《工程电磁场》课件 第二章 静电场(二)

1、大理大学工程学院罗凌霄编修1第二章第二章 静静 电电 场场(二二)大理大学工程学院大理大学工程学院 罗凌霄编修罗凌霄编修大理大学工程学院罗凌霄编修22-1 2-1 静电场的唯一性定理及其应用静电场的唯一性定理及其应用2-2 2-2 平行双电轴法平行双电轴法 2-3 2-3 无限大导电平面的镜像法无限大导电平面的镜像法 2-4 2-4 球形导体面的镜像球形导体面的镜像2-5 2-5 无限大介质交界平面的镜像无限大介质交界平面的镜像2-6 2-6 电容与电容的计算电容与电容的计算 2-7 2-7 双输电线的电容双输电线的电容 2-8 2-8 多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容 2-9 2-9

2、 带电导体系统的电场能量及其分布带电导体系统的电场能量及其分布2-10 2-10 虚位移法计算电场力虚位移法计算电场力 大理大学工程学院罗凌霄编修32-1 静电场的唯一性定理及其应用静电场的唯一性定理及其应用处理静电问题总是根据一定条件去解泊松方程。处理静电问题总是根据一定条件去解泊松方程。静电学中许多问题都涉及到有限空间区域，在静电学中许多问题都涉及到有限空间区域，在区域内可以有电荷，也可以没有电荷，但都具区域内可以有电荷，也可以没有电荷，但都具有确定的边界条件。现在有这样一个问题：要有确定的边界条件。现在有这样一个问题：要使区域内存在使区域内存在唯一的、合理的解唯一的、合理的解，问适合泊松

3、，问适合泊松方程的边界条件是什么？唯一性定理回答了这方程的边界条件是什么？唯一性定理回答了这个问题。个问题。大理大学工程学院罗凌霄编修4一、静电问题的唯一性定理一、静电问题的唯一性定理下面研究可以均匀分区的区域下面研究可以均匀分区的区域V，即，即V可以分为若可以分为若干个均匀区域干个均匀区域Vi，每一均匀区域的电容率为，每一均匀区域的电容率为i 。V内有给定的自由电荷分布内有给定的自由电荷分布 。)(x（i）电位）电位（ii）电位的法向导数）电位的法向导数 （“诺伊曼诺伊曼”边界条件边界条件）或或SnS则则V内的电场唯一地确定。内的电场唯一地确定。若给定若给定V 的边界的边界S上上可以证明可以

4、证明（“狄利赫希狄利赫希”边界条件）边界条件）或或混合边界条件，混合边界条件，第二类边值问题第二类边值问题第一类边值问题第一类边值问题大理大学工程学院罗凌霄编修5域域Vi内满足泊松方程内满足泊松方程 , ,并在并在V的边界的边界S上满足给定的上满足给定的值。值。 或或SSni/2在两均匀区域分界面上满足在两均匀区域分界面上满足边值关系边值关系,ij,ijijjiijnn也就是说，在也就是说，在V内存在唯一的解内存在唯一的解 ，它在每个均匀区，它在每个均匀区大理大学工程学院罗凌霄编修6 如图，设在某区域如图，设在某区域V内有一些导体，扣除导体外内有一些导体，扣除导体外表面内所围区域以后剩下的区域

5、为表面内所围区域以后剩下的区域为V。设。设V内给定电内给定电介质分布、给定自由电荷分布介质分布、给定自由电荷分布，S上给定了上给定了二、有导体存在时的唯一性定理二、有导体存在时的唯一性定理或或SSn 当有导体存在时，由实践经当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所验我们知道，为了确定电场，所需要条件有两种类型：需要条件有两种类型：一类是给一类是给定每个导体上的电位定每个导体上的电位 ；另一类；另一类是给定每个导体上的总自由电量是给定每个导体上的总自由电量Qi。i大理大学工程学院罗凌霄编修7对于有导体存在时的第二种类型的问题，可以证对于有导体存在时的第二种类型的问题，可以证明，唯一性

6、定理表述如下：设区域明，唯一性定理表述如下：设区域V内有一些导体，内有一些导体，给定导体之外的给定导体之外的电介质分布和电介质分布和自由电荷分布，给自由电荷分布，给定各导体上的总自由电量定各导体上的总自由电量Qi以及以及V的边界的边界S上的上的或或/n 值，则值，则V内的电场唯一地确定。内的电场唯一地确定。当每个导体上的电位当每个导体上的电位i 给定时给定时（即给出了（即给出了V所有所有边界上的边界上的或或/n值），值），由唯一性定理可知，由唯一性定理可知，V内的电场唯一地被确定。内的电场唯一地被确定。大理大学工程学院罗凌霄编修8在第在第i个导体上满足总自由电荷条件：个导体上满足总自由电荷条件

7、：和等势面条件：和等势面条件：以及在以及在V的边界的边界S上具有给定的上具有给定的|S或或(/n)|S值。值。diiSSQn 也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程方程i2在两均匀区域分界面上满足在两均匀区域分界面上满足边值关系边值关系,ij( (这里的法向指导体表面的外法向这里的法向指导体表面的外法向) ),ijijjiijnniiS常量常量大理大学工程学院罗凌霄编修9静电场唯一性定理的简明表述：静电场唯一性定理的简明表述：（i）电位）电位 ,（ii）电位的法向方向导数）电位的法向方向导数 ,或或SnS若区域内有导体存在，还要给定各导体的

