高等数学典型例题详解 第四章

1、例1 求下列不定积分（1） （2）分析利用幂函数的积分公式求积分时，应当先将被积函数中幂函数写成负指数幂或分数指数幂的形式解（1）（2） 例2求 分析 将被积函数的平方展开，可化为幂函数的和解 例3求下列不定积分（1） （2）分析 （1）将被积函数拆开，用指数函数的积分公式；（2）分子分母都含有偶数次幂，将其化成一个多项式和一个真分式的和，然后即可用公式解（1）（2）例4求下列不定积分（1） （2） （3）分析根据被积函数分子、分母的特点，利用常用的恒等变形，例如：分解因式、直接拆项、“加零”拆项、指数公式和三角公式等等，将被积函数分解成几项之和即可求解解 （1） （2）（3） 例5 求下列不

2、定积分（1） （2）（3） （4）分析 当被积函数是三角函数时，常利用一些三角恒等式，将其向基本积分公式表中有的形式转化，这就要求读者要牢记基本积分公式表 解 （1）（2） （3）（4） 例6求下列不定积分（1）（2）（）（3）（4）（5） （6）（7）（8）（9） （10）（11）分析 这些积分都没有现成的公式可套用，需要用第一类换元积分法解 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11） 注用第一类换元积分法（凑微分法）求不定积分，一般并无规律可循，主要依靠经验的积累而任何一个微分运算公式都可以作为凑微分的运算途径因此需要牢记基本积分公式，这样凑微分才会有目标下面给

3、出常见的12种凑微分的积分类型（1）；（2）；（3）；适用于求形如的积分，（是自然数）（4）；适用于求形如的积分，（是自然数）（5）；适用于求形如的积分，（是自然数）（6）；适用于求形如是的积分，（是自然数）（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；例 求下列函数的不定积分：（1）（2）（3） （4）（5） （6）分析 在运用第一类换元法求以三角函数为被积函数的积分时，主要思路就是利用三角恒等式把被积函数化为熟知的积分，通常会用到同角的三角恒等式、倍角、半角公式、积化和差公式等解（1）被积函数是奇次幂，从被积函数中分离出，并与凑成微分，再利用三角恒等式，然后即可积分（2）被积函数是

4、偶次幂，基本方法是利用三角恒等式，降低被积函数的幂次（3）利用积化和差公式将被积函数化为代数和的形式（4）利用三角恒等式及 （5）因为，所以（6）由于，所以 注利用上述方法类似可求下列积分、，请读者自行完成例求下列不定积分：（1）（2）（3）分析 可充分利用凑微分公式：；或者换元，令解（1）（2）解法1 ,然后用公式，则解法2（3）解法1 解法2解法令，则有注在计算不定积分时，用不同的方法计算的结果形式可能不一样，但本质相同验证积分结果是否正确，只要对积分的结果求导数，若其导数等于被积函数则积分的结果是正确的例9求下列不定积分：（1）（2）分析 在这类复杂的不定积分的求解过程中需要逐步凑微分解

5、 （1）（2） 例10 求分析 若将积分变形为，则无法积分，但如果考虑到凑出，将被积函数变形为，再将与结合凑成，则问题即可解决解 例11求分析仔细观察被积函数的分子与分母的形式，可知 解例12（04研） 已知，且，则分析先求，再求解令，即，从而故，由，得，所以例13 求分析被积函数为三角函数，可考虑用三角恒等式，也可利用万能公式代换解法 解法2令，则 解法令，则，则 例14 求 分析 被积函数含有根式，一般先设法去掉根号，这是第二类换元法最常用的手段之一解 设，即，则例15 求分析 被积函数中有开不同次的根式，为了同时去掉根号，选取根指数的最小公倍数解令，则 例16 解令，即，则例17求分析被

