）A. (a, f(a)B. ( a, f(a) C ( a, f( a) D . (a, f( a )8、已知人卜丁，则下列正确的是（）A.奇函数，在 R上为增函数B.偶函数，在 R上为增函数C.奇函数，在R上为减函数D.偶函数，在 R上为减函数9、若函数f(x)=x2 + ax是偶函数，则实数a=()A.B. 1C. 0D. 110、已知f(x)为奇函数，定义域为依凡且IM。),又f(x)在区间 (Q则 上为增函数,且f( 1)=0,则

6、满足f(x)>0的X的取值范围是()A.B. (0, 1)c.(-叫-dU(L+°°) d. (-lq)uj喇11、若嘉函数J 11)的图象过点L,则/(9)二12、函数y=QT)2+ ©-力”的定义域是13、若5+ 1)4 2尸,则实数a的取值范围是2 4g14、了二#一"是偶函数，且在(°，和°)上是减函数，则整数a的值是DACAD ABACD229、/(-、) = (» +口(一才)二1 一以， 函数为偶函数，则有 f( x)=f(x),即x2 ax=x2十 ax,所以有a=0.10、-1时,奇函数在对称区间上有

7、相同的单调性，则有函数 f(x)在(一吗°)上单调递增，则当x< 时，f(x)<0,当一1<x<0 时，f(x)>0,又 f(1)= f(1)=0,故当 0Vx<1 时,f(x)<0,当 x>1 f(x)>0,则满足 f(x)>0的工£ (-L°)UQ+00).11、1、_ a 以二12、=(I-1) 4-(4 - x) = yjx-1 +114)解：,卜-1>0 4-x>0/代入J 二工得 2 ,1 113、1 解析：0+1)4 >(24一2)4 =1+1>2白一230 ,解得白

8、 .14、解：则有?-4tl-9<0 ,又为偶函数，代入验证可得整数 a的值是5.考点二：指数函数例1、若函数y=ax+m1(a>0)的图像在第一、三、四象限内，则()A.a>1B.a>1 且 m<0C.0<a<1 且 m>0D.0<a<1例2、若函数y=4x3 2x+3的值域为1,7，试确定x的取值范围. =例3、若关于x的方程5-。有负实数解，求实数a的取值范围./(x) =-例4、已知函数 10* +10虫.证明函数f(x)在其定义域内是增函数；(2)求函数f(x)的值域.例5、如果函数=4 +2。-1 (a>0,且aw)

9、在1, 1上的最大值是14,求a的值.例1、解析：y=ax的图像在第一、二象限内，欲使其图像在第一、三、四象限内，必须 将丫=3向下移动.而当0<a<1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、 三、四象限.只有当a>1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故 a>1 .又 图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时， 图像恰好经过原点和第一、三象限.欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故 m- 1<1, ： m<0故选B.答案：B 例2、分析：在函数y=4x3 2x + 3中，令t=2x,

10、则y=t 23t + 3是t的二次函数，由 1,7可以求得对应的t的范围，但t只能取正的部分.根据指数函数的单调性我们 可以求出x的取值范围.解答：令t=2x,则y=t23t+ 3,依题意有：'户-出+洱V虑1或扭2二一区尽1或弥忘4,但42">0,或204.x< 0 或 1<x<2,即 x 的范围是（一8, 0 u 1,2.小结：当遇到y=f（ax）类的函数时，用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理，再 结合指数函数的性质得到原问题的解.例3、分析：求参数的取值范围题，关键在于由题设条件得出关于参数的不等式.解答：因为方程有负实数根，即xv0,f

11、lY urr2a+3 1> 1,即> 1所以5-a解此不等式，所求a的取值范围是3 例4、分析：对于（1）,利用函数的单调性的定义去证明；对于 （2）,可用反解法求得函 数的值域.102j -1解答：（1）10 + 1 ,设 xivx2,则102i3 -12。心1 -1 -2)1/2 +1 。言13(/2 +)因为X1VX2,所以2xiv 2x2,所以,所以21 -1何<D0, 10次 +1 >0,所以 f(x i) f(x 2) V0,即 f(x i) vf(x 2)，故函数 f(x)在其定义域(°°, + 00）上是增函数.丈二呼=虫.乂设1俨+

12、i,则 i-y ,因为io2x> 0,所以"y ，解得一ivyv i,所以函数f（x）的值域为（一1 , 1）.例5、分析：考虑换元法，通过换元将函数化成简单形式来求值域.解：设t=ax>0,则y=t2 + 2t1,对称轴方程为t= 1.二间若 a>1, xC1, 1, ：t=axC 口 ,.当 t=a 时，ymax=a2+ 2a 1=14.若 0<a<1, xC 1, 1, t=a当/ "冷"鼻解得a=3或a= 5（舍去）.Q 解得 35 （舍去）.1;所求的a值为3或弓.变式训练：1、函数 幽二年7.在R上是减函数，则Q的取值范围

