第二章 数据模型

1、第二章 数学模型一、控制系统的运动微分方程二、非线性数学模型的线性化三、拉氏变换和拉氏反变换四、传递函数五、系统方框图和信号流图六、控制系统传递函数推导举例七、小结、数学模型的基本概念第二章 数学模型、数学模型的基本概念l 数学模型数学模型 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。 第二章 数学模型l 数学模型的形式数学模型的形式 时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差 分

2、方程、状态方程 复数域：传递函数、系统框图、系统信号流 图 频率域：频率特性 第二章 数学模型l 建立数学模型的方法建立数学模型的方法 解析法 实验法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。第二章 数学模型一、控制系统的运动微分方程l 建立数学模型的一般步骤建立数学模型的一般步骤 分析系统工作原理和信号

3、传递变换的过程， 确定系统和各元件的输入、输出量； 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依 据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各 元件、部件的动态微分方程； 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列。第二章 数学模型l 控制系统微分方程的列写控制系统微分方程的列写 机械系统第二章 数学模型机械平移系统机械旋转系统任何机械系统的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。机械平移系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素： 质量mfm(t)参考点x (t)v (t)22( )( )( )mddftmamv tm

4、x tdtdt第二章 数学模型q 机械平移系统 弹簧第二章 数学模型KfK(t)x1(t)x2(t)12( )( )( )( )KftK x tx tKx t 阻尼C第二章 数学模型fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)1212( )( )( )( )( )( )CftC v tv tdx tdx tCdtdtdx tCdt)()()()()()()()(22txdtdCtftKxtftxdtdmtftftfoCoKoKCixo(t)mfi(t)KC0静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响第二章 数学模型mfi(t)xo(t)0fK(t)fC(t)质量-弹簧-阻尼系统例：)(

5、)()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。第二章 数学模型显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。 当m很小可忽略不计时：xo(t)0fi(t)KC弹簧-阻尼系统系统运动方程为一阶常系数微分方程。 )()()(tftKxtxdtdCioo)()()(tftftfKCi第二章 数学模型q 机械旋转系统第二章 数学模型可简化为转动惯量J、扭转弹簧K和旋转阻尼C三个要素。 22JKCdtTJdt

6、TKtdtTCdt22( )( )( )( )( )( )mkcd x tftmdtf tkx tdx tf tcdtKi(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液体齿轮JJ 旋转体转动惯量；K 扭转刚度系数；C 粘性阻尼系数柔性轴第二章 数学模型)()()()()()()()(22tTtTtdtdJtdtdCtTttKtTCKooCoiK)()()()(22tKtKtdtdCtdtdJiooo第二章 数学模型 电气系统 电阻)()(tRitu电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。Ri(t)u(t)第二章 数学模型 电容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t) 电感dttdiLtu)(

7、)(Li(t)u(t)第二章 数学模型dttiCtudttiCtidtdLtRituoi)(1)()(1)()()(q R-L-C无源电路网络第二章 数学模型LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C无源电路网络一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo第二章 数学模型)()(0)(21titituaq 有源电网络+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)adttduCRtuoi)()()()(tudttduRCio即：第二章 数学模型 小结 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模 型，从而可以抛开系统的物理属性，

8、用同一 方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方 法） 。 从动态性能看，在相同形式的输入作用下， 数学模型相同而物理本质不同的系统其输出 响应相似。相似系统是控制理论中进行实验 模拟的基础。 第二章 数学模型 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等 于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性 质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容 等）的个数；因为系统每增加一个独立储能 元，其内部就多一层能量（信息）的交换。 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决 于系统的结构及其参数。 第二章 数学模型 线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。线性微分方程：若微分方程中，无论是因变量或者是它的导数，都