8、电位或各若区域内有导体存在，还要给定各导体的电位或各导体所带的自由电量导体所带的自由电量,则则V内的电场唯一地确定。内的电场唯一地确定。注：对于空心的导体，前面所说的给定导体所带的注：对于空心的导体，前面所说的给定导体所带的自由电量应改为给定导体的外表面所带的自由电量。自由电量应改为给定导体的外表面所带的自由电量。若区域若区域V内给定电介质分布和自由电荷分布内给定电介质分布和自由电荷分布( x ) ，在在V的边界的边界S上给定上给定大理大学工程学院罗凌霄编修101、如果、如果V内有闭合的等位面，内有闭合的等位面，或者有不闭合的等或者有不闭合的等位面和不被电位移线穿过的曲面位面和不被电位移线穿过

9、的曲面组成组成的闭合曲面，的闭合曲面，并且这个闭合曲面内（包括闭合曲面上）的总自并且这个闭合曲面内（包括闭合曲面上）的总自由电量给定，由电量给定，或者电位移穿出这个闭合曲面或者或者电位移穿出这个闭合曲面或者它外面无限贴近它的闭合曲面的通量给定，它外面无限贴近它的闭合曲面的通量给定，那么那么V内扣除这个闭合曲面内所围空间后剩余区域内扣除这个闭合曲面内所围空间后剩余区域V内内的电场唯一地确定。的电场唯一地确定。2、如果、如果V的边界面上、内部以及内部的导体上没的边界面上、内部以及内部的导体上没有一处给定电位，那么有一处给定电位，那么V内内的电场强度唯一地确定，的电场强度唯一地确定，但电位但电位不能

10、完全确定，不能完全确定，可以相差一个常量。可以相差一个常量。补充说明：补充说明：在上述前提条件下：在上述前提条件下：大理大学工程学院罗凌霄编修11如果如果V的边界等位面的边界等位面S的电位给定，那么的电位给定，那么V内的电场内的电场强度和电位都唯一地确定；如果强度和电位都唯一地确定；如果V的边界等位面的边界等位面S的电位没有给定，那么的电位没有给定，那么V内的电场强度内的电场强度唯一地确定唯一地确定，但电位不能完全确定，但电位不能完全确定， 可以相差一个常量。可以相差一个常量。唯一性定理还有特殊情形的表述：唯一性定理还有特殊情形的表述：若区域若区域V内给定电介质分布和自由电荷分布内给定电介质分

11、布和自由电荷分布( x ),而而V的边界面的边界面S是一个等位面，那么是一个等位面，那么V内的电场唯一内的电场唯一地确定。地确定。这个唯一性定理的表述可以用来解释静电屏蔽现这个唯一性定理的表述可以用来解释静电屏蔽现象。象。大理大学工程学院罗凌霄编修12三、唯一性定理的意义 更重要的是它具有十分重要的实用价值。更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程、采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程、边值关系和给定边界条件，则该解就是唯一的边值关系和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可因此对于许多具有对称性的问题，可以

12、不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通通过过提出尝试解，提出尝试解，然后验证是否然后验证是否满足泊松方程、满足泊松方程、边值关系和边界条件边值关系和边界条件。满足。满足即为即为唯一唯一解，若不解，若不满足，可以加以修改满足，可以加以修改。 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电电 场强度场强度指明了方向。指明了方向。大理大学工程学院罗凌霄编修13唯一性定理的应用唯一性定理的应用等位面法等位面法 根据唯一性定理，根据唯一性定理，若沿若沿场的等位面的任意一侧，填充导电媒质，则等位面另一场的等位面的任意一侧，填充导电媒质，

13、则等位面另一侧的电场保持不变侧的电场保持不变。如图如图2-4为两平行输电线的电场，若为两平行输电线的电场，若沿场中任一等位面沿场中任一等位面k的一侧的一侧( (这里我们沿其内侧这里我们沿其内侧) )填充导电填充导电媒质媒质(见图见图2-5),则导电媒质以外的另一侧则导电媒质以外的另一侧,其电场不变。其电场不变。图图2-4 两平行输电线的电场两平行输电线的电场图图2-5 沿场的等位面一侧，沿场的等位面一侧，填充导电媒质后的电场填充导电媒质后的电场大理大学工程学院罗凌霄编修14因为这样处理之后因为这样处理之后：1.它保持了另一侧场的边界形状及介质分布不变它保持了另一侧场的边界形状及介质分布不变,且

14、对另且对另一侧场而言一侧场而言,边界仍为等位面。填充导电媒质后边界仍为等位面。填充导电媒质后,边界上边界上的总自由电荷量等于填充导电媒质前边界上所穿过的总的总自由电荷量等于填充导电媒质前边界上所穿过的总电位移通量电位移通量,即即 ,亦即边界条件没有变化。亦即边界条件没有变化。2.它保持了另一侧场的自由电荷分布不变。它保持了另一侧场的自由电荷分布不变。因而根据因而根据唯一性定理唯一性定理，另一侧的场没有变化。，另一侧的场没有变化。由于这一由于这一方法是沿等位面填充导电介质，因而称之为等位面法。方法是沿等位面填充导电介质，因而称之为等位面法。ddDSSn大理大学工程学院罗凌霄编修15例例2-12-

15、1 静电场唯一性定理在解释静静电场唯一性定理在解释静电屏蔽现象中的应用。电屏蔽现象中的应用。解解 在物理学中，已知在物理学中，已知静电屏蔽现象静电屏蔽现象：(1)(1)接地的封闭导体壳内的电荷不影接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场响壳外的电场；(2)(2)封闭导体壳无论封闭导体壳无论是否接地，壳内的电场都不受壳外电是否接地，壳内的电场都不受壳外电荷的影响荷的影响。作为唯一性定理的应用，。作为唯一性定理的应用，我们来讨论上述结论。我们来讨论上述结论。图图2-6(a)2-6(a)表示一种情形。设封闭导体表示一种情形。设封闭导体壳的外表面为壳的外表面为S S1 1，对于壳外区域而言，对于壳外区