6、积函数中含有根式，可用三角代换消去根式解 设，则 注1 对于三角代换，在结果化为原积分变量的函数时，常常借助于直角三角形 注2 在不定积分计算中，为了简便起见，一般遇到平方根时总取算术根，而省略负平方根情况的讨论对三角代换，只要把角限制在到，则不论什么三角函数都取正值，避免了正负号的讨论例18求分析虽然被积函数中没有根式，但不能分解因式，而且分母中含有平方和，因此可以考虑利用三角代换，将原积分转换为三角函数的积分解 设，则 例19求 分析 被积函数中含有二次根式，但不能用凑微分法， 故作代换， 将被积函数化成三角有理式解 令，则例20求解 由于，故可设， 注 被积函数含有根式而又不能用凑微分法

7、时， 由 可作适当的三角代换， 使其有理化例21 求解，令，则 故 例22求分析当有理函数的分母中的多项式的次数大于分子多项式的次数时，可尝试用倒代换解令，于是注有时无理函数的不定积分当分母次数较高时，也可尝试采用倒代换，请看下例例23求解设，则当时，当时，有相同的结果故注1第二类换元法是通过恰当的变换，将原积分化为关于新变量的函数的积分，从而达到化难为易的效果，与第一类换元法的区别在于视新变量为自变量，而不是中间变量使用第二类换元法的关键是根据被积函数的特点寻找一个适当的变量代换注2 用第二类换元积分法求不定积分，应注意三个问题：（1）用于代换的表达式在对应的区间内单调可导，且导数不为零（2

8、）换元后的被积函数的原函数存在（3）求出原函数后一定要将变量回代注3 常用的代换有：根式代换、三角代换与倒代换根式代换和三角代换常用于消去被积函数中的根号，使其有理化，这种代换使用广泛而倒代换的目的是消去或降低被积函数分母中的因子的幂注4 常用第二类换元法积分的类型：（1）（2）（3），可令或（4），可令或（5），可令或（6）当被积函数含有时，利用配方与代换可化为以上（3），（4），（5）三种情形之一（7）当被积函数分母中含有的高次幂时，可用倒代换例24求下列不定积分：（1） （2）（3）（4） （5）（6）分析上述积分中的被积函数是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数中的某两类函

9、数的乘积，适合用分部积分法 解（1）（2） （3）（4）解法1 解法2 令，即，则（5）解法1 解法2 （6）解法1 从而，则 解法2 ，然后用分部积分，余下的解答请读者自行完成注在用分部积分法求时关键是将被积表达式适当分成和两部分根据分部积分公式，只有当等式右端的比左端的更容易积出时才有意义，即选取和要注意如下原则：（1）要容易求；（2）要比容易积出例25求分析 被积函数为三角函数与对数函数的乘积， 可采用分部积分法解例26求分析被积函数可以看成是多项式函数与对数函数的乘积，可采用分部积分法解 例27求分析 可利用凑微分公式，然后用分部积分；另外考虑到被积函数中含有根式，也可用根式代换解法1

10、，令，则，则，故解法2令，则注求不定积分时，有时往往需要几种方法结合使用，才能得到结果例28（01研） 求分析 被积函数是指数函数和反三角函数的乘积，可考虑用分部积分法解法1 解法2 先换元，令，再用分部积分法，请读者自行完成余下的解答例29 求分析 被积函数含有三角函数的奇次幂，往往可分解成奇次幂和偶次幂的乘积，然后凑微分，再用分部积分法解 ，从而注用分部积分法求不定积分时，有时会出现与原来相同的积分，即出现循环的情况，这时只需要移项即可得到结果 例30求下列不定积分：（1） （2）解（1）（2）注将原积分拆项后，对其中一项分部积分以抵消另一项，或对拆开的两项各自分部积分后以抵消未积出的部分