9、不高于一次方，并且没有一项是因变量与其导数之积。q 线性系统第二章 数学模型 22222222222222345325sin5sintd ydyye tdtdtd ydytt yedtdtd ydyyytdtdtduuutdtd ydytt yAtdtdt线性系统满足叠加原理，即：)()()(2121xfxfxxf 可加性：)()(xfxf 齐次性：)()()(2121xfxfxxf或：第二章 数学模型如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统。用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。q 非线性系统自然界中并不存在真正的线性系统，而所谓

10、的线性系统，也只是在一定的工作范围内保持其线性关系。实际上，所有元件和系统在不同程度上，均具有非线性的性质。 第二章 数学模型 非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻 尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合系统由 于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有 铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。 第二章 数学模型 液体系统节流阀节流阀qi(t)qo(t)H(t)液位系统设液体不可压缩，通过节流阀的液流是湍流。 )()()()()(tHtqtqtqdttdHAooiA：箱体截面积；第二章 数学模型：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决定的系数，通流面积不变时，为常数。)()()(tqtHtHdtdAi上式

11、为非线性微分方程，即此液位控制系统为非线性系统。 第二章 数学模型对于包含非线性函数关系的系统来说，非线性数学模型的建立和求解过程非常复杂。为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。 第二章 数学模型l 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系 统工作范围，将非线性微分方程近似为线性 微分方程进行处理。 滑动线性化切线法 非线性关系线性化0 xy=f(x)y0 x0 xyyA线性化增量方程为：y y =xtg第二章 数学模型该种近似对大多数控制系统来说都是可行的。 泰勒级数展开法 非线性函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）

12、附近的泰勒级数展开式为： 0002323002300( )( )()()1( )1( ) ()().2!3!df xyf xf xxxdxxxd f xd f xxxxxdxdxxxxx第二章 数学模型)()()(000 xxxxdxxdfxfy略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：0)(xxdxxdfK或：y - y0 = y = Kx， 其中：上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程。第二章 数学模型第二章 数学模型)()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xKxKy

13、yy增量方程：),(20100 xxfy 静态方程：2021012021012211,xxxxxxxxxfKxfK其中：第二章 数学模型对多变量系统，如：y = f (x1, x2)，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。 l 系统线性化微分方程的建立系统线性化微分方程的建立 步骤 q 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； q 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； q 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微 分方程。 第二章 数学模型 实例：液位系统的线性化 )()()(tqtHtHdtdAi20022000)(! 21)(HHHdHHdHHHdHHdHH00000,iooiqqqHq

14、解解：稳态时：)(tH非线性项的泰勒展开为：第二章 数学模型节流阀节流阀qi(t)qo(t)H(t)液位系统HHHHHHdHHdHH0000021)(则：iiqqHHHHHdtdA000021)(由于：注意到：HdtdHHdtd)(0第二章 数学模型)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi实际使用中，常略去增量符号而写成：)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi所以：此时，上式中H(t)和qi(t)均为平衡工作点的增量。第二章 数学模型l 线性化处理的注意事项线性化处理的注意事项 线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关； 线性化是有条件的，必须注意线性化方程适 用的工作范围； 某些

15、典型的本质非线性，如继电器特性、间 隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不 能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对 系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作 为非线性问题处理。 第二章 数学模型inout0近似特性曲线真实特性饱和非线性inout0死区非线性inout0继电器非线性inout0间隙非线性第二章 数学模型q 线性系统微分方程的一般形式 式中，a0，a1，an和b0，b1，bm为由系统结构参数决定的实常数，mn。 第二章 数学模型1011110111( )( ).( )( )( )( ).( )( )nnoonononnmmiimimimmdddax tax tax ta x tdt

16、dtdtdddbx tbx tbx tb x tdtdtdt第二章 数学模型 控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换（拉氏变换）求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。更重要的是，由于采用了拉氏变换，能够把描述系统运动状态的微分方程很方便地转换为系统的传递函数，并由此发展出用传递函数的零极点分布、频率特性等间接地分析和设计控制系统的工程方法。二、拉氏变换和拉氏反变换第二章 数学模型在数学运算中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运