16、域而言，它是一个边界面。无论壳内电荷它是一个边界面。无论壳内电荷q q1 1在在数量上增减或作位置上的移动，由于数量上增减或作位置上的移动，由于导体壳接地，恒有导体壳接地，恒有 ，始终没有，始终没有改变壳外区域边界面上的边界条件。改变壳外区域边界面上的边界条件。因此在这种情况下，壳内的电荷不影因此在这种情况下，壳内的电荷不影响壳外的电场。响壳外的电场。10S图图2-6 例例2-1图图大理大学工程学院罗凌霄编修161dSSqn 图图2-6(b)表示第二种情形。设封闭导体壳表示第二种情形。设封闭导体壳的内表面为的内表面为S2 2，对于壳内区域而言它是一，对于壳内区域而言它是一个边界面。首先，个边界

17、面。首先，S2 2是一个等位面。其次，是一个等位面。其次，若在壳内紧贴若在壳内紧贴S2 2作一高斯面作一高斯面S，则有，则有即电位移矢量即电位移矢量 的通量为的通量为q1 1。因此以。因此以S2 2作为导体壳内作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅决定于导体电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯根据唯一性定理一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可以相差一个常数，但是电场强度是唯一确电位函数可以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受

18、导体壳外电荷定的。它不受导体壳外电荷q2 2的影响。的影响。如果导体壳接如果导体壳接地，地，这时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。这时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。总之，总之，在第二种情况下，导体壳内的电场不受壳外电荷的影在第二种情况下，导体壳内的电场不受壳外电荷的影响。响。D大理大学工程学院罗凌霄编修17如图如图2-7所示，两平行输电线表面电荷分布是所示，两平行输电线表面电荷分布是不不均匀的均匀的。为了计算它们在周围空间激发的电场，人。为了计算它们在周围空间激发的电场，人们找到了们找到了平行双电轴法平行双电轴法。2-2 2-2 平行双电轴法平行双电轴法平行双电轴电场法平行双电轴电场法图图

19、2-7 两平行输电线表面两平行输电线表面电荷分布电荷分布图图2-8 两电轴外任意两电轴外任意一点一点P的电场的电场平行双电轴电场平行双电轴电场是一个平行平面场，在垂直于电是一个平行平面场，在垂直于电轴的各个平面上，场有完全相同的分布图形。轴的各个平面上，场有完全相同的分布图形。大理大学工程学院罗凌霄编修18设介质电容率为设介质电容率为0的空间有两无限长平行电轴，的空间有两无限长平行电轴，两电轴所带有的电荷线密度分别为两电轴所带有的电荷线密度分别为01012ERR 02022ERR ,.(2-1)(2-2) 由高斯定理可得两电轴分别产生的电场强度由高斯定理可得两电轴分别产生的电场强度表达式为表达

20、式为图图2-8 两电轴外任意一点两电轴外任意一点P的电场的电场大理大学工程学院罗凌霄编修19111/2/2/21000dddlnln2222DDDPRRRRRRDERee RRRR222/2/2/22000dddlnln2222DDDPRRRRRRDERee RRRR120201lnlnlnln222ln2PPPDDRRRR（2-5）图图2-8 两电轴外任意一点两电轴外任意一点P的电场的电场由叠加原理，点由叠加原理，点P的电位为的电位为(2-4)(2-3)选取坐标轴的原点选取坐标轴的原点O为零电位点为零电位点 ，两电轴各自在，两电轴各自在点点P激发的电位分别为激发的电位分别为在等位面上，在等位

21、面上，R2/R1是一是一常数。常数。大理大学工程学院罗凌霄编修20图图2-9 平行双电轴电场平行双电轴电场等位线的分布规律等位线的分布规律 由平面几何可知，一个由平面几何可知，一个动点到两个定点距离之比动点到两个定点距离之比R2/R1=K(常数常数)，则它的轨，则它的轨迹为圆。圆的半径和圆心迹为圆。圆的半径和圆心位置由位置由K和和两个定点间的两个定点间的距离决定。圆心位置在两距离决定。圆心位置在两定点连线的延长线上。定点连线的延长线上。K1和和Kq。接地导体球对点电荷的镜像接地导体球对点电荷的镜像图图2-22 接地导体球邻近点电荷时产生的感应电荷接地导体球邻近点电荷时产生的感应电荷大理大学工程

22、学院罗凌霄编修38图图2-23 接地导体球对点电荷的镜像接地导体球对点电荷的镜像 若此时将球与地联接，则球面所感应的正电荷将若此时将球与地联接，则球面所感应的正电荷将受电场力的作用而流入地中，球体净剩分布于其表面受电场力的作用而流入地中，球体净剩分布于其表面的感应负电荷，球面电位为零。按镜象法原理将导体的感应负电荷，球面电位为零。按镜象法原理将导体球撤去，使整个空间充以电容率为球撤去，使整个空间充以电容率为0的同一媒质，并的同一媒质，并在距球心在距球心b处，置一虚拟的集中镜象电荷处，置一虚拟的集中镜象电荷-q，来代替，来代替球面分布电荷的作用。若此时仍能保持球面的电位为球面分布电荷的作用。若此

23、时仍能保持球面的电位为零，则球面以外的电场，可视为点电荷零，则球面以外的电场，可视为点电荷q及及-q所共同所共同产生的电场，运用点电荷场强公式及叠加原理，即可产生的电场，运用点电荷场强公式及叠加原理，即可求解。求解。大理大学工程学院罗凌霄编修390442010RqRqp (2-15) 设球面电位为零，因而在截取的平面上，对于以设球面电位为零，因而在截取的平面上，对于以R为半径的圆周上的任意点为半径的圆周上的任意点P，其电位表达式为，其电位表达式为qqRR12 R2及及R1分别为点分别为点P至点电荷至点电荷-q及及q的距离。由于的距离。由于点电荷点电荷q为确定值，为确定值，q亦必为确定值，故有亦

