第3章2静态场的边值问题及解的唯一性定理

1、 第第 3 3 章章3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理前面讨论了静电场、恒定电场和稳恒磁场，得到了这些场的前面讨论了静电场、恒定电场和稳恒磁场，得到了这些场的位函数满足的微分方程和边界条件；并且在均匀线性媒质中，位函数满足的微分方程和边界条件；并且在均匀线性媒质中，对一些简单的场源分布情况求出了场的解。对一些简单的场源分布情况求出了场的解。但在工程中通常会遇到更复杂的情况，此时求解场的问题但在工程中通常会遇到更复杂的情况，此时求解场的问题就须要解场的二阶偏微分方程，并满足一定的边界条件，即就须要解场的二阶偏微分方程，并满足一定的边界条件，即通常所说的边值问

2、题。本节讨论静态场边值问题解法。通常所说的边值问题。本节讨论静态场边值问题解法。求解边值问题的方法通常有解析和数值法。解析法包括镜求解边值问题的方法通常有解析和数值法。解析法包括镜像法、变量分离法、格林函数法、复变函数法等；数值法包像法、变量分离法、格林函数法、复变函数法等；数值法包括有限差分法、矩量法、有限元法等。本章主要讨论几种经括有限差分法、矩量法、有限元法等。本章主要讨论几种经典的解析法。典的解析法。 第第 3 3 章章3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型边值问题包括位方程（拉普拉斯方程或泊松方程）和边界边值问题包括位方程（拉普拉斯方程或泊松方程）和边界条件，根据在场域条件，根据在

3、场域V的边界的边界S上的边界条件，边值问题类型有：上的边界条件，边值问题类型有：第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值 1SfS 如果如果f1(S)=0称为称为齐次边界条件齐次边界条件狄里赫利问题狄里赫利问题 2SfSn 第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。 121122,SSfSfSn 纽曼问题纽曼问题混合边值问题混合边值问题第二类边值问题：给定边界上每一点位函数的法向导数第二类边值问题：给定边界上每一点位函

4、数的法向导数 第第 3 3 章章涉及不同介质时，还有介质分界面处的边界条件。涉及不同介质时，还有介质分界面处的边界条件。 3.4.23.4.2 解的唯一性定理解的唯一性定理对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 解的解的存在性存在性是指在给定的定解条件下，方程是否有解。是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 解的解的稳定性稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。否会发生很大的变化。 解的解的唯一性唯一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。是指在给

5、定的定解条件下所求得的解是否惟一。自然边界条件自然边界条件 如果场域伸展到无限远处，必须提出所谓无限远处的边如果场域伸展到无限远处，必须提出所谓无限远处的边界条件。对于场源分布在有限区域的情况，在无限远处应有界条件。对于场源分布在有限区域的情况，在无限远处应有rrlim 有有限限值值它表明在无限远处位函数取值为零。它表明在无限远处位函数取值为零。 电磁场是客观存在的，因此位函数的微分方程的解的存在确电磁场是客观存在的，因此位函数的微分方程的解的存在确信无疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得信无疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。下面证明电位微分方程解也是惟一

6、的。到证明。下面证明电位微分方程解也是惟一的。 第第 3 3 章章静电场唯一性定理的表述静电场唯一性定理的表述 对于三类边值问题中的任何一类，在满足泊松方程（或拉普拉斯方程）和边界条件下，无论用什么方法所得的解都是正确的，且是唯一的。静电场唯一性定理的证明静电场唯一性定理的证明设有两个解1和2，分别满足方程2212 和和0122000()VVdVdV则在V内2220120 令在格林第一恒等式中，令 则 0 2000()SVddVS2200000() 第第 3 3 章章对于第一类和第二类边值问题，在边界对于第一类和第二类边值问题，在边界S上分别有上分别有01201200SSSSSSnnn 和和S

7、VdSdVn20000()00 01212C 和和只只相相差差一一个个常常数数112212 EEEE设设和和12 和和描描述述同同样样的的电电场场，所所以以场场分分布布是是唯唯一一确确定定的的。对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。1 1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；2 2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。唯一性定理的意义：唯一性定理的意义： 第第 3 3 章章 3.5 镜镜 像像 法法 依据：依据：唯一性