17、算，常在数学运算中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用一种变换手段。如：常采用一种变换手段。如：要求式子要求式子 baf的乘积，那么我们可以通过求的乘积，那么我们可以通过求 cbabaflglg)lg(lg的方式，然后将所得的结果进行反对数即可，即将乘法运算的方式，然后将所得的结果进行反对数即可，即将乘法运算转换成加法运算转换成加法运算 cf1lg对于对于 baf/，是将除法运算转换成减法运算。，是将除法运算转换成减法运算。为什么要进行拉氏变换呢？为什么要进行拉氏变换呢？)()()()(2sXkcssYkcsms那么，引用拉氏变换也与用对数变换计算数量的乘积和商一样。那么，引用拉氏

18、变换也与用对数变换计算数量的乘积和商一样。可以将可以将常微分方程常微分方程变成变成代数方程代数方程，得到解后，再经过，得到解后，再经过逆变换逆变换，才，才得到真正的解。得到真正的解。( )( )( )( )( )my tcy tky tcx tkx t拉氏变换后时域复数域从而使运算方便，使系统的分析大大简化。从而使运算方便，使系统的分析大大简化。拉氏变换的指导思想拉氏变换的指导思想第二章 数学模型l 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 设函数f(t) (t0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数，使得：0)(limtfett则函数f(t)的拉普拉斯变换存在，并定义为：第二章 数学模型0( )(

19、 )( )stF sL f tf t edt0dtest称为拉普拉斯积分；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数，它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。第二章 数学模型0)()()(dtetftfLsFst式中：s=+j（，均为实数）；拉氏变换是这样一种变换：即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数f(t)变换为一个在复数域内与之等价的复变函数F(s) 。l 几种典型函数的拉氏变换几种典型函数的拉氏变换 q 单位阶跃函数1(t) 10tf(t)单位阶跃函数0100)( 1ttt001( )1( )11 (Re( )0)0stststLtt edtedte

20、sss 第二章 数学模型q 指数函数atetf)(（a为常数）指数函数0tf(t)1)0)(Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat第二章 数学模型q 正弦函数与余弦函数 正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-10sinsindtettLst0coscosdtettLst由欧拉公式，有： tjtjtjtjeeteejt21cos21sin第二章 数学模型000221sin2121112Re( )0jtjtstj tstj tstLteeedtjeedteedtjjsjsjss从而：22cossstL同理：第二章 数学模型q 单位脉冲函数(t)

21、 0tf(t)单位脉冲函数1)1 (1lim1lim)(000sstesdtetL)()1 (lim)1 (1lim00seesss由洛必达法则：1lim)(0setL所以：第二章 数学模型00(0)( )1lim(0)tttt 和q 单位速度函数（单位斜坡函数） 10tf(t)单位速度函数1000)(ttttf0)Re(1)(2000ssdtsesetdttetfLststst第二章 数学模型q 单位加速度函数（单位抛物线函数）02100)(2ttttf0)Re(121)(302ssdtettfLst单位加速度函数0tf(t)函数的拉氏变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到，而不通

22、过定义来求。 第二章 数学模型l 拉氏变换的主要定理拉氏变换的主要定理 叠加定理 q 齐次性：Laf(t)=aLf(t)，a为常数；q 叠加性：Lf1(t)+f2(t)=Lf1(t)+Lf2(t)显然，拉氏变换为线性变换。第二章 数学模型Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t)a，b为常数 微分定理 0)()0(),0()()(ttfffssFdttdfL00)(0)()(dtsedttdfsetfdtetfststst证明证明：由于dttdfLssfsF)(1)0()(即：第二章 数学模型)0()()(fssFdttdfL所以：)0()0()0()()()0()0()()

23、()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL同样有：式中，f (0)，f (0)，为函数f(t)的各阶导数在t=0时的值。第二章 数学模型)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：第二章 数学模型 复微分定理 ), 3, 2, 1()() 1()()()()()(222ntftLsFdsdtftLsFdsdttfLsFdsdnnnn若Lf(t)=F(s)，则除了在F(s)的极点之外，有：第二章 数学模型 积分定理 0)()0(,)0()()()1(