13、是（）A.，1B. I。卜2 C.。扬 d.2、2匚1函数人"行是（奇函数B.偶函数 C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数A.3、A.4、A.5、A.6、A.7、A.8、A.C.1y 函数2ff-l的值域是（）(-电1)B. (-8,0)1。，+°°)C. (T网 D.(7°,T)U(Q*°) 已知Q<a<-1,则函数 了二屋+）的图像必定不经过（）第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1函数y -7+6-2）。的定义域为（）b. m>2 c,八5 d.松函数/« =2-Jt-U<01，满足f（x）>1

14、的x的取值范围是（）(-11)B. (T网C.(Rj2)U(1+9)D.(-叫-1)0+可的单调递增区间是（）-B.（一电TC. 2网D. 22。2T已知-，则下列正确的是（）奇函数，在R上为增函数B.偶函数，在R上为增函数奇函数，在R上为减函数D.偶函数，在R上为减函数9、函数/二2一'"|""在区间5网上是增函数，则实数a的取值范围是()A &+何b. 3网C.(一电6D .(-'6)10、下列说法中，正确的是()任取x C R都有3' > 2' ；当a>1时，任取x C R者B有仪, >；"

15、(曲是增函数；y = 2”的最小值为i ；在同一坐标系中，2*与2 T的图象对称于y轴.A.B.C.D.11、若直线y=2a与函数y=|ax1|(a>0且awl的图象有两个公共点，则a的取值范围12、函数的定义域是13、不论a取怎样的大于零且不等于 1的实数，函数y=ax 2+1的图象恒过定点 14、函数y= Z 的递增区间是 .15、已知9x- 10 3x+9<0,求函数y=( 1广1 4(7)x+2的最大值和最小值.16、若关于x的方程25力+1| 4 5- 1| m=0有实根，求m的取值范围./(j) = a17、设a是实数，2、1 试证明对于a取任意实数，f(x)为增函数;

16、试确定a的值，使f(x)满足条件f(x) = f(x)恒成立.18、已知 f(x)=/+l (a>0 且。Hl).(1)求f(x)的定义域、值域.(2)讨论f(x)的奇偶性.(3)讨论f(x)的单调性.答案及提示：1-10 DADAD DDACB1、可得 0<a21<1,解得 1口|(也 .2T-1 1-2”2忆1= f =- _2、函数定义域为R且 27+1 1+2*2* + 1，故函数为奇函数2二巴>03、可得2x>0,则有 y ,解得y>0或y<1.4、通过图像即可判断5、二>1=16、由 L 0，由了 ' °,综合得 x

17、>1 或 x<- 1.7、即为函数丁 =+工+ 2的单调减区间，由-/ + 1+2。，可得-1W2 ,-X1 + x+2- -(x-)3 +,2,2又24,则函数在2 上为减函数，故所求区间为 28、函数定义域为R且= B = T，故函数为奇函数,24又,"三，函数'二？与"2”在R上都为增函数，故函数f(x)在R上为增_-2-l)<5=>X69、可得210、中当x=0时，两式相等，式也一样，式当 x增大，y减小，故为减函数.1 111、0<a< 2 提示：数形结合.由图象可知0v2av1, 0<a< 2 .(n (评

18、i-cQ_t_ 2 > 0-12、k 3) 提示：由2)得 2一3、>2,所以3x>1,3 .13、(2,2) 提示：当 x=2 时，y=a°+1=2.14、(一8, 1提示：: y=( 2 ),在(一0°, + 8)上是减函数，而函数 y=x22x+2=(x1)2+1的递减区间 是(一00, 1,：原函数的递增区间是(8, 1.15、解：由 9x10 3、+9<0 得(3x1)(3 x9)<0,解得 1<3x<9.11 1.0<x<2,令(2)x=t,贝4 <t <1 , y=4t2 4t + 2=4(t

19、2 )2+ 1.当 t= 2 即 x=1 时，ymin = 1；当 t=1 即 x=0 时，ymax=2.16、解法一：设y=5 11,则0vy<1,问题转化为方程y24y m=0在(0 , 1内有实根.设 f(y)=y 24y m,其对称轴 y=2, ：f(0) >0 且 f(1) <0,得3<m< 0.解法二：: m=y4y,其中 y=5 1x11C(0, 1, . m=(y2)24C 3, 0).2(2。2电)17、(2" +1)(2* +1)* <25”。犷0；扒乱)一/(功3即f(x 1)vf(x 2),所以对于a取任意实数，f(X)在(