8、定理，若能找到一个函数既满足该问题的微分方程，又满足该问题的边界条件，则它一定是场的真解，且唯一。关键和原则关键和原则：确定像电荷（像电流）的位置、个数和电量大小以及电流的流向等，但必须满足场区域的边界条件且像电荷（或像电流）只能置于求解区域外。3.5.1接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 例例1 1、求置于无限大接地平面导体上方，求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为距导体面为h h 处的点电荷处的点电荷q q 的电位。的电位。 基本思想：基本思想：在研究的区域外，用一些假想电荷（电流）代替边界面处复杂的、未知的感应电荷、极化电荷或电流。用假想电荷（电流）与原有电荷（电流）一起产生的场来

9、满足原来的边界条件，那么它们的电位（磁矢位）的叠加就是解 第第 3 3 章章在导体上方，在导体上方， （除点电荷所在位置）（除点电荷所在位置）在导体表面处在导体表面处， 200|0z分析：分析： 导体平面上空的电场是由点电荷导体平面上空的电场是由点电荷 和导体表面的感应电荷和导体表面的感应电荷共同产生。但感应电荷分布非均匀，且未知，直接求解困难。共同产生。但感应电荷分布非均匀，且未知，直接求解困难。q 设在导体下方与点电荷对称的位置处有一点电荷设在导体下方与点电荷对称的位置处有一点电荷 （像电（像电荷），用该像电荷代替导体上的感应电荷，即引入荷），用该像电荷代替导体上的感应电荷，即引入 后，后

10、，就像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。就像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。qq 第第 3 3 章章用一个处于镜像位置的点电荷代替导体边界的影响，则z0空间任一点 P 的电位由 q 及 q 共同产生，即 解：解： 222220001()444()()qqqq r r xyzh xyzh 000|044zqqqqrr 即像电荷q与原点电荷q电量相等，电性相反；用q代替了导体上的感应电荷。0114qrr在z0区域内，P点的电位为222 1/2222 1/2() () rxyzhrxyzh 第第 3 3 章章3333330001111,444xyzqxqyqz hz hEEEr

11、rrrrr00002223/2|2 ()SzzzqhEzxyh 则，面密度导体表面总的感应电荷： 222 3/222 3/202()22()SqhdxdyqdSxyhqhdqh 3304qrrErr 在z0区域内，电场为 第第 3 3 章章电场线与等位面的分布特性与前述的电偶极子的上半部分完全相同。电场线与等位面的分布特性与前述的电偶极子的上半部分完全相同。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。说明：说明：应用镜像法时仅针对导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，应用镜像法时仅针对导体平面的上半空间成立，因

12、为在上半空间中，源及边界条件未变。源及边界条件未变。例例2、求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h 处的长直处的长直线电荷的电位。线电荷的电位。 第第 3 3 章章20(),0;0,0zz除源电荷所在位置外 lzx = h l-h显然可将感应电荷的作用用位于h处的镜像线电荷ll替代。显然，满足边界条件。所以，原问题不变，所得的解是正确的。RR考察原问题是否得到满足：由于像电荷位于z a)，求球外任一点的电位。 分析分析：球外电场是电荷q与导体球面感应电荷产生的，但感应电荷未知。004R4qqrPqarRd 球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。q应位

13、于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷q与球心的连线上，距球心为d。则有 第第 3 3 章章接地导体球面上任一点电位 00044qqRr在上式中q和d是待求量。0qqdaad2,aaqq ddd 解得 总的感应电荷sSaqdsqd 220223/2()|4(2cos )sr aq dara adad222402022cos/2 (/4R4)coRsqqrrrdrdd radr ad取球面上的A、B 两点，得可确定q ,d 的两个方程：0qqdaad 第第 3 3 章章讨论：讨论： qOrRd( , )P r1 1）导体球不接地：）导体球不接地：导体球面为等位面但电位不为0；球面上存在正、负

14、感应电荷,但感应电荷总量为0。处理方法：电位叠加原理：处理方法：电位叠加原理：1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q 的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定 。2、为了满足电荷守恒原理。断开接地线，将电量为-q的电荷加到导体球面上，使这些电荷均匀分布在球面上，使导体球为等势体，且表面总电荷为零。3、对于均匀分布在球面上的-q电荷，可用另一个镜像电荷q= -q 代替，但必须位于球心。2,aaqq ddd 第第 3 3 章章 q qOr rRdd( , )P rq结论：点电荷结论：点电荷q q对非接地导体球面的镜像电荷有两个：对非接地导体球面的镜像电荷有两个：镜像电荷1：电量：aqqd 位