24、)1(tdttffsfssFdttfL)(1)(sFsdttfL当初始条件为零时：第二章 数学模型证明证明：0)()(dtedttfdttfLst00)()(dtsetfsedttfststssFsf)()0()1(0)(10)(1dtetfstdttfsst第二章 数学模型同样：当初始条件为零时：第二章 数学模型( 1)(1)1111( )( )(0).(0).nnnnnLf tdtF sffsss 个1( )( ).nnnLf tdtF ss个 延迟定理 )()(sFetfLs设当t0时，f(t)=0，则对任意0，有：函数 f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)第二章 数学模型 位移定理

25、 )()(asFtfeLat例：2222cossinsstLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat第二章 数学模型 初值定理 证明证明：初值定理建立了函数f(t)在t=0处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。 第二章 数学模型0lim( )(0)lim( )tsf tfsF s00( )limlim( )(0)lim( )(0)( )( )( )limlimlim0lim( )(0)0sssststssssdf tLsF sfsF sfdtdf tdf tdf tLedtedtdtdtdtsF sf 终值定理 )(lim)()(lim0ssFf

26、tfst若sF(s)的所有极点位于左半s平面， 即：)(limtft存在。则：第二章 数学模型证明证明：)0()(lim)0()(lim)(lim000fssFfssFdttdfLsss终值定理说明f(t)的稳定值与sF(s)在s=0时的初值相同。)(lim)(0ssFfs第二章 数学模型又由于：)0()(lim)0()(0fssFffs即：000000( )( )limlim( )( )lim( )(0)stssstsdf tdf tLedtdtdtdf tdf tedtdtffdtdt 卷积定理 )()()()(sGsFtgtfLttdtgfdgtftgtf00)()()()()(*)(若

27、t0时， f(t)g(t)0，则f(t)和g(t)的卷积可表示为：其中，f(t)g(t)表示函数f(t)和g(t)的卷积。第二章 数学模型证明证明：0)()()()(dtetgtftgtfLst00)()(dtedtgfstt0)()(dsGefs00)()(dtedtgfst00)()(ddtetgfst)()(sGsF第二章 数学模型 时间比例尺的改变（相似定理）0constant)(aasaFatfL例：11)(ssFeLt1)(/asaasaFeLat第二章 数学模型第二章 数学模型练习：使用拉氏变换的定理计算下列函数的拉氏变换 61sin 532cos80.25sin834520tf

28、 ttf tettf ttttf ttf（ ）（ ）（ ）提示：L第二章 数学模型答案： 2222153s1225225826641235ssssss（ ）F s（ ）F s（ ）F sl 拉氏反变换拉氏反变换 0,)(21)()(1tdsesFjsFLtfjjstL1为拉氏反变换的符号。第二章 数学模型 部分分式展开法 如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+Fn(s)假定F1(s), F2(s), ，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则：L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) +

29、 + fn(t)第二章 数学模型在控制理论中，通常：为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式：式中，p1，p2，pn为方程A(s)=0的根的负值，称为F(s)的极点；ci=bi /a0 (i = 0,1,m)。此时，即可将F(s)展开成部分分式。 第二章 数学模型101112.( )( )( )()().()mmmmnc sc scscB sF sA sspspsp10111011.( )( )()( ).mmmmnnnnb sbsbsbB sF snmA sa sa sasa F(s)只含有不同的极点ipsiipssFA)()(式中，Ai为常数，称为s = -pi极点处的留数。nitpin

30、iiiieApsALsFL1111)(于是：第二章 数学模型12112( )( ).( )nniiniAAAAB sF sA sspspspsp例例：求)6(2)(22ssssssF的原函数。解解：23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssFA158)2(2)() 3(3232sssssssFsA第二章 数学模型54) 3(2)()2(2223sssssssFsA)0(5415831)()(231teesFLtftt215431158131)(ssssF即：第二章 数学模型 F(s)含有共轭复数极点 212121

