高中数学必修3概率的加法公式

1、例：例：抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件设事件A为为“出现奇数点出现奇数点”，B为为“出现出现2点点”.求求P(A)及及 P(B).问：问：1. A、B两个事件能同时发生吗？两个事件能同时发生吗？ 2.设设“出现奇数点或出现奇数点或2点点”的事件的事件C，它与它与A和和B之间有怎样的关系？之间有怎样的关系？1()2PA1()6P B1.事件事件A与事件与事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生，这种不不可能同时发生可能同时发生的两个事件叫做的两个事件叫做互斥事件互斥事件（或称互不相容事件）（或称互不相容事件）互斥事件互斥事件：AB注注:两个事件互斥的定义还可以

2、推广到两个事件互斥的定义还可以推广到n个事个事件中去件中去如如: “x0”是彼此互斥的是彼此互斥的.问：问：1. A、B两个事件能同时发生吗？两个事件能同时发生吗？练习：练习：对着飞机连续发射两次，每次发射一枚对着飞机连续发射两次，每次发射一枚炮弹，设炮弹，设A=两次都击中两次都击中,B两次都没有击中两次都没有击中，C恰有一弹击中飞机恰有一弹击中飞机,D=至少有一弹击中飞机至少有一弹击中飞机.其中彼此互斥的事件有哪几对其中彼此互斥的事件有哪几对?A与与BB与CA与CB与D 设事件设事件C为是一个随机事件为是一个随机事件. 事件事件C与事件与事件A、B的关系是：若事件的关系是：若事件A和事件和事

3、件B中至少有一个发生，则中至少有一个发生，则C发生；发生；若若C发生，则发生，则A，B中至少有一个发生，中至少有一个发生，我们称事件我们称事件C为为A与与B的的并并(或或和和) 如图中阴影部分所表示的就是如图中阴影部分所表示的就是AB. 问问: :2.2.设设“出现奇数点或出现奇数点或2 2点点”的事件的事件C C，它与它与A A和和B B之间有怎样的关系？之间有怎样的关系？2 2事件的并事件的并：AB在同一事件中在同一事件中，事件，事件 至少有一个发生，至少有一个发生，即表示事件即表示事件C C发生发生nAAA,2121nAAAC事件表示这样一个事件：表示这样一个事件：事件事件A AB B是

4、由事件是由事件A A或或B B所包含的基本事件所组成的集合所包含的基本事件所组成的集合. . 由事件由事件A A和和B B至少有一个至少有一个发生（即发生（即A A发发生，或生，或B B发生，或发生，或A A、B B都发生）所构成的事件都发生）所构成的事件C C，称为事件称为事件A A与与B B的并（或和）的并（或和）. .记作记作C=AB. 假定事件假定事件A与与B互斥，则互斥，则P(AB)=P(A)+P(B). 3. 互斥事件的概率加法公式互斥事件的概率加法公式 证明：假定证明：假定A、B为互斥事件，在为互斥事件，在n次试验次试验中，事件中，事件A出现的频数为出现的频数为n1，事件，事件B

5、出现的出现的频数为频数为n2，则事件，则事件AB出现的频数正好是出现的频数正好是n1+n2，所以事件，所以事件AB的频率为的频率为 1212nnnnnnn 如果用如果用n(A)表示在表示在n次试验中事件次试验中事件A出现出现的频率，则有的频率，则有n(AB)=n(A)+n(B). 由概率的统计定义可知，由概率的统计定义可知，P(AB)=P(A)+P(B).一般地，如果事件一般地，如果事件A1，A2，An彼此互彼此互斥，那么斥，那么P(A1A2An)=P(A1)+P(A2) +P(An)，即彼此互斥事件，即彼此互斥事件和的概率和的概率等等于于概率的和概率的和. 互斥事件的概率加法公式具有互斥事件

6、的概率加法公式具有“化化整为零、化难为易整为零、化难为易”的功效，但需要注的功效，但需要注意的是使用该公式时意的是使用该公式时必须检验是否满足必须检验是否满足它的前提条件它的前提条件“彼此互斥彼此互斥”.例例2 2： 在数学考试中，小明的成绩在数学考试中，小明的成绩在在9090分以上的概率是分以上的概率是0.180.18，在，在80808989分的概率是分的概率是0.510.51，在在70707979分的概率是分的概率是0.150.15，在，在60606969分的概率是分的概率是0.090.09，计算计算: :( (1).1).小明在数学考试中取得小明在数学考试中取得8080分以上成绩的概率分