24、必为确定值，故有 在圆上选取两特殊点在圆上选取两特殊点C及及DkqqRR12(常数)(2-16)RdbRRdbRk(2-18) (2-17)解上式得解上式得 b=R2/d大理大学工程学院罗凌霄编修402RRdRbRqqqqdRdRd (2-19) 可以验证在点电荷可以验证在点电荷q和和-q的共同作用下，原导体球面的共同作用下，原导体球面上任一动点上任一动点P处的电位为零。这样在求得处的电位为零。这样在求得q与与b值之后，值之后，就可解决求解导体球外部电场的问题。就可解决求解导体球外部电场的问题。分析：分析：（1）当距离）当距离d一定时导体球半径一定时导体球半径R愈大则镜象电荷愈大则镜象电荷q亦

25、愈大。这是因为半径愈大时，球面愈大，它离点电亦愈大。这是因为半径愈大时，球面愈大，它离点电荷荷q愈近，所受电场力愈大，因而球面上感应电荷亦愈近，所受电场力愈大，因而球面上感应电荷亦愈多。同理，当愈多。同理，当R一定时一定时d愈大，球面离点电荷距离愈大，球面离点电荷距离愈远，球面所受电场力亦愈小，故球面感应电荷愈小。愈远，球面所受电场力亦愈小，故球面感应电荷愈小。由式由式(2-16)进一步可得进一步可得 /qqR d 大理大学工程学院罗凌霄编修41（2）当导体球半径愈大时，靠近点电荷）当导体球半径愈大时，靠近点电荷q一侧的导体一侧的导体球面其所感应的电荷愈密集，因而与球面感应电荷相等球面其所感应

26、的电荷愈密集，因而与球面感应电荷相等效的镜象电荷效的镜象电荷q的位置将愈靠近点电荷的位置将愈靠近点电荷q之一侧，亦即之一侧，亦即b愈大；当点电荷愈大；当点电荷q远离导体球时，球面感应电荷的密集远离导体球时，球面感应电荷的密集程度减少，整个球面上感应电荷面密度愈来愈均匀，因程度减少，整个球面上感应电荷面密度愈来愈均匀，因而镜象电荷将愈靠近导体球心，即而镜象电荷将愈靠近导体球心，即b随距离随距离d的增大而减的增大而减小。小。（3）若运用等位面法考虑上述问题时，可以认为图）若运用等位面法考虑上述问题时，可以认为图2-22乃是图乃是图2-23沿等位球面填充导电媒质所得。当沿等沿等位球面填充导电媒质所得

27、。当沿等位球面填充导电媒质后，电荷位球面填充导电媒质后，电荷q即转移至导体球表面，即转移至导体球表面，此时导体球外侧的电场仍保持不变，亦即球外的电场，此时导体球外侧的电场仍保持不变，亦即球外的电场，可以视为两点电荷可以视为两点电荷(-q及及q)的电场进行求解。的电场进行求解。b=R2/d 大理大学工程学院罗凌霄编修42不接地导体球对点电荷的镜像不接地导体球对点电荷的镜像 若引入点电荷场中的若引入点电荷场中的导体球不接地，可知导体表面的边界条件导体球不接地，可知导体表面的边界条件:)球面为球面为等位面；等位面；)因导体球原不带电，引入电场后，其所因导体球原不带电，引入电场后，其所感应的正电荷量与

28、负电荷量相等，故球面总电荷量为感应的正电荷量与负电荷量相等，故球面总电荷量为零。零。 若在前面所讨论的基础上，于球心若在前面所讨论的基础上，于球心O处放置一点处放置一点电荷电荷q，则能满足上述的边界条件。这样导体球外的，则能满足上述的边界条件。这样导体球外的电场，即可看为由点电荷电场，即可看为由点电荷q、q及及-q三者所共同激发三者所共同激发的电场。的电场。图图2-24 不接地导体球对点电荷的镜像不接地导体球对点电荷的镜像大理大学工程学院罗凌霄编修43例例2-4 空气中有一内外半径空气中有一内外半径分别为分别为R11和和R22的导体球壳原的导体球壳原不带电，其内腔介质为不带电，其内腔介质为0，

29、若，若于壳内距球心为于壳内距球心为b处放置点电处放置点电荷荷q，求球壳内外的电场强度，求球壳内外的电场强度和电位。和电位。解解 点电荷点电荷q在球壳的内、外在球壳的内、外表面上感应电荷分别为表面上感应电荷分别为-q和和q。可以证明球壳外表面的电荷可以证明球壳外表面的电荷q是均匀分布的。壳外的电场是均匀分布的。壳外的电场完全由这些均匀分布的感应完全由这些均匀分布的感应电荷所激发，因此得到壳外电荷所激发，因此得到壳外的电场强度的电场强度图图2-25 例例2-4图图0204qERR外大理大学工程学院罗凌霄编修44 电位为电位为 (RR22)，其中，其中R为球心到场点为球心到场点的距离，的距离， 为单

30、位矢量。球壳内表面作不均匀分布的为单位矢量。球壳内表面作不均匀分布的感应电荷感应电荷-q和点电荷和点电荷q只在球壳内部激发电场，壳内只在球壳内部激发电场，壳内的电场使得半径为的电场使得半径为R11的内球面为等位面和从空腔进的内球面为等位面和从空腔进入内球面的电位移入内球面的电位移 的通量为的通量为q。 仿照求解导体球外电场时在球内设置镜象电荷的仿照求解导体球外电场时在球内设置镜象电荷的方法求解球面内的电场，在内球面外设置镜象电荷方法求解球面内的电场，在内球面外设置镜象电荷-q，如图如图(b)所示。所示。D0R04qR外大理大学工程学院罗凌霄编修45由式由式(2-18)、式、式(2-19)，令，