31、21)()(pspspspsAsApspssF或或假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、-p2，其余极点均为各不相同的实数极点，则：式中，A1和A2的值由下式求解：上式为复数方程，令方程两端实部、虚部分别相等即可确定A1和A2的值。第二章 数学模型312123( )( ).( )()()nnAAAsAB sF sA sspspspsp例例：求的原函数。) 1(1)(2sssssF解解：1232123211)(2210ssAsAsAjsjssssF1)(00sssFA23212123212)()() 1(jsjsAsAsFss第二章 数学模型0, 123)(2321)(21212121AAAA

32、AA即：所以：11)(2sssssF2223211sss第二章 数学模型2222)(sin,)(cosasteLasasteLatat22222321212321211ssss2222232123312321211ssss第二章 数学模型查拉氏变换表得：tetetftt23sin3123cos1)(22ttet23sin2123cos233212第二章 数学模型2231sin60,023toett 注意，此时F(s)仍可分解为下列形式：由于p1、p2为共轭复数，因此， A1和A2也为共轭复数。ipsiipssFA)()(第二章 数学模型12112( )( ).( )nniiniAAAAB sF

33、 sA sspspspsp例例：求的原函数。) 1(1)(2sssssF解解2 2：第二章 数学模型3121( )1313131322222222AAAsF sssjsjs sjsj10( )1sAsF s213221313( )|2226sjAsjF sj 31326Aj 131312626( )13132222jjF sssjsj 13132222131312626jtjtf tjeje 所以查拉氏变换表得： F(s)含有重极点 设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则： 式中，Ar+1，An利用前面的方法求解。第二章 数学模型101101.( )( )( )() ().()mmm

34、mrrnb sb sbsbB sF sA sspspsp01020110001.()()()()()rnrrrrnAAAAAspspspspsp0)(001pspssFAr0)(002pspssFdsdAr0)(! 2102203pspssFdsdAr0)()!1(10110pspssFdsdrArrrr第二章 数学模型tpnnentpsL0)!1()(1101注意到：所以：第二章 数学模型01112010201( ) ( ).(1)!(2)! .(0)nrp trrrp tptrnf tLF sAAttAerrAeA et例例：求的原函数。) 1()2(3)(2ssssF解解：12)2()(

35、302201sAsAsAsF12132)2)(201ssssssFA2 2) 1() 1)(3() 1()3( 2132)2)(2202sssssssssdsdsssFdsdA第二章 数学模型21) 1)(3sssFA1222)2(1)(2ssssF)0(2)2()()(21teetsFLtftt于是：第二章 数学模型知识要点回顾：l拉氏变换的定义l几种典型函数的拉氏变换l拉氏变换的主要定理l拉氏反变换2.2 拉氏变换和反变换l 应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤q 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；q 应用

36、拉氏反变换，得到微分方程的时域解。 第二章 数学模型原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程第二章 数学模型 实例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo设系统微分方程为：若xi (t) =1(t)，初始条件分别为xo(0)、xo(0)，试求xo(t)。解解：对微分方程左边进行拉氏变换： )0()0()()(222ooooxsxsXsdttxdL第二章 数学模型)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL即：)0(5)(5)(5oooxssXd

37、ttdxL)(6)(6sXtxLoo第二章 数学模型stLsXtxLii1)( 1)()(323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooo对方程右边进行拉氏变换：sxxssXssooo1)0()0()5()()65(2从而：第二章 数学模型61065121sssA212) 3(12sssA313)2(13sssA)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsB)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB第二章 数学模型) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxee

38、txtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssXooooo所以：查拉氏变换表得：当初始条件为零时：第二章 数学模型解方程解方程 ，其中，其中 66)(5)(tytyty 20, 2)0(yy ssYyssYysysYs660500)(2 20, 2)0(yy 342513261222sssssssssY tteety32451练习：练习：解：解： 将方程两边取拉氏变换，得将方程两边取拉氏变换，得将将 代入，并整理，得代入，并整理，得所以所以q 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动地包含在微分方

