黎曼积分与勒贝格积分地区别与联系

1、实用标准文案黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系数学系1302班第五组07 樊萌12 韩鸿林19 兰星21 李鸿燕45 王些51 武相伶54 许小亭57 杨莉69 赵志阳精彩文档黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系黎曼积分和勒贝格积分定义的比较i 、黎曼积分定义：设f(x)在Kb】上有界，对a,b】做分割，T =Q =x0 c %<<Xn =b,其中令.nM i =supf (x ,x w Axi ), mi = inf f (x )x w Axi , Axi = xi中一 x , s = £ mi (xi - x)i 1 nS =E M i (xi -xi_L )若有 i 4b

2、bSdx = J sdxaa则称f(x堆a,b】上黎曼可积.2、勒贝格积分定义：，V6 >0, #m = yo <,y1<y。=M ,其中 yi -yi<6 , M , m分别为 f(x)在 E上的上.n界和下界，令Ei =yiE f(x)WyiL (i =1,2,门)若烈£ yimEi存在，则f(x)勒贝格可积.3、一般的可测函数的积分定义为：设在可测集E上可测，若记f +(x )= max。(x )。,f 飞x )=min f (x )0,则有 f (x )= f +(x )- f 飞x ),若 J f +(x Jdx , J f _(x Jdx 不同时为

3、。0 , EE则f (x应E上的积分确定且fxdx= f x dx - f - x dx.EEE4、简单函数的勒贝格积分定义：设f(x)是可测集E上的非负简单函数，于是有对E的n划分Ei , i =1,2n, f(x)在Ei上的取值为ci ,则f(x)=£ ci "i ,定义f(x)的勒贝格积分i 1n为f (x dm =工cimEi,若f (x dm <°° ,则称f (x )在E上勒贝格可积.Ei 1E5、非负可测函数的勒贝格积分定义：取E上的非负简单函数列fn(x)，对任意的x W E , fn (x都收敛于f (x )，则f (x)在E上勒

4、贝格可积其积分为lim fn x dm = f x dm.n >：=EE对一般的函数由于f(x )= f +(x )_ f -(x),则f x dm -f - x dm = f x dm .EEE若左端的两个积分值都有限时，称f (x )在E上勒贝格可积.勒贝格积分是对黎曼积分的推广，所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积，但勒贝格可 积的函数不一定黎曼可积.黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较黎曼可积的条件黎曼可积的条件必要条件定义在a,b】上的f仅)黎曼可积的必要条件是f(x六a,b】上有界.注任何黎曼可积白函数必有界，但有界函数不一定黎曼可积.黎曼可积的充分必要条件1、设f(x)是定义在a

5、,b】上的有界函数，则f(x)黎曼可积的充分必要条件为f(x)在a,b】上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设f(x除a,b】上有界，T =a = x0 <x1<xn =b为对Q,b】的任一分割，其中令nM i =supf (x ,x w 以上 mi = inf " (x )x w Axi ),乐=%+ - x , s =Z mi (xi - xi,),i dnS =£ M i (xi -xi. ), i =1,2,n 有i 1bbSdx = ' sdx.aa2、设f(x)是定义在Q,b】上的有界函数，则f(x)黎曼可积的充分必要条件为>0,总存在某一

6、分割T,使得n“ Wi. ：Xi :： Wi Mi - mi . i 13、设f(x )是定义在b,b】上的有界函数，则f(x)黎曼可积的充分必要条件为 N>0, 总存在某一分割T,使得SfT )-s(T成立.4、定义在a,b上的函数f (x )黎曼可积的充分必要条件为f(x)在Lb】上的一切间断 点构成一个零测度集.注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的.勒贝格可积条件1、设f(x)是定义在可测集E上的有界函数，则f(x)在E上勒贝格可积的充要条件为V。A0,总存在E的某一分割D ,使得'、'WimEi ：二2、设f(x)是定义在可测集E上的有界函数，则f(x)在E上

7、勒贝格可积的充要条件为f (x而E上勒贝格可测.3、设f(x)在口力上的黎曼反常积分存在，则f(x)在G,b】上勒贝格可积的充要条件为”x)在a,。上的黎曼反常积分存在，且有b f x dm = f x dx. a，b Ia4、设fn(x)为E上的可测函数列，fn(x)在E上的极限函数几乎处处存在，且f| fn(x dx <M，则f(x )在E上勒贝格可积.E5、设f仅)是是定义在可测集E上的连续函数，则f (x )在E上勒贝格可积的充要条件为f(x )在E上勒贝格可测.黎曼积分与勒贝格积分的性质比较黎曼积分的性质1、(线性性)若f(x), g(x)是定义在a,b上黎曼可积函数，则f(x