20、8, +OO )上为增函数.2闲2a = g +(2)由 f(x)= f(x)得2+12*+1 ,解得 a=1,即当 a=1 时，f(x)=f(x).18、解：(1)定义域为R21/(I)= 1,，力+ >1a +122A0<-一<1口才+1/+1值域为(一1,1).f(x)为奇函数.设演，则询-)=胃)(")当a>1时，由为跖，得a”髀,:当a>1时，f(x)在R上为增函数.同理可判断当0<a<1时，f(x)在R上为减函数.考点三：对数函数/=1叫"+ 2+3)例1、求函数2的定义域和值域，并确定函数的单调区间.例 2、已知函数

21、f(x)=lg(ax 2+2x+1) (aC R).(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.-31ogi例3、已知 2224的最大值和最小值以及相应的x值.例 4、已知 f(x)=log a(ax1) (a>0, a.(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求函数y=f(2x)与y=11(x)的图象交点的横坐标.例 1 解：由一x2 + 2x + 3>0 ,得 x22x3V0, ： 1VxV3,定义域为(1,3);又令 g(x)= x2+2x+3=(x 1) 2+4, ,当 xC(1, 3)时，0

22、Vg(x)<4.log1 4. f(x) >= =-2 ,即函数 f(x)的值域为2, +8)；g(x)= (x 1)2 + 4 的对称轴为 x=1./(j)=logig(x):当一1vx<1时，g(x) 为增函数，：2为减函数.当1 <x< 3时，g(x)为减函数，：f(x)为增函数.即f(x)在(一1, 1上为减函数；在1,3 )上为增函数.例2、分析：令g(x)=ax 2+2x+1,由f(x)的定义域为R,故g(x) >0对任意xCR均成 立，问题转化为g(x) >0恒成立，求a的取值范围问题；若f(x)的值域为R,则g(x) 的值域为B必满足B

23、 (0, +8),通过对 a的讨论即可.解答：(1)令g(x)=ax 2+2x+1,因f(x)的定义域为 R : g(x) >0恒成立.:函数f(x)的定义域为R时，有a>1.(2)因f(x)的值域为 R 设g(x)=ax 2 + 2x+1的值域为B,则B2 (0,十8)若 av0,则 B= (00, 1 0力(0, +oo)；若 a=0,则 B=R 满足 B3 (0, +8).若 a > 0,贝! =4 4a> 0, a < 1.综上所述，当f(x)的值域为R时，有0<a<1.-3 £ log<一，例3、分析：题中条件2给出了后面函数

24、的自变量的取值范围，而根据广嗨颉g2上 .一对数的运算性质，可将函数24化成关于log 2x的二次函数，再根据二次函数在闭区间上的最值问题来求解.x X丁 y = log2-log2f =(lo§2 X- 1)(1咤2 I- 2)= (log22-31og2工+ 2令”1陶兀则因-3Wlogi#W-g 二 222即 t g, 3, y产- + 2. J- L224313.当才=5时，y百最小值-彳，此时由lo§2=- 3解答： '彳 h - - '' < '当t=3时，y有最大值2,此时，由log2x=3,得x=8.:当x=2 &

25、;时，y有最小值4.当x=8时，y有最大值2.例4、 分析：题设中既含有指数型的函数，也含有对数型的函数，在讨论定义域，讨论单调性时应注意对底数a进行讨论，而(3)中等价于求方程f(2x)=f1(x)的解.解答：(1) ax1>0 得 ax>1.:当a> 1时，函数f(x)的定义域为(0, +°0),当0vav1时，函数f(x)的定义域为(一汽 0).(2)令 g(x)=a x1,则当 a> 1 时，g(x)=a x1 在(0, 十°0)上是增函数.即对 0Vx1Vx2,有 0Vg(x1) V g(x2),而y=logax在(0, +8)上是增函数，

26、.log ag(x 1) < log ag(x 2),即 f(x 1) < f(x 2).:f(x)= loga(ax 1)在(0, +8)上是增函数；当0v av 1时，g(x)=a x 1在(8 ,0)上是减函数.即对 x1Vx2V0,有 g(x 1) >g(x2)>0.而y=logax在(0, 十°0)上是减函数，.log ag(x 1) < log ag(x 2),即 f(x 1) < f(x 2).:f(x) = log a(ax 1)在(8, 0)上是增函数.综上所述，f(x)在定义域上是增函数.(3) ; f(2x)= log a(a