39、程的拉氏变换式 中，因此，不需要根据初始条件求积分常数 的值就可得到微分方程的全解。 q 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。 由上述实例可见：第二章 数学模型四、传递函数第二章 数学模型为什么要引入传递函数的概念？可以免去求解微分方程的麻烦，间接地分析系统结构及参数与系统性能的关系；可以根据传递函数在复平面上的形状直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。四、传递函数l 传递函数的概念和定义传递函数的概念和定义 传递函数 第二章 数学模型在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。 零初始条件：q t0时

40、，输入量及其各阶导数均为0；q 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工 作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也 均为0。第二章 数学模型 传递函数求解示例 q 机械系统的传递函数 )()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo)()()()(2sFsKXsCsXsXmsioooKCsmssFsXsGio21)()()(所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：mfi(t)KCxo(t)0第二章 数学模型q 电气系统的传递函数 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(2sUsUsRCsUsULCsiooo11)()

41、()(2RCsLCssUsUsGio所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：LRCui(t)uo(t)i(t)第二章 数学模型 几点结论 传递函数是复数s域中的系统数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入、输出形式无关。 若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性,即以系统外部的 输入输出特性来描述系统的内部特性。 第二章 数学模型 传递函数的一般形式线性定常系统微分方程的一般形式为：当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：101

42、1110111( )( ).( )( )( )( ).( )( ) ()nnoonononnmmiimimimmdddax tax tax ta x tdtdtdtdddbx tbx tbx tb x tnmdtdtdt10111011( ).( )()( ).mmommnninnXsb sb sbsbG snmX sa sa sasa第二章 数学模型mmmmbsbsbsbsM1110)(nnnnasasasasN1110)(令：)()()()()(sNsMsXsXsGio则：N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶

43、次。l 特征方程、零点和极点特征方程、零点和极点 特征方程10111011( ).( )()( ).mmommnninnXsb sb sbsbG snmX sa sa sasa第二章 数学模型式中，K称为系统的放大系数或增益。当s=0时： G(0)=bm/an=K从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此K 反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。 )()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio1011110111( )( ).( )( )( )( ).( )( ) ()nnoonononnmmiimimimmdddax tax t

44、ax ta x tdtdtdtdddbx tbx tbx tb x tnmdtdtdt第二章 数学模型 零点和极点 将G(s)写成下面的形式： N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj (j=1, 2, , n)，称为传递函数的极点；式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, , m)，称为传递函数的零点；系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。012012( )()().()( )( )( )( )()().()ominXsb szszszM sG sX sN sa spspsp第

45、二章 数学模型 零、极点分布图 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零极点分布图0 12312-1-2-3-1-2j极点（零点）的值可以是实数和复数，而当它们为复数时必以共轭对的形式出现，所以它们在s复数平面上的分布必定是对称于实数轴（横轴）的。 第二章 数学模型l 传递函数的几点说明传递函数的几点说明 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式；传递函 数的概念通常只适用于线性定常系统； 传递函数是 s 的复变函数。传递函数中的各 项系数和相应

46、微分方程中的各项系数对应相 等，完全取决于系统结构参数； 第二章 数学模型 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零 时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于 相对静止状态。因此，传递函数原则上不能 反映系统在非零初始条件下的全部运动规律； 传递函数只能表示系统输入与输出的关系， 无法描述系统内部中间变量的变化情况； 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出 的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。 第二章 数学模型l 脉冲响应函数脉冲响应函数 初始条件为0时，系统在单位脉冲输入作用下的输出响应的拉氏变换为：)()()()(sGsXsGsY即：)()()()(11tgsGLsYLtyg(t)称为系统