11、，这也是求不定积分常用的技巧之一例31 求分析 这是适合用分部积分法的积分类型，连续分部积分，直到出现循环为止解法1 利用分部积分公式，则有 ，所以解法令 ，则=，所以例32 求，其中为自然数分析 这是适合用分部积分法的积分类型解，即为所求递推公式而注1在反复使用分部积分法的过程中，不要对调和两个函数的“地位”，否则不仅不会产生循环，反而会一来一往，恢复原状，毫无所得注2 分部积分法常见的三种作用：（1）逐步化简积分形式；（2）产生循环；（3）建立递推公式例33求积分分析 计算有理函数的积分可分为两步进行，第一步：用待定系数法或赋值法将有理分式化为部分分式之和；第二步：对各部分分式分别进行积分

12、解 用待定系数法将化为部分分式之和设，用乘上式的两端得，两端都是二次多项式，它们同次幂的系数相等，即，这是关于，的线性方程组，解之得，由于用待定系数法求，的值计算量大，且易出错，下面用赋值法求，因为等式是恒等式，故可赋予为任何值令 ，可得同样，令得，令，得，于是例34 求解 是三次多项式，分解因式 设，即 ，从而，解得，因此 例35求解因为，所以例36求 解设，则有，比较两边同次幂的系数，解得，从而 例37 求分析 是假分式，先化为多项式与真分式之和，再将真分式分解成部分分式之和解由于 ，则例38 求解 令，则例39 求分析 被积函数是有理真分式，若按有理函数的积分法来处理，那么要确定，比较麻

13、烦根据被积函数的特点：分母是的一次因式，但幂次较高，而分子是的二次幂，可以考虑用下列几种方法求解解法1 令，则解法2解法3 用分部积分法 注形如的（与均为多项式）有理函数的积分关键是将有理真分式分解成部分分式之和，而部分分式都有具体的积分方法，对于假分式则要化为真分式与多项式之和例40 求分析 这是无理函数的积分，先要去掉根号化为有理函数的积分，分子分母有理化是常用去根号的方法之一 解 例41 求解法1 解法2 令 ，余下的请读者自行完成例42求分析被积函数是三角有理函数，可用万能公式将它化为有理函数解令，则注虽然万能代换公式总能求出积分，但对于具体的三角有理函数的积分不一定是最简便的方法通常

14、要根据被积函数的特点，采用三角公式简化积分例43求解法1令，则 解法2 注可化为有理函数的积分主要要求熟练掌握如下两类：第一类是三角有理函数的积分，即可用万能代换将其化为的有理函数的积分第二类是被积函数的分子或分母中带有根式而不易积出的不定积分对于这类不定积分，可采用适当的变量代换去掉根号，将被积函数化为有理函数的积分常用的变量代换及适用题型可参考前面介绍过的第二类换元法例44 求分析 被积函数实际上是一个分段连续函数，它的原函数必定为连续函数，可先分别求出各区间段上的不定积分， 再由原函数的连续性确定各积分常数之间的关系解 由于，设为的原函数，则，其中，均为常数，由于连续，所以，于是，记 ，

15、则注对于一些被积函数中含有绝对值符号的不定积分问题，也可以仿照上述方法处理例45 求解 当时，当时，因为函数的原函数在上每一点都连续，所以，即，记 ，则错误解答 当时，当时，故错解分析 函数的不定积分中只能含有一个任意常数，这里出现了两个，所以是错误的事实上，被积函数在上连续，故在上有原函数，且原函数在上每一点可导，从而连续可据此求出任意常数与的关系，使的不定积分中只含有一个任意常数注分段函数的原函数的求法：第一步，判断分段函数是否有原函数如果分段函数的分界点是函数的第一类间断点， 那么在包含该点的区间内，原函数不存在如果分界点是函数的连续点，那么在包含该点的区间内原函数存在第二步，若分段函数有原函数，先求出函数在各分段相应区间内的原函数，再根据原函数连续的要求，确定各段上的积分常数，以及各段上积分常数之间的关系例46 求下列不定积分：（1）（2）（3）（4）解（1）注意到及，可将原来的积分拆为两项，然后积分，即 （2）被积函数较为复杂，直接凑微分或分部积分都比较困难，不