27、2x1),令 y=f(x)= log a(ax1),WUax1=ay, : ax=ay+1, ： x= log a (a y+ 1)(y C R).:f 1(x)= log a (ax+1) (xC RR .由 f(2x)=f1(x),得 log a(a2x - 1)= log a(ax+1).:a 2x 1= ax + 1,即(ax)2ax2=0.;a x=2 或 ax= - 1 (舍).:x=log a2.即y=f(2x)与y= fT(x)的图象交点的横坐标为 x=loga2.变式训练：、选择题1、当a>1时，在同一坐标系中，函数 y=a-x与y=logax的图象是()2、将y=2x

28、的图象( 象.),再作关于直线y=x对称的图象，可得函数 y=log2(x + 1)和图A.先向左平行移动1个单位C.先向上平行移动1个单位B.先向右平行移动1个单位D.先向下平行移动1个单位y= gj(x-i)3、函数 V 2的定义域是()B.(2, + 2 C.( 8, 2)D. (1, 24、函数 y=lg(x 1) + 3 的反函数 f 1(x)=()A.10x+3+ 1B. 10x31C. 10x3 1D. 10x 3+ 1y = l 口 gi" - 3" 2）5、函数 5的递增区间是（）A. (8, 1) B. (2,+8) C. ( OO, 2) D. (2,

29、 +26、已知f(x)=|logax|,其中0<a<1,则下列各式中正确的是()D心小州B.D.A心心心A.4C网=1咖+1）-:7、2 是（）A.奇函数而非偶函数C.既是奇函数又是偶函数B .偶函数而非奇函数D.既非奇函数也非偶函数8、已知0<a<1,b>1,且ab>1,则下列不等式中正确的是（）111,1logi-<log(6<loga-A. :.1log<loga-<log-C.一 -11 110%旌log陞B. 口.1_ log6-<logfi-<logaD.- C9、函数f（x）的图象如图所示,则y=logo.2

30、f（x）的图象示意图为（）10、关于x的方程 a(a>0, aw),则()A.仅当a>1时有唯一解B.仅当0vav1时有唯一解C.必有唯一解D.必无解、填空题+ 41-12)11、函数 5的单调递增区间是 .了=(1骑一口g / + 512、函数 24 在2<x<范围内的最大值和最小值分别是以)一 213、若关于x的方程lg'Tg3至少有一个实数根，则 a的取值范围是 .汽力=蝇1，+ 2(成)匚/+ 114、已知2(a>0, b>0),求使f(x)v0的x的取值范围.15、设函数 f(x)=x 2 x + b,已知 10g2f=2 ,且 f(log

31、 2a尸b(a>0 且 aw 1,)(1)求a, b的值；试在f(1og 2x)>f(1)且log2f(x)<f(1)的条件下，求x的取值范围.16、已知函数f(x)=1og a(x 3a) (a>0且aw),当点P (x, y)是函数y=f(x)图象上的 点时，点Q (x 2a, y)是y=g(x)图象上的点.(1)写出y=g(x)的解析式；(2)若当xCa + 2, a+ 3时，恒有|f(x) g(x)|忍1试求a的取值范围答案及提示：1-10 DDDDA BBBCC1、当a>1时，y=log ax是单调递增函数,是单调递减函数，对照图象可知D正确.：应选D.

32、2、解法1:与函数y=log 2(x + 1)的图象关于直线y=x对称的曲线是反函数 y=2x- 1的图 象，为了得到它，只需将y=2x的图象向下平移1个单位.解法2:在同一坐标系内分别作出 y=2x与y=log 2(x + 1)的图象，直接观察，即可得 D.。T)3、由 2>0,得 0<x1<1, ： 1<x <2.5、应注意定义域为(8,1) U (2, +8),答案选 A.14 = 一6、不妨取2 ,可得选项B正确.7、由f( - x)=f(x)知f(x)为偶函数，答案为 B.8、故答案选B.上 ., log<loga- = -l log=由ab>

33、;1,知 ，故以 且8 b1 110、当 a>1 时，0v 2 v 1,当 0v av 1 时，2 >1 ,1 口町了作出丫=2、与y=a的图象知，两图象必有一个交点11、答案：( 8, 6)提示：x 2+4x 12>0 ,则 x >2 或 x < - 6.当 x V6 时，g(x)=x 2+4x12 是减函数，=10glgW2 在(00, 6)上是增函数logi X-2,-l12、答案：11 , 7:< 2 <x<4, :2则函数y = (1哨 x)2-logj x+5 = (log1x-1)2 + y222*4log x= -2log x= -1;当 2 时，y最大为11； 当 时，y最小为7.口且工m3413、答案：（8提示：原方程等价于0口,9京81819由得 3%) +了.当 x>0 时，9a& “即又 x w 3, ： a w2,但 a=2 时，有 x=6 或 x=3 (舍).：a < 4 .1哂庐+ 2(成户，+