8、)+g(x), f(x)-g(x), f(xg(x )也在 a,b】上黎曼可积. bbbbbb注 Jf(x)+g(x(x= f(xdx+ jg(xdx,但g(x)f(x)dx# f f(xdxfg(xdx. aaaaaa2、(区域可加性)设有界函数 f(x)在b,c, C,b上都黎曼可积，则f(x)在Kb】上也 黎曼可积，且有bcbf x dx = f x dx f x dx.aac3、(单调性)若f(x), g(x限定义在a,b】上黎曼可积，且f (x)E g(x ),则bbf xdx m g x dx. aa4、(可积必绝对可积)若 包乂)在匕力上黎曼可积，则|f(x)在kb】上也黎曼可积

9、，且 bb有f (x dx < j| f (xjdx.aa注其逆命题不成立.5、若f(x )在a,b】上黎曼可积，则在B,b的任意内闭子区间kb】上也黎曼可积.且其积分值不会超过在 k, b】上的积分值.16、若f(x)是b,b】上非负且连续的函数，若有jf(xdx=0,则f(x )在G,b】上恒等于0零.7、若f (x ) , g(x )是a,b】上的黎曼可积函数，则M= maxf (x ) g(x, m = min f(x)g(x»在Q,b】上也黎曼可积.8、若“x)在a,b】上黎曼可积，,在ax上有定义且有界，则,也在1力】上黎 f xf x曼可积.勒贝格积分的性质n1、

10、(有限可加性)设f(x)是有界可测集E上的可积函数，E=U Ek, Ek等均可测且 kJ两两互不相交,则有f x dx = f xdx f x dx， f x dx .EEiE2日2、对于给定的可测函数f(x), f(x)与f(x,的可积性相同且f (x dx < f f (x dx .EE3、(单调性)若f(x), g(x)在E上勒贝格可积，且f(x)Eg(x )几乎处处成立，则f xdx < g xdx .EE4、f(x )是E上的非负可积函数，则f(x)在E上是几乎处处有限的.5、f (x )是E上的非负可测函数，若f (x )在E上几乎处处等于0,则f (x dx = 0.

11、 E6、(零测集上的积分)若mE = 0,则Jf仅dx = 0.E7、f(x )是E上的勒贝格可积函数，f(x心0在E上几乎处处成立，则Jf (xdx > 0. E8、设f(x )在E上可测，若存在非负函数g(x X可测集E上勒贝格可积,|f(xj)<g(x)几乎处处成立，则f (x)在可测集E上勒贝格可积.9、f仅城可测集E上勒贝格可积，A是E的可测子集，则f(x)在A上也勒贝格可积.且其积分值不会超过在E上的积分值.10、设f(x )在E上可测，则 用(x dx = 0的充要条件是f (x )= 0在E上几乎处处成 E立.11、设f(x), g(x )均在E上勒贝格可积,则M

12、=maxf(x)g(x», m = min (f (x)g(x»也在E上勒贝格可积.12、若f (x )与g(x )在E上几乎处处相等，则g(x也可积，且f xdx = g xdx .EE13、设f(x)在可测集E上勒贝格可积函数，则其不定积分是绝对连续函数14、设f(x )为可测集E上勒贝格可积函数，则存在绝对连续的函数g(x)，使得g(x)导 函数在E上几乎处处等于f (x ).黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较与黎曼积分相关的定理L若函数列 二缶梃区间I上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数f(x)也在I 上连续.2 .(可积性)若函数列fn(x用区间I上一致收敛，

13、且每一项都连续,bblim fn x dx = lim fn x dx .'n )：n j二二aa3 .(可微性)设 储伊)为定义在b,b】上的函数列，若xo Lb为fn(x)的收敛点，且 fn(x羽每一项在a,b】上都有连续的导数，f；(x/a,b】上一致收敛，则lim fn x = lim fn x .dx nn-: dx4.有界收敛定理设fn(x限定义在a,b】上的黎曼可积函数. fn x _ M n =1,2 ,x a,bl .f(x )是定义在B,b】上的黎曼可积函数.且lim fn(x)= f(x).则有 n )“m_ fn x dx = f xdx.aa与勒贝格积分相关的定理1 .(勒维定理)设可测集E上的可测函数列fn(x嗣足如下条件：0 4 fl仅f2(xA，lim fn(x)= f (x ),则fn (x )的积分序列收敛于f(x)的积分f x dx = limJ 二二f n x dx .E2 .(勒贝格控制收敛定理)设可测集 E上的可测函数列fn(x蹒足如下条件： fn (x 酌极限存在，lim fn(x)= f(x). n 1存在可积函数g(x )使得fn(x) w g(x ,(xw E r,nw N )那么f (x)可积，有f xd