47、的脉冲响应函数（权函数）。系统的脉冲响应函数与传递函数包含关于系统动态特性的相同信息。第二章 数学模型l 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 环节 具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。 任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。 第二章 数学模型 环节的分类 线性系统传递函数的零、极点表达式：则： b+2c = m v+d+2e = n假设系统有b个实零点，c 对复零点，d 个实极点，e对复极点和v个零极点012012( )()().()( )( )()().()ominXsb szszszG sX sa spspsp第二章

48、数学模型iiiiiisszs1),1(1jjjjjjTsTTsps1),1(1对于实零点zi=i和实极点pj=j ，其因式可以变换成如下形式：第二章 数学模型) 12(12)()(2222221ssssjsjszszs对于复零点对z=+j和z+1= j ，其因式可以变换成如下形式：2222,1式中，第二章 数学模型对于复极点对pk=k+jk和pk+1=k jk ，其因式可以变换成如下形式：) 12(1 2 )()(2222221sTsTTssjsjspspskkkkkkkkkkkkk2222,1kkkkkkkT式中，第二章 数学模型ekkkkdjjvcbiisTsTsTssssKsG12211

49、221) 12() 1() 12() 1()(于是，系统的传递函数可以写成：ekkdjjcbiiTTabK1211210011式中，为系统放大倍数。第二章 数学模型121,11,1, 12, 1,2222TssTTsssssK由上式可见，传递函数表达式包含六种不同的因子，即：一般，任何线性系统都可以看作是由上述六种因子表示的典型环节的串联组合。上述六种典型环节分别称为：ekkkkdjjvcbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(第二章 数学模型比例环节：K一阶微分环节：s+11222ss二阶微分环节：s1积分环节：11Ts惯性环节：12122Ts

50、sT振荡环节：第二章 数学模型)()(sXesXiso实际系统中还存在纯时间延迟现象，输出完全复现输入，但延迟了时间，即xo(t)=xi(t-)，此时：sesG)(或：se因此，除了上述六种典型环节外，还有一类典型环节延迟环节 。第二章 数学模型 典型环节示例 q 比例环节 输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。其运动方程为：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)分别为环节的输出和输入量；K比例系数，等于输出量与输入量之比。第二章 数学模型KsXsXsGio)()()(比例环节的传递函数为：z1z2ni(t)no(t)齿轮传动副R2R1ui(t)uo(t)运算放大器Kzzs

51、NsNsGio21)()()(KRRsUsUsGio12)()()(第二章 数学模型q 惯性环节 )()()(tKxtxtxdtdTioo1)()()(TsKsXsXsGio凡运动方程为一阶微分方程：形式的环节称为惯性环节。其传递函数为： T时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关式中，K环节增益（放大系数）；第二章 数学模型)()()(tKxtKxdttdxCiooKCTTskCsKsG,11)(如：弹簧-阻尼器环节xi(t)xo(t)弹簧-阻尼器组成的环节KC第二章 数学模型q 微分环节 输出量正比于输入量的微分。dttdxtxio)()(运动方程为：ssXsXsGio)()()(传

52、递函数为：式中，微分环节的时间常数第二章 数学模型dttdKtuito)()(sKssUsGtio)()()(如：测速发电机uo(t) i (t)测 速 发 电 机式中， Kt为电机常数。 无负载时：在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。第二章 数学模型RCui(t)uo(t)i(t)无源微分网络RtituRtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)(显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|1时，才近似为微分环节。 无源微分网络第二章 数学模型) 1()()()(sKsXsXsGio除了上述惯性微分

53、环节外，还有一类一阶微分环节，其传递函数为：微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。第二章 数学模型q 积分环节 输出量正比于输入量对时间的积分。 tiodttxTtx0)(1)(运动方程为：TssXsXsGio1)()()(传递函数为：式中，T积分环节的时间常数。第二章 数学模型如：有源积分网络 +CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a)()(tudttduRCioRCTTsRCssG,11)(第二章 数学模型液压缸 Aqi(t)xo(t)dttqAtxio)(1)(AssQsXsGi