15、置：2add镜像电荷2：电量：aqqqd 位置：位于球心。位于球心。14qqqRrr球外空间某点电位为：00144qqad球面上电位为： 第第 3 3 章章图1.点电荷与接地导体的电场图2. 点电荷与不接地导体的电场2 2） 若导体球不接地，且带电荷Q，求球外的电场。像电荷q位置和大小同上，像电荷q的位置也在球心，但q=Q + qa/d。 第第 3 3 章章3 3） 若一点电荷q 位于一个半径为a的接地导体球面内，距球心d 处（d a) 用电轴法求解。设两个导体圆柱单位长带电分别为 ，等效电轴（两线电荷）相距原点均为b，有几何关系为 l两个导体面的电位分别为两个导体面的电位分别为22bhah1

16、00()lnln2()22llah babh ah200()2lnln2()2llbh ahah ba2102lnlha两导体圆柱间的电压为两导体圆柱间的电压为两导体圆柱间的单位长度电容为两导体圆柱间的单位长度电容为021ln(2 / )lCh a 第第 3 3 章章3.5.4 、介质平面的镜像、介质平面的镜像 设两种介电常数分别为1、2的介质充填于z0及z0的半空间，在介质2中点(h,0,0)处有一点电荷q,如图所示，求空间各点的电位分布。 原问题原问题：除点电荷在的位置，满足20(1,2)ii1210201020|,|zzzzzz分析：分析：电荷q产生的电场将使两介质极化，从而在分界面上产

17、生不均匀的极化电荷。极化电荷对两个区域中的电位都有贡献。空间电位由极化电荷和电荷q共同产生。解决方法：解决方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。1、点电荷对电介质分界面的镜像、点电荷对电介质分界面的镜像 第第 3 3 章章为求上半空间的场可将整个空间填充满1的均匀介质，边界上的极化电荷可用原点电荷q的镜像电荷q等效代替。q的大小未知.区域1的电位由q和位于区域2中的镜像电荷q共同产生，则11121( , , )()4qqx y zrr22222211(),(0)4()()qqzxyzhxyzh 第第 3 3 章章但，必须使所求得的场符合原先的边界条件，即为求下半空间的场可整个空间填充以2

18、的均匀介质，边界上极化电荷可用原点电荷处的镜像电荷q等效代替。q的大小未知，区域2的电位由q和位于镜像电荷q共同产生222221211(0)44()q qqqqqzrxyzh12001212120011zzzzqqqqqqqqzz12121212qqqq 注意：若为真空与介质分界面，则将对应介质介电常数代换为注意：若为真空与介质分界面，则将对应介质介电常数代换为 即可。即可。0 第第 3 3 章章图图1 1 线电流与磁介质线电流与磁介质分界平面分界平面zx12Ih图图2 2 磁介质磁介质1 1的镜像线的镜像线电流电流PIhh11xzIRR特点：特点：在直线电流I 产生的磁场作用下，磁介质被磁化

19、，在分界面上有磁化电流分布，空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。问题问题：如图1所示，磁导率分别为 和 的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在磁介质1中有一根无限长直线电流平行于分界平面，且与分界平面相距为h。12分析方法：分析方法：在计算磁介质1中的磁场时，用置于介质2中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图2所示。12 2、线电流与无限大磁介质平面的镜像、线电流与无限大磁介质平面的镜像 第第 3 3 章章111222211lnln22()()IIAxzhxzh(0)z 2222()1ln2()IIAxzh(0)z 因为电流沿轴方向流动，所

20、以矢量磁位只有y分量，则磁介质1和磁介质2中任一点的矢量磁位分别为图图3 3 磁介质磁介质2 2的镜像的镜像线电流线电流22IIPxzhR 在计算磁介质2中的磁场时，用置于介质1中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图3所示。2 第第 3 3 章章211020001211,zzzzAAAAzz相应的磁场可由相应的磁场可由 求得。求得。BA 11211222221()11lnln22 ()()()IIxz hxz h A(0)z 12222211ln()()Ixz h A(0)z 21212121IIII 12()()IIIIIIII可得到故利用矢量

21、磁位满足的边界条件 第第 3 3 章章1）为满足原方程，镜像（电荷或电流）应选择在所讨论的区）为满足原方程，镜像（电荷或电流）应选择在所讨论的区域以外域以外2）镜像（电荷或电流）的选择应保持原边界条件不变）镜像（电荷或电流）的选择应保持原边界条件不变3）镜像（电荷或电流）只对所讨论的区域有效）镜像（电荷或电流）只对所讨论的区域有效4)局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有 可能确定其镜像电荷。可能确定其镜像电荷。 总结：总结： 第第 3 3 章章求解思路：求解思路：将偏微分方程中含有将偏微分方程中含有n n个自变量的待求函数表示