31、令则点电荷则点电荷-q和和q使得半径为使得半径为R11的球面电位为零，满足的球面电位为零，满足等位面的要求，并且没有改变进入内球面的电位移等位面的要求，并且没有改变进入内球面的电位移 的通量。所以球面外镜象电荷的通量。所以球面外镜象电荷-q可以代替分布的感应可以代替分布的感应电荷，它们在球面内任一点电荷，它们在球面内任一点P所产生的电场强度为所产生的电场强度为211,Rdb1111RdqqqRbD00001111222020102022444RRqqqERRRRRRbR内大理大学工程学院罗凌霄编修46式中，式中，R1、R2分别是点电荷分别是点电荷q、-q到场点到场点P的距离，的距离， 为相应的

32、单位矢径。球内点为相应的单位矢径。球内点P处的电位应由此处的电位应由此两点电荷所产生的电位，及导体球壳电位叠加而成。两点电荷所产生的电位，及导体球壳电位叠加而成。0102,RR110102022444RqqqRRbR内大理大学工程学院罗凌霄编修472-5 无限大介质交界平面的镜像无限大介质交界平面的镜像 设有电容率分别为设有电容率分别为1及及2的媒质区域，区域交界处的媒质区域，区域交界处为无限大平面，若在媒质为无限大平面，若在媒质1中，离界面高度中，离界面高度h处，置一处，置一点电荷点电荷q，欲求此时上、下半无限大场域的电场。，欲求此时上、下半无限大场域的电场。求解上半场域时，将下半场域媒质，

33、换成电容率为求解上半场域时，将下半场域媒质，换成电容率为1的的媒质，且在边界外点电荷媒质，且在边界外点电荷q的镜像位置处，放置一未知的镜像位置处，放置一未知点电荷点电荷q，以期代替交界面上的束缚电荷对上半空间的，以期代替交界面上的束缚电荷对上半空间的影响。影响。图图2-26 介质交界面介质交界面 外的点电荷外的点电荷图图2-27 交界面上束缚电交界面上束缚电荷用镜像电荷荷用镜像电荷 q来代替来代替大理大学工程学院罗凌霄编修48求解下半场域时，将上半场域的媒质换成电容率为求解下半场域时，将上半场域的媒质换成电容率为2的媒质，在边界外点电荷的媒质，在边界外点电荷q处，置换一未知镜像点电荷处，置换一

34、未知镜像点电荷q，以期代替，以期代替q和交界面上的束缚电荷对下半空间的影和交界面上的束缚电荷对下半空间的影响。响。图图2-28 交界面上的束缚电荷交界面上的束缚电荷 和原电荷用和原电荷用q来代替来代替图图2-26 介质交界面介质交界面 外的点电荷外的点电荷并考虑到无限远电位为零的条件并考虑到无限远电位为零的条件( )，就能运，就能运用点电荷公式，求得紧贴交界面的任意点处的场量。用点电荷公式，求得紧贴交界面的任意点处的场量。对于（图对于（图2-27）媒质）媒质1中紧贴界面的点中紧贴界面的点P有有0大理大学工程学院罗凌霄编修491n22sinsin44qqDRR(2-20)11144qqRR(2-

35、21)对于图对于图2-28媒质电容率为媒质电容率为2中的紧贴界面的点中的紧贴界面的点P有有2n2sin4qDR224qR(2-22)(2-23)12121n2nDD121221qqq 根据边值关系：根据边值关系：得得(2-24)(2-25)112qqqne大理大学工程学院罗凌霄编修50联立求解式联立求解式(2-24)和式和式(2-25)得得qq2121qq2122 (2-27)图图2-28 交界面上的束缚电交界面上的束缚电荷和原电荷荷和原电荷q用用q来代替来代替图图2-27 交界面上束缚电交界面上束缚电荷用镜像电荷荷用镜像电荷q来代替来代替图图2-29 介质交界面上介质交界面上 的极化电荷的极

36、化电荷(2-26)大理大学工程学院罗凌霄编修51 从上两式可以求出镜像电荷，且有唯一确定的值，从上两式可以求出镜像电荷，且有唯一确定的值，可分别用来求解上半场域与下半场域的电场可分别用来求解上半场域与下半场域的电场。 容易理解，此解容易理解，此解 在上半空间和下半空间都满足在上半空间和下半空间都满足泊松方程泊松方程 ，在无限远处满足边界条件，在无限远处满足边界条件 ,在分界面处满足边值关系在分界面处满足边值关系 ， 。根据唯一性定理，在边界面上只要有根据唯一性定理，在边界面上只要有一处给出了电位一处给出了电位，那么那么同时满足泊松方程、边值关同时满足泊松方程、边值关系和边界条件的函数系和边界条

37、件的函数 = (x,y,z)就就是唯一正确的解是唯一正确的解,而而不用管我们是通过何种方式构造出这个函数的。所以不用管我们是通过何种方式构造出这个函数的。所以我们通过上述方法得出的我们通过上述方法得出的 = = ( (x,y,z) )就就是唯一正确的解。是唯一正确的解。0S12121n2nDD1212212 大理大学工程学院罗凌霄编修52图图2-30 平行于介质交平行于介质交界面的线分布电荷界面的线分布电荷图图2-31 线分布电荷在两种线分布电荷在两种不同介质中的电场不同介质中的电场当当12时，时，q=0，q=q，整场域变为均匀媒质场域，整场域变为均匀媒质场域，束缚电荷将不复存在。束缚电荷将不