54、o1)()()(第二章 数学模型AtTAdtTtxto11)(0积分环节特点： 输出量取决于输入量对时间的积累过程， 且具有记忆功能； 具有明显的滞后作用。积分环节常用来改善系统的稳态性能。如当输入量为常值 A 时，由于：输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0时的值A。第二章 数学模型q 振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为： 10),()()(2)(222tKxtxtxdtdTtxdtdTiooo12)()()(22TssTKsXsXsGio传递函数：第二章 数学模型式中，T振荡环节的时间常数 阻尼比，对于振荡环节，01

55、K比例系数TsssGnnnn1,2)(222振荡环节传递函数的另一常用标准形式为（K=1）：n称为无阻尼固有频率。第二章 数学模型)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo12/11)(222TssTKKCsmssG如：质量-弹簧-阻尼系统传递函数：mKCKmT2,式中，mkC2当时，为振荡环节。mfi(t)KCxo(t)0第二章 数学模型q 二阶微分环节 式中，时间常数 阻尼比，对于二阶微分环节，01 K比例系数 10,)()(2)()(222txtxdtdtxdtdKtxiiio运动方程：12)(22ssKsG传递函数：第二章 数学模型q 延迟环节 惯性环节从输入开始时

56、刻起就已有输出，仅 由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要 求的输出值；)()(txtxio运动方程：sesG)(传递函数：式中，为纯延迟时间。 延迟环节从输入开始之初，在0 时间内, 没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别：第二章 数学模型ALvhi(t)ho(t)轧制钢板厚度测量vLththio)()(第二章 数学模型 小结 q 环节是根据微分方程划分的，不是具体的 物理装置或元件；q 一个环节往往由几个元件之间的运动特性 共同组成；q 同一元件在不同系统中作用不同，输入输 出的物理量不同，可起到不同环节的作用。 第二章 数学模型五、系统框图和信号流图l 系统框图

57、系统框图 系统框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。注意：即使描述系统的数学关系式相同，其框图也不一定相同。第二章 数学模型 框图的结构要素 q 信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。X(s), x(t)信号线第二章 数学模型q 信号引出点（线） 表示信号引出或测量的位置和传递方向。 同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。 引出线X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)第二章 数学模型q 函数方框(环节) G(s)X1(s)X2(s)函数方框函数方框具有运算功

58、能，即： X2(s)=G(s)X1(s) 传递函数的图解表示。第二章 数学模型q 求和点（比较点、综合点）信号之间代数加减运算的图解。用符号“ ”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。 相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。 X1(s)X2(s)X1(s)X2(s) 第二章 数学模型ABA-BCA-B+CA+C-BBCAA+CABA-B+CC求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。 第二章 数学模型R1Cs1求和点函数方框函数方框引出线Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框图示例任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出

59、点及求和点组成的方框图来表示。 第二章 数学模型 系统框图的建立 q 步骤 建立系统各元部件的微分方程,明确信号 的因果关系（输入/输出）。 对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部 件的框图。 按照信号在系统中的传递、变换过程，依 次将各部件的方框图连接起来，得到系统 的框图。 第二章 数学模型q 示例 RCui(t)uo(t)i(t)无源RC电路网络 无源RC网络 )()()(tututRioidttiCtuo)(1)()(1)()()()(sICssUsUsUsRIooi拉氏变换得：)(1)()()(1)(sICssUsUsURsIooi第二章 数学模型从而可得系统各方框单元及其框图。 R1

60、Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)()(1)(sUsURsIoi(a)Cs1Uo(s)I(s)(1)(sICssUo(b)第二章 数学模型R1Cs1Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)无源RC电路网络系统框图 机械系统 第二章 数学模型m1fi(t)K1C x(t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fC第二章 数学模型1212( )( )( )( )iCKd x tmf tftftdt)()()(11txtxKtfoKdttdxdttdxCtfoC)()()(12222( )( )( )( )KCKd x tmftftftdt)()(22txKtfoKm1fi