22、成个自变量的待求函数表示成n n个函数（只含个函数（只含一个变量）的乘积，把偏微分方程分解成一个变量）的乘积，把偏微分方程分解成n n个常微分方程，求出个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，使其满足给定的各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，使其满足给定的边界条件。边界条件。 3.6 分分 离离 变变 量量 法法理论依据：理论依据：分离变量法的理论依据是唯一性定理，因为分离后的解既满足分离变量法的理论依据是唯一性定理，因为分离后的解既满足微分方程，又满足边界条件，故其是真解。微分方程，又满足边界条件，故其是真解。分离变量法是求解边值问题最经典的方法，它属于解析法，可分

23、离变量法是求解边值问题最经典的方法，它属于解析法，可给出解的精确表达式。但由于采用正交坐标系，要求边界应与某给出解的精确表达式。但由于采用正交坐标系，要求边界应与某一正交坐标系的坐标面重合，分离变量法的应用范围有限。一正交坐标系的坐标面重合，分离变量法的应用范围有限。 第第 3 3 章章1、 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法222220 xy设设 可以表示为两个函数的乘积可以表示为两个函数的乘积 代人上式得 ( , )( ) ( )x yf x g y22220d fd ggfdxdy2222110d fd gf dxg dy用用fg fg 除左式除左式 22222211xyd

24、 fd gkkf dxg dy ，令令220 xykk式中 称为分离常数，待定量。它们可以是实数或虚数，但不可全为实数或虚数。他们并不是独立的，它们必须满足xykk、在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为 第第 3 3 章章由此，将拉普拉斯方程的求解问题分解为两个分别仅与x、y变量有关的常微分方程组的求解222222( )( )( )0,( )0 xyd f xd g yk f xk g ydxdy由上可见，经过变量分离后，二维偏微分方程式被简化为二个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且二个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。下面以关于x的微分方程 为例

25、，说明当分离变数取不同值时的特征解222( )( )0 xd f xk f xdx11( )sincosxxf xak xbk x 1）当 时0 xk 00( )( )f xa xbf xC或2)当 时 0 xk 第第 3 3 章章22( )xxxxf xa eb e或或33( )shchxxf xaxbx 3)当当 时时 的解的解 20,(0)xxxxkkj222( )( )0 xd f xk f xdx其中a0, b0 , a1, b1, a2, b2, a3, b3为待定常数。如何确定分离常数 ？由边界条件来确定，方法如下：1）若某些坐标面(x=0)上的边界条件可看成周期性的，则该坐标的

26、分离常数(kx)为实数；其解为三角函数；2）若位函数与某一坐标变量无关，则该坐标的分离常数必须为零；其解为常数；3）若在某些坐标面上，边界条件是非周期性的，则该坐标的分离常数为虚数；其解为双曲函数或者衰减函数。有界区域为双曲函数，无界区域为衰减函数。xykk、 第第 3 3 章章对于含变量y 的常微分方程，其解具有完全相同的形式。 当各坐标变量的解确定后，它们的乘积就是原微分方程的一个特解。如该特解满足所有边界条件，则该解就是边界问题的真解；否则必须将所有可能的特解叠加起来，并使其满足边界条件；再确定待定的组合系数，最后得到边值问题的真解例例1 1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属

27、槽绝缘，盖无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为板电位为 ，金属槽接地，横截面如下图所示，试计算此导体槽，金属槽接地，横截面如下图所示，试计算此导体槽内的电位分布。内的电位分布。0U解：该问题的的数学模型：2000(0)xyb0(0)xayb00(0)yxa(0)ybUxa 第第 3 3 章章再考虑到x=0和x=a的槽壁上电位 为零，故可认为沿x方向作周期性的变化， 为非零实数。所以0 xk11( )sincos1xxf xak xbk x（）01( )|0,( )|00/(1,2.)xx axf xf xbknan，11( )sinsin(1)xnf xak xaxa