7、以上成绩的概率 (2).(2).小明考试及格的概率？小明考试及格的概率？解：解： 分别记小明的成绩在分别记小明的成绩在90分以上，在分以上，在8089分，在分，在7079分，在分，在6069分为事件分为事件B，C，D，E，这四个事件，这四个事件是彼此互斥的是彼此互斥的. 根据概率的加法公式，小明的考试成绩在根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以分以上的概率是上的概率是P(BC)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.小明考试及格的概率为小明考试及格的概率为 P(BCDE)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.AAAA

8、若令“小明考试及格”，“小明考试不及格”问：与能同时发生吗？最多能发生几个？最少能发生几个？AAAAAA即必有一个发生，或且是互斥事件，与显然对立事件：AA事 件 A的 对 立 事 件 记 作 A不能同时发生且必有一个发生的两个事件对立事件的概率对立事件的概率 若事件若事件A的对立事件为的对立事件为A，则，则P(A)=1P(A).证明：事件证明：事件A与与A是互斥事件，所以是互斥事件，所以P(AA)=P(A)+P(A)，又，又AA=， 而由必然事件得到而由必然事件得到P()=1, 故故P(A)=1P(A).例例2 2： 在数学考试中，小明的成绩在数学考试中，小明的成绩在在9090分以上的概率是

9、分以上的概率是0.180.18，在，在80808989分的概率是分的概率是0.510.51，在在70707979分的概率是分的概率是0.150.15，在，在60606969分的概率是分的概率是0.090.09，计算计算 (2)(2)小明考试及格的概率？小明考试及格的概率？解：解： 分别记小明的成绩在分别记小明的成绩在90分以上，在分以上，在8089分，在分，在7079分，在分，在6069分为事件分为事件B，C，D，E，这四个事件，这四个事件是彼此互斥的是彼此互斥的.小明考试及格的概率为小明考试及格的概率为 P(BCDE)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) = 0.18+0.51+0.1

10、5+0.09=0.93.若令若令A=“小明考试及格小明考试及格”,则则A=“小明考试不及格小明考试不及格”如果求小明考试不及格的概率如果求小明考试不及格的概率P(A)=1P(A)=10.93=0.07.即小明考试不及格的概率是即小明考试不及格的概率是0.07.例例3. 判断下列给出的每对事件，（判断下列给出的每对事件，（1）是否为）是否为互斥事件，（互斥事件，（2）是否为对立事件，并说明理由）是否为对立事件，并说明理由. 从从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从点数从110各各4张）中，任取张）中，任取1张：张：（1）“抽出红桃抽出红桃”与与“抽出黑桃

11、抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌抽出红色牌”与与“抽出黑色牌抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为抽出的牌点数为5的倍数的倍数”与与“抽出的抽出的牌点数大于牌点数大于9”.解：（解：（1）是互斥事件，不是对立事件；）是互斥事件，不是对立事件；（2）既是互斥事件，又是对立事件；）既是互斥事件，又是对立事件；（3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件；）不是互斥事件，当然不可能是对立事件； 所以所以对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件定是对立事件.例例4. 某战士射击一次，问：某战士射击一次，问：(1)若事件若事件A=“中靶中靶”的概率为的概率为0.9

12、5，则，则A的概率为多少？的概率为多少？(2)若事件若事件B=“中靶环数大于中靶环数大于5”的概率为的概率为0.7 ，那么事件，那么事件C=“中靶环数小于中靶环数小于6”的概率为多少？的概率为多少？(3)事件事件D=“中靶环数大于中靶环数大于0且小于且小于6”的概率是多少？的概率是多少？ 解：因为解：因为A与与A互为对立事件，互为对立事件，(1)P(A)=1P(A)=0.05； (2)事件事件B与事件与事件C也是互为对立事件，也是互为对立事件，所以所以P(C)=1P(B)=0.3；(3)事件事件D的概率应等于中靶环数小于的概率应等于中靶环数小于6的概率的概率减去未中靶的概率，即减去未中靶的概率

13、，即P(D)=P(C)P(A)=0.30.05=0.25例例5. 盒内装有各色球盒内装有各色球12只，其中只，其中5红、红、4黑、黑、2白、白、1绿，绿，从中取从中取1球，设事件球，设事件A为为“取出取出1只红球只红球”，事件，事件B为为“取出取出1只黑球只黑球”，事件，事件C为为“取出取出1只白球只白球”，事件，事件D为为“取出取出1只绿球只绿球”.已知已知P(A)= ，P(B)= , P(C)= ，P(D)= ， 求：求： （1）“取出取出1球为红或黑球为红或黑”的概率；的概率； （2）“取出取出1球为红或黑或白球为红或黑或白”的概率的概率.5121316112解解:(1)“取出红球或黑球