38、复存在。 如图例如图例2-30所示无限大介质平面上，置有一带电长所示无限大介质平面上，置有一带电长直导线的电场，即可运用上述方法求解。直导线的电场，即可运用上述方法求解。大理大学工程学院罗凌霄编修53解解 比照点电荷对无限大介质比照点电荷对无限大介质分界平面的镜象，将式分界平面的镜象，将式(2-27)推广到线电荷的情形。由于推广到线电荷的情形。由于Rh ，可将导线表面电荷视，可将导线表面电荷视为集中到几何轴线上的线电荷。为集中到几何轴线上的线电荷。求水中电场时，将上半空间的求水中电场时，将上半空间的媒质换为媒质换为800，而导线的电荷，而导线的电荷连同交界面上分布的极化电连同交界面上分布的极化

39、电荷可等效为荷可等效为。图图2-32 例例2-5图图例例2-5 离河面高度为离河面高度为h处，有一输电线经过，导线单位处，有一输电线经过，导线单位长度的电荷量长度的电荷量，且导线半径，且导线半径Rh。设河水的电容率。设河水的电容率为为800，求水中的电场强度。，求水中的电场强度。0212002 8021608081 水很深，且水很深，且P点到水面的距点到水面的距离远小于水的离远小于水的深度。深度。大理大学工程学院罗凌霄编修54022222202222022()216081 28081xyxyxyRERRR Rxeyh eRxyheeRRxyheexyhxyh故水中任一点故水中任一点P(x，y)

40、的电场强度的电场强度0R大理大学工程学院罗凌霄编修55UQC (2)孤立导体电容的定义：孤立导体电容的定义：当空间仅存有一孤立当空间仅存有一孤立导体时，可设另一导体在无限远处，因而孤立导体导体时，可设另一导体在无限远处，因而孤立导体的电容即是导体所带的电量与其电位之比。的电容即是导体所带的电量与其电位之比。即即 电容电容 (1)双导体电容的定义：双导体电容的定义：设空间仅有两导体，若设空间仅有两导体，若两导体分别带有等值而异号的电荷，此电荷的量值两导体分别带有等值而异号的电荷，此电荷的量值q与两导体间电压与两导体间电压U之比，定义为两导体间的电容，之比，定义为两导体间的电容，通通常以常以C表示

41、表示 (2-28)(2-29)QC2-6 电容与电容的计算电容与电容的计算大理大学工程学院罗凌霄编修56RC04 式中：式中：R为孤立导体球的半径；为孤立导体球的半径；0为空间媒质的电为空间媒质的电容率。在国际单位制中电容的单位为法拉容率。在国际单位制中电容的单位为法拉(F) 。 1F是一个非常大的量。由孤立圆球的电容计算得，是一个非常大的量。由孤立圆球的电容计算得，地球的电容量等于万分之七地球的电容量等于万分之七F。实用中常采用微法。实用中常采用微法(10-6F或表为或表为FF)或皮法或皮法(10-12F或表为或表为pF)。 在线性媒质中，两导体间的电容仅决定于两导体本在线性媒质中，两导体间

42、的电容仅决定于两导体本身几何尺寸、相互位置和空间媒质的电容率的量，而身几何尺寸、相互位置和空间媒质的电容率的量，而与两导体所带的电量以及两导体间电压的数值无关与两导体所带的电量以及两导体间电压的数值无关。 孤立导体球的电容计算公式孤立导体球的电容计算公式(2-30)可看到上述特征。可看到上述特征。 (2-30)大理大学工程学院罗凌霄编修57dlUEl电容的求解方法电容的求解方法 从电容的定义式可知，欲求两导体从电容的定义式可知，欲求两导体间电容，可先赋予两导体以等值而异号的电量间电容，可先赋予两导体以等值而异号的电量q，再求在其作用下，两导体间的电压再求在其作用下，两导体间的电压U，然后按定义

43、式，然后按定义式(2-28)即可求得两导体间电容即可求得两导体间电容C。此时两导体间电压。此时两导体间电压可通过积分式求得。可通过积分式求得。(2-31) 根据电容的定义式，也可先赋予两导体以电压根据电容的定义式，也可先赋予两导体以电压U，再求在此情况下，每导体所具有的电量再求在此情况下，每导体所具有的电量q，同样按式，同样按式(2-28)求得两导体间电容求得两导体间电容C。每导体所具有的电量，。每导体所具有的电量，可通过积分式求得。可通过积分式求得。(2-32)nddSSqSES大理大学工程学院罗凌霄编修58即即 ，那么满足要求的球形电容器的半径比那么满足要求的球形电容器的半径比R2/R11

44、01。例例2-6 球形电容器的内球壳外半径为球形电容器的内球壳外半径为R1，外球壳的内半，外球壳的内半径为径为R2,介质的电容率为介质的电容率为0。要使得这一电容器的电容与。要使得这一电容器的电容与空气中半径为空气中半径为R1的孤立导体球的电容之差不超过后者的的孤立导体球的电容之差不超过后者的1%，试确定球形电容器的内外半径比，试确定球形电容器的内外半径比(R2/R1)。 解解 设球形电容器的内导体球的电荷为设球形电容器的内导体球的电荷为q，则电容器中的，则电容器中的电场强度为电场强度为 (R1RC0，在上式中，令，在上式中，令h，同样可以得到忽略地，同样可以得到忽略地面影响的电容计算式面影响

45、的电容计算式(2-45)。000lnCd R(2-45)大理大学工程学院罗凌霄编修72部分电容部分电容的概念的概念 在实际问题中常常要遇到带电的多在实际问题中常常要遇到带电的多导体系统导体系统(如三芯电缆如三芯电缆)，此时每两带电导体间均有所，此时每两带电导体间均有所谓谓部分电容部分电容存在。图存在。图2-39绘出了外壳接地的三芯电缆绘出了外壳接地的三芯电缆的部分电容情况，其中的部分电容情况，其中C11、C22、C33分别为导体分别为导体1、2、3对地的对地的自自部分电容部分电容。C12为导体为导体1、2间的间的互互部分电部分电容容,C23为导体为导体2、3间的互部分电容，而间的互部分电容，而

