矩阵论课件第一章线性空间定义性质分析

1、矩矩 阵阵 论论 电电 子子 教教 程程Department of Mathematics, School of Sciences哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系Department of Mathematics课前预习、课中提高效率、课后复习课前预习、课中提高效率、课后复习书后要求的习题、主动自觉做书后要求的习题、主动自觉做改变思维观念改变思维观念“研究研究”n 建建 议议使用教材使用教材 矩阵论矩阵论 程云鹏程云鹏 张凯院张凯院 徐仲徐仲 编编其他辅导类参考书（自选）其他辅导类参考书（自选）Department of Mathematicsn 课程的目的课程的目

2、的 理解抽象！理解抽象！n 课程的本质课程的本质 研究结构！研究结构！矩矩 阵阵 论论Department of MathematicsDepartment of Mathematics Department of Mathematics教教 学学 内内 容容 和和 基基 本本 要要 求求1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；2, 掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质；掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质；3, 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵示表示理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵示表示, 了解了解线性空间

3、同构的含义线性空间同构的含义.重点重点: : 线性空间的概念；子空间的维数定理线性空间的概念；子空间的维数定理；基变换与；基变换与 坐标变换坐标变换.难点难点: 基变换与坐标变换基变换与坐标变换Department of Mathematics常见数域：常见数域： 复数域复数域 C ；实数域；实数域 R ；有理数域；有理数域 Q ；设设F是至少包含是至少包含0，1两数的数集，如果两数的数集，如果F中中F中的数，则称中的数，则称F为一个为一个数域数域任意两个数的和、差、积、商（除数不为任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是）仍是定义：定义：一一, ,数域的定义数域的定义（注意：自然数集注意

4、：自然数集N及整数集及整数集Z都不是数域都不是数域） 1.1 数数 域域Department of Mathematics是一个数域是一个数域例例1证明：数集证明：数集 (2)2 |,Qaba bQ 证：证： 000 2,110 2, ,( 2),x yQ 又对又对 2,2,xabycd 设设 则有则有 (2)() 2( 2)x yacbdadbcQ 0,1( 2)Q , , ,a b c dQ ()() 2( 2),xyacbdQ 设设20,ab 于是于是也不为也不为02ab Department of Mathematics或或 0,0ab 矛盾）矛盾） （否则，若（否则，若20,ab 则

5、则2,ab 2,aQb于是有于是有20.ab2(2)(2)2(2)(2)cdcdabababab 222222.22acbdadbcQabab为数域为数域( 2)Q ( ),1Q iabi a bQ i 是数域是数域.类似可证类似可证Gauss数域数域Department of Mathematics二、数域的性质定理二、数域的性质定理任意数域任意数域F都包括有理数域都包括有理数域Q证明：证明： 设设F为任意一个数域由定义可知，为任意一个数域由定义可知，于是有于是有01.FF， ,111mZmF 即即:有理数域为最小数域有理数域为最小数域进而有进而有,mm nZFn 0.mmFnn而任意一个有

6、理数可表成两个整数的商，而任意一个有理数可表成两个整数的商，.QF Department of Mathematics定义定义1 设设 是一个非空集合，是一个非空集合， 为一数域如果对于为一数域如果对于任意两个元素任意两个元素 ，总有唯一的一个元素，总有唯一的一个元素 与之与之对应，称为对应，称为 与与 的的和，和，记作记作Vyx ,VFzxyyxz 一一, ,线性空间的定义和举例线性空间的定义和举例若对于任一数若对于任一数 与任一元素与任一元素 ，总有唯，总有唯一的一个元素一的一个元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的的积积，记作记作F Vx V xx 1.2 线线 性性 空空 间间

7、如果上述的两种运算满足以下如果上述的两种运算满足以下八条八条运算规律，运算规律，那么那么 就称为数域就称为数域 上的上的线性空间线性空间记为记为:FV)(FVDepartment of MathematicsFVzyx ,;,设设; 0 , 0)3(xxVxV 都都有有对对任任何何中中存存在在零零元元素素在在;)1(xyyx ;)2(zyxzyx 八条运算规律八条运算规律:; 0 ,)4( yxVyxVx使使的的负负元元素素都都有有对对任任何何; 1)5(xx ; )6(xx . )8(yxyx ; )7(xxx Department of Mathematics2 . 判别不是线性空间的方法

8、：一个集合，对于判别不是线性空间的方法：一个集合，对于定义的定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能足八条性质的任一条，则此集合就不能 构成线构成线性空间性空间 说明说明1. 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，凡满足以上八条规律的加法及乘数运算， 称为称为线性运算线性运算Department of Mathematics （1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性例例1 实数域上的全体实数域

9、上的全体 矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 nm nmR ,nmnmnmCBA ,nmnmDA .是是一一个个线线性性空空间间nmR 一般线性空间的判定方法一般线性空间的判定方法Department of Mathematics., :,012211构构成成向向量量空空间间多多项项式式的的乘乘法法数数乘乘对对于于通通常常的的多多项项式式加加法法即即记记作作的的多多项项式式的的全全体体上上次次数数小小于于数数域域 FaaxaxaxaxPxPnFinnnnn 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运通常的多项式加法、数

10、乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律算满足线性运算规律例例2例例3,:,1001FaaaaxaxaxQxQnFnnnn 即即记作记作次的多项式的全体次的多项式的全体上上数域数域 不是线性空间不是线性空间Department of Mathematics例例4 正弦函数的集合正弦函数的集合 .,sinRBABxAsxS 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间间 221121sinsinBxABxAss xbxaxbxasincossincos2211 xbbxaasincos2121 BxA sin.xS 11111sinsinBxABxAs