14、取出红球或黑球”的概率为的概率为P(AB)=P(A)+P(B)=43(2)“取出红或黑或白球取出红或黑或白球”的概率为的概率为P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=1112法法2:ABC的对立事件为的对立事件为D，所以所以P(ABC)=1P(D)= 即为所求即为所求.：1112例例6. 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4，（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；）求他乘火车或乘飞机去的概率；（2）求他不乘轮船去的概率；）求他不乘轮船去的概率；（3）如果他乘某种交通工具去开会的概率为）如果

15、他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请，请问他有可能是乘何种交通工具去的？问他有可能是乘何种交通工具去的？ 解：记解：记“他乘火车去他乘火车去”为事件为事件A，“他乘轮船去他乘轮船去”为事件为事件B，“他乘汽车去他乘汽车去”为事件为事件C，“他乘飞机去他乘飞机去”为事件为事件D，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，互斥， （1）故）故P(AC)=0.4； （2）设他不乘轮船去的概率为）设他不乘轮船去的概率为P，则，则P=1P(B)=0.8； （3）由于）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有可能乘火车，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可

16、能乘汽车或乘飞机去或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.1.某射手在一次射击中射中某射手在一次射击中射中10环、环、9环、环、8环、环、7环、环、7环以下的概率分别为环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一计算这个射手在一次射击中：次射击中：（1）射中）射中10环或环或9环的概率，环的概率，（2）至少射中）至少射中7环的概率；环的概率；（3）射中环数不足）射中环数不足8环的概率环的概率. 0.520.870.29练习题：练习题：2从从1，2，9中任取两数，其中：中任取两数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有至少有一个

17、奇数和两个都是奇数；一个奇数和两个都是奇数；至少有一个至少有一个奇数和两个都是偶数；奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数至少有一个奇数和至少有一个偶数和至少有一个偶数.在上述事件中，是对在上述事件中，是对立事件的是（立事件的是（ ） （A） （B） （C） （D）C3.甲、乙甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是人下棋，下成和棋的概率是 ,乙获胜的概率是乙获胜的概率是 ，则甲不胜的概率是，则甲不胜的概率是（ ） A. B. C. D. 121312561623B4. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件取两个球，那么互斥而不对立的两个

18、事件是（是（ ）A.“至少有一个黑球至少有一个黑球”与与“都是黑球都是黑球”B.“至少有一个黑球至少有一个黑球”与与“至少有一个红至少有一个红球球”C.“恰有一个黑球恰有一个黑球”与与“恰有两个黑球恰有两个黑球”D.“至少有一个黑球至少有一个黑球”与与“都是红球都是红球” C5.抽查抽查10件产品，设事件件产品，设事件A：至少有两件：至少有两件次品，则次品，则A的对立事件为（的对立事件为（ ） A. 至多两件次品至多两件次品 B. 至多一件次品至多一件次品 C. 至多两件正品至多两件正品 D. 至少两件正品至少两件正品B6. 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量从一批羽毛球产品中任取一个，其质量

19、小于小于4.8 g的概率为的概率为0.3，质量小于，质量小于4.85 g的的概率为概率为0.32，那么质量在，那么质量在4.8，4.85) (g)范范围内的概率是围内的概率是 （ ） A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68C7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为率为0.03、丙级品的概率为、丙级品的概率为0.01，则对成，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（品抽查一件抽得正品的概率为（ ） A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96D8.某射手射击一次击中某射

20、手射击一次击中10环、环、9环、环、8环的环的概率分别是概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一，那么他射击一次不够次不够8环的概率是环的概率是 . 0.29. 某人在打靶中，连续射击某人在打靶中，连续射击2次，事件次，事件“至少有一次中靶至少有一次中靶”的互斥事件的互斥事件是是 .两次都不中靶两次都不中靶10. 我国西部一个地区的年降水量在下列我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：区间内的概率如下表所示：年降水量年降水量/mm100，150）150，200）200，250）250，300概率概率0.210.160.130.12则年降水量在则年降水量在200，300（mm）范围内）范围内的概率是的概率是_.0.251、投掷一枚硬币，考察正面还是反面朝上。、投掷一枚硬币，考察正面还是反面朝上。 A=正面朝上正面朝上 ，B=反面朝上反面朝上 A，B是对立事件是对立事件A，B是互斥（事件）是互斥（事件）2、某人对靶射击一次，观察命中环数、某人对靶射击一次，观察命中环数 A =“命中偶数环命中偶数环” B =“命中奇数环命中奇数环” C =“命中命中 0 数环数环”A，B