46、C31则为导体则为导体3、1间的互部分电容。间的互部分电容。2-8 多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容图图2-38 三芯电缆三芯电缆图图2-39 三芯电缆的部三芯电缆的部 分电容示意图分电容示意图大理大学工程学院罗凌霄编修73大地影响的大地影响的双输电线双输电线系统及系统及三相输电三相输电系统也都是系统也都是一个多导体系统。前者的互部分电容和自部分电容表一个多导体系统。前者的互部分电容和自部分电容表示在图示在图2-40中。图中。图2-41中绘出了考虑大地影响时，三中绘出了考虑大地影响时，三相输电线的部分电容情形。在带电的多导体系统中，相输电线的部分电容情形。在带电的多导体系统中，每一导体

47、的电位与所有带电导体的电荷都是相关的。每一导体的电位与所有带电导体的电荷都是相关的。图图2-41 三相输电线三相输电线 的部分电容的部分电容图图2-40 双输电线部分电容双输电线部分电容大理大学工程学院罗凌霄编修74 设在电容率为设在电容率为的线性媒质空间有三个导体，当给定导的线性媒质空间有三个导体，当给定导体体1电荷量为电荷量为q1，其它导体不给电荷时，其它导体不给电荷时，2、3导体将仅有导体将仅有感应电荷。虽然此时每导体表面电荷密度不为零，但感应电荷。虽然此时每导体表面电荷密度不为零，但2、3每一导体的总电荷应为零。如果将导体每一导体的总电荷应为零。如果将导体1上的电荷量由上的电荷量由q1

48、增加至增加至q1，则导体，则导体1上各处的电荷密度，均将同时增上各处的电荷密度，均将同时增加至加至K倍。这是因为导体所带的总电荷量与其表面电荷倍。这是因为导体所带的总电荷量与其表面电荷密度间存在着线性关系。密度间存在着线性关系。多导体系统中导体电荷与电位的线性关系多导体系统中导体电荷与电位的线性关系图图2-42 给定导体给定导体1的电荷量在的电荷量在 导体导体2、3上感应的电荷上感应的电荷图图2-43 感应电荷量与引起感应电荷量与引起 感应的电荷成比例感应的电荷成比例大理大学工程学院罗凌霄编修75 显然，此时由导体显然，此时由导体1所发出的电力线，其密度亦所发出的电力线，其密度亦将在原有基础上

49、增加至将在原有基础上增加至K倍，倍，2、3导体上每一导体处导体上每一导体处感应电荷的面密度亦将同时增加至感应电荷的面密度亦将同时增加至K倍。由面分布电倍。由面分布电荷电位计算式荷电位计算式(1-8) ，并运用叠加原理可知：场中所有，并运用叠加原理可知：场中所有电荷分布处，当各点电荷面密度同时增加至电荷分布处，当各点电荷面密度同时增加至K倍时，倍时，场中所有点的电位场中所有点的电位(包括导体表面点包括导体表面点)亦增加至亦增加至K倍。这倍。这就说明：其它导体所带电荷量为零时，当导体就说明：其它导体所带电荷量为零时，当导体1的电的电荷荷(或电位或电位)增加至增加至K倍时，场中所有点的电位倍时，场中

50、所有点的电位 (或电荷或电荷)亦将增加至亦将增加至K倍。更一般的说法是：倍。更一般的说法是：在线性媒质空间在线性媒质空间的多导体系统中，场中所有点的多导体系统中，场中所有点(包括导体表面点包括导体表面点)的电的电位，与每一导体的电荷量间具有线性关系。位，与每一导体的电荷量间具有线性关系。大理大学工程学院罗凌霄编修76多导体系统中的电位系数多导体系统中的电位系数 设在电容率为设在电容率为的线性媒质的线性媒质空间有空间有1、2、3三个导体，若给导体三个导体，若给导体1以电荷以电荷q1，而第，而第2、3两导体不给电荷两导体不给电荷(其上有感应电荷，每导体总电荷量其上有感应电荷，每导体总电荷量为零为零

51、)，则根据电位与电荷的线性关系，场中点，则根据电位与电荷的线性关系，场中点A的电的电位位式中：式中： 为导体为导体1对点对点A的电位系数，电位系数的单位的电位系数，电位系数的单位为伏特每库仑为伏特每库仑(V/C)。同理当导体同理当导体2、3分别带有电荷分别带有电荷q2、q3时其在空间点时其在空间点A所所产生的电位为产生的电位为式中：式中： 、 分别为导体分别为导体2及导体及导体3对点对点A的电位系数。的电位系数。111qAA222qAA333AAq332211321qqqAAAAAAA(2-50)根据叠加原理，此时场中点根据叠加原理，此时场中点A的电位的电位2A3A1A大理大学工程学院罗凌霄编

52、修77 如将所观察的点如将所观察的点A，分别选取在导体，分别选取在导体1、2、3上，上，则得三导体的电位则得三导体的电位 方程表明：线性媒质空间中各导体的电位与各导方程表明：线性媒质空间中各导体的电位与各导体电荷间的线性关系。具有相同下标的电位系数体电荷间的线性关系。具有相同下标的电位系数 称之为导体的称之为导体的自电位系数自电位系数，具有不同，具有不同下标的电位系数下标的电位系数 、 、 、 、 、 则称之则称之为两导体的为两导体的互电位系数互电位系数，它们都具有明显的物理意义。，它们都具有明显的物理意义。3132121111qqq3232221212qqq3332321313qqq（2-5