11、 xS 是一个线性空间是一个线性空间. xSDepartment of Mathematics例例5. 正实数的全体，记作正实数的全体，记作 ，在其中定义加法，在其中定义加法及乘数运算为及乘数运算为 R ., RbaRaaabba 验证验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间 R(2) 一个集合，如果定义的加法和乘数运算不一个集合，如果定义的加法和乘数运算不 是是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律八条线性运算规律Department of Mathematics下面一一验证八条线性运算规律：下面一一

12、验证八条线性运算规律：;)1(abbaabba );()()()(2(cbacabcabcba 有有对对任任何何中中存存在在零零元元素素, 1)3( RaR;11aaa 使使有有负负元元素素,)4(1 RaRa; 111 aaaa证明证明: :;, RabbaRba., RaaRaR 所以对定义的加法与乘数运算封闭所以对定义的加法与乘数运算封闭Department of Mathematics;1)5(1aaa ;)6(aaaaa (7) ;aaa aaaaa baababba )()()8(所以所以 对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间 R. baba Department

13、of Mathematics 0 , 0),(1 nTxx 不构成线性空间不构成线性空间对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例例6. 个有序实数组成的数组的全体个有序实数组成的数组的全体n RxxxxSnnTnxxx,2121),(.对运算封闭对运算封闭nS,1Ox 但但.不不满满足足第第五五条条运运算算规规律律., 线线性性空空间间不不是是所所以以线线性性运运算算由由于于所所定定义义的的运运算算不不是是nS解答解答:Department of Mathematics1零元素是唯一的零元素是唯一的证明证明: :假设假设 是线性空间是线性空间V中的两个

14、零元素中的两个零元素，210 ,0.0,021 由于由于,0 ,021V 所以所以.000 ,000121212 则对任何则对任何 ，V 有有.000000212211 二二, ,线性空间的性质线性空间的性质Department of Mathematics2负元素是唯一的负元素是唯一的证明证明 假设假设 有两个负元素有两个负元素 与与 ， 那么那么. 0, 0 则有则有0 0. 向量向量 的负元素记为的负元素记为 . Department of Mathematics . 00;1; 00. 3 证明证明 ,101010 . 00 , 0011111 .1 10 0 . 0 Departme

15、nt of Mathematics4如果如果 ，则，则 或或 . 0 0 0 证明证明假设假设,0 那么那么 011 . 0 .11 又又. 0 同理可证：若同理可证：若 则有则有0 . 0 Department of Mathematics线性空间的基与坐标u见课件p4 线性相关和线性无关线性组合Department of Mathematics 定义定义: 设设 为数域为数域 上的一个上的一个 维线性空间，维线性空间， 为为 的一个子集，如果的一个子集，如果 对于对于 的两种运的两种运 算算(加法与数乘运算加法与数乘运算)也构成数域也构成数域 上的线性上的线性 空间空间,那么我们称那么我们

16、称 为为 的一个的一个子空间子空间。FVnVVWFWV三三. 线性子空间线性子空间定理定理线性空间线性空间 的非空子集的非空子集 构成子空间的充分构成子空间的充分必要条件是：必要条件是： 对于对于 中的线性运算封闭中的线性运算封闭VWVWWDepartment of Mathematics例例7. 对于任意一个有限维线性空间对于任意一个有限维线性空间 , 它必有两个它必有两个平凡子空间平凡子空间，即由单个零向量构成的子空间，即由单个零向量构成的子空间 以及线性空间以及线性空间 本身。本身。V 0V例例8 .设设 ,那么线性方程组那么线性方程组 的全部的全部解为线性空间解为线性空间 的一个子空间

17、，我们称其为的一个子空间，我们称其为齐次齐次线性方程组的解空间。线性方程组的解空间。nmRA OAX nR 当齐次线性方程组当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。解系所含向量的个数。OAX Department of Mathematics解解(1)不构成子空间不构成子空间. 因为对因为对1000001WBA ?32为为什什么么空空间间的的下下列列子子集集是是否否构构成成子子 R;,001)1(1 RdcbdcbW., 0000)2(2 RcbacbacbaW例例9有

18、有,0000021WBA Department of Mathematics即即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间对矩阵加法不封闭，不构成子空间.1W,000000)2(2W 因因.2非非空空即即W对任意对任意2222111000,000WcbaBcbaA 于是于是有有, 0111 cba, 0222 cba 212121000ccbbaaBADepartment of Mathematics满足满足 , 0212121 ccbbaa, 2WBA 即即有有对对任任意意Rk 111000kckbkakA且且, 0111 kckbka,2WkA 即即.322的子空间的子空间是是故故 RWDepartment of Mathematics 设设 是线性空间是线性空间 中的向量，中的向量，则由则由 的所有线性组合：的所有线性组合： 构成的集合是构成的集合是 的子空间，称为由的子空间，称为由张成（生成）的子空间张成（生成）的子空间，记为：，记为：1|,1,2miiiik x kK immxxx,21mxxx,21mxxx,21)(FV)(FV),(21mxxxL或：或：,21mxxxspan零向量集合与零向量集合与 本身称为本身称为平凡子空间平凡子空间， 非平非平凡子空间称为凡子空间称为 的的真子空间真子空间VV张成子空间的定义张成子空间的定义: :Department of Mathema