53、4）112233,121321233132大理大学工程学院罗凌霄编修78 仅给导体仅给导体1以单位电荷时导体以单位电荷时导体1本身所具有的本身所具有的电位数值。电位数值。此时若以无限远点为零电位点，则当导体此时若以无限远点为零电位点，则当导体1所给电荷为正时，其自身的电位应为正，因而所给电荷为正时，其自身的电位应为正，因而 为为正。若当导体正。若当导体1所给电荷为负时，其自身的电位亦应为所给电荷为负时，其自身的电位亦应为负，因而比例常数负，因而比例常数 仍为正，故知自电位系数仍为正，故知自电位系数 恒恒为正。为正。 、 同理。同理。 仅给导体仅给导体1以单位电荷时，导体以单位电荷时，导体2上所

54、具有的上所具有的电位数值。电位数值。当导体当导体1所给电荷为正时，导体所给电荷为正时，导体2所具有的所具有的电位为正，当导体上电位为正，当导体上1所给电荷为负时，导体所给电荷为负时，导体2所具有所具有的电位亦为负，故互电位系数的电位亦为负，故互电位系数 亦恒为正。同理可以亦恒为正。同理可以推及其它具有不同下标电位系数的物理意义，及其恒推及其它具有不同下标电位系数的物理意义，及其恒为正的属性。为正的属性。1111111122332121大理大学工程学院罗凌霄编修79图图2-44 导体导体1给定正电荷给定正电荷时的电位梯度方向时的电位梯度方向图图2-45 导体导体1给定负电荷给定负电荷时的电位梯度

55、方向时的电位梯度方向 无论是自电位系数或互电位系数，它们的数值将决无论是自电位系数或互电位系数，它们的数值将决定于每一导体的几何形状、导体与导体间的相互位置以定于每一导体的几何形状、导体与导体间的相互位置以及空间媒质电容率。及空间媒质电容率。无论是空间媒质的改变，或是任一无论是空间媒质的改变，或是任一导体的形状与位置的改变，都将影响所有电位系数的数导体的形状与位置的改变，都将影响所有电位系数的数值。值。大理大学工程学院罗凌霄编修80333223113333222211223312211111AAAAAAqAAAAAAqAAAAAAq (2-55) 多导体系统的静电感应系数多导体系统的静电感应系

56、数 在实际问题中，常常已知在实际问题中，常常已知多导体系统中各导体的电位，此时如果要求各导体的电多导体系统中各导体的电位，此时如果要求各导体的电荷，则可对式荷，则可对式(2-54)所示诸方程进行求解。所示诸方程进行求解。333231232221131211A3332232211A式中式中(2-56)AijA表示把行列式表示把行列式 中的中的i行行j列划掉后剩下的行列式。列划掉后剩下的行列式。大理大学工程学院罗凌霄编修813132121111q3232221212q3332321313qAA11112112AA3113AAAA3333(2-57) 其中其中11、22、33称为导体的称为导体的自静

57、电感应系数自静电感应系数，12、13、21、23、31、32则为导体间的则为导体间的互静电感应系数，互静电感应系数，单位为库仑每伏特单位为库仑每伏特(C/V)。(2-58)(2-57)可以改写成可以改写成大理大学工程学院罗凌霄编修82 11仅给导体仅给导体1以单位电位其余导体联接并接地时，以单位电位其余导体联接并接地时，导体导体1上所具有的电荷值。当所给导体上所具有的电荷值。当所给导体1的电位为正时，的电位为正时，其上电荷亦为正，其上电荷亦为正，11应为正。当所给导体应为正。当所给导体1的电位为的电位为负时，其上电荷亦为负，因而负时，其上电荷亦为负，因而11仍应为正，故仍应为正，故11恒为恒为

58、正。正。 21仅给导体仅给导体1以单位电位，其余导体联接并接以单位电位，其余导体联接并接地时，导体地时，导体2上所具有的电荷值。当所给导体上所具有的电荷值。当所给导体1的电位的电位为正时，导体为正时，导体2上所具有的电荷为负，故上所具有的电荷为负，故21为负。所为负。所给导体给导体1的电位为负时，导体的电位为负时，导体2上所具有的电荷为正，上所具有的电荷为正，21仍应为负，故仍应为负，故21恒为负恒为负 。 按照同样的方法，可推及其它自静电感应系数及互按照同样的方法，可推及其它自静电感应系数及互静电感应系数的正负属性。静电感应系数的正负属性。大理大学工程学院罗凌霄编修83 如果互电位系数具有互

59、换性质的话，则互静电感如果互电位系数具有互换性质的话，则互静电感应系数亦具有互换性质，即应系数亦具有互换性质，即12=21, 13=31, 23=32。当所有静电感应系数，以及导体的电位已知时，由当所有静电感应系数，以及导体的电位已知时，由式式(2-57)可求得各导体上的电荷。可求得各导体上的电荷。图图2-46 导体导体1给定对地正电给定对地正电位，接地导体位，接地导体2、3上的感应上的感应电荷电荷图图2-47 导体导体1给定对地负给定对地负电位，接地导体电位，接地导体2、3上的上的感应电荷感应电荷大理大学工程学院罗凌霄编修8410011U 10120121022UU 10130131033U

60、U111121310121213132212121222320232333131323231323330qUUUqUUUqUUU（2-62）(2-61)(2-60)(2-59)将以上三式代入式将以上三式代入式(2-57)中，并稍整理得中，并稍整理得多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容 在工程实际问题中，多数情况在工程实际问题中，多数情况下已知的是导体间电压，因而有必要对式下已知的是导体间电压，因而有必要对式(2-57)进行改进行改写。写。若令地若令地(或某一导体、或无限远处或某一导体、或无限远处)为参考导体，电为参考导体，电位为零，位为零，则有则有大理大学工程学院罗凌霄编修85333332