28、22220() ,xyyynnkkkkjaa 即22( )shch(2)yyg yayby22yyyyeeshyeechy很明显，金属槽中的电位很明显，金属槽中的电位 与与z z无关，故无关，故 ，满足，满足= ( , )x y 二维拉普拉斯方程22220 xy 第第 3 3 章章022( )|0,0,( )sinh(2 )yyg ybg yay( )( )sinshnnnnn xn yfx gyCaa 取不同的取不同的n n 值对应的值对应的 叠加，通解为叠加，通解为 n11( , )sinshnnnnn xn yx yCaa011shsinsinnnnnn bn xn xUCBaaannn

29、bBC sha其中其中 0|y bu上式左右两边同乘以上式左右两边同乘以sin(mx/a) 并在区间并在区间(0，a)积分，有积分，有 000sinsinsinaanm xn xm xUdxBdxaaa 第第 3 3 章章0/2sinsin0aanmn xm xdxaanm20sin2annB an xBdxa0041,3,5.2(1 cos)02,4,6.nUnUBnnnn得到待求区域的电位为得到待求区域的电位为 011,3,41( , )sinshsinshshnnnUn xn yn xn yx yCn baaaana利用三角函数的正交性，有利用三角函数的正交性，有000sin(1 cos

30、)aaUn xUdxnan又04,n=1, 3, 5;0,n=2, 4, 6nnnBCUCn bn bshn shaa所以 第第 3 3 章章图图2 2 接地金属槽内的等位线接地金属槽内的等位线图图1 1 接地金属槽接地金属槽01,3,41( , )sinhsinsinhnUn yn xx yn baana 第第 3 3 章章例例2 2、矩形导体长槽，上下底面（即、矩形导体长槽，上下底面（即y=0y=0与与y= by= b平面）是两无限平面）是两无限大接地导体平面。侧面（大接地导体平面。侧面（x=ax=a处）是电位为处）是电位为U U0 0导体平面，且四导体平面，且四条棱线间绝缘，如图示，试求

31、矩形长槽内的电位函数。条棱线间绝缘，如图示，试求矩形长槽内的电位函数。 解解： 槽中电位与z无关，只是x、y的函数。在区域 0 x a、0 y b内，2( , )0 x y边界条件为： x=0, =0； x=a, (a, y)=u0； y=0, (x, 0)=0； y=b, (x, b)=0 x设设 ，利用分离变量法求解，利用分离变量法求解( , )( ) ( )x yf x g y由边界条件知由边界条件知g(y)具有周期性，故具有周期性，故11( )sincosyyg yak ybk y011( )|0,0,( )sin(1)yyg ybg yak y 第第 3 3 章章sin0/(1,2.

32、)yyk bknbn2222/0( )shchxxxyxxkjjnbkkf xaxbx022( )|0( )cosh(2)0,xxf xaf xbxx( )( )coshsinnnnnn xn yfx gyAbb 取不同的取不同的n n 值对应的值对应的 叠加，通解为叠加，通解为 n11( , )coshsinnnnnn xn yx yAbb011coshsinsinnnnnn an yn yuABbbbcoshnnn aBAb其中其中 0|x au 第第 3 3 章章011coshsinsinnnnnn an yn yuABbbb20sin2bnnB bn yBdyb00002sin(1co

33、s)(1,3,5.)bbubun yudynnbnn04/cosh(1,3,5.)nnnun aBABnnb01,35.41( , )coshsincoshnun xn yx yn abbnb上式左右两边同乘以上式左右两边同乘以 ，并在区间，并在区间(0(0，b)b)对对y y积分，有积分，有 sinn yb 第第 3 3 章章2 2、圆柱坐标系中的分离变量法、圆柱坐标系中的分离变量法 222222110rrrrrz222210rrrrr2221r ddRdrkR drdr 令运用分离变量法，令运用分离变量法，令 ( , )( )( )rR r，代入上式，代入上式22220(1)0(2)ddR

34、rrk Rdrdrdkd 22222100ddRR dr ddRdrrr drdrrR drdr 当电位与坐标变量当电位与坐标变量z z无关时，上式第三项为零，此时电位满足无关时，上式第三项为零，此时电位满足 第第 3 3 章章2220(2)dkd 式中k为分离常数，它可以是实数或虚数。通常变量的变化范围为，且(r, )与(r, )为空间同一位置，因此场量随的变化一定是以为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，令20( )cossinAkBk( )(2 ),(2 )2,0,1,2,3kknn 当n0( )cossinAnBn式中A, B 为待定常数。 ( )nnR rCrDr相应地，相

35、应地， 欧拉方程欧拉方程,其通解其通解 2222200ddRd RdRrrn Rrrn Rdrdrdrdr 第第 3 3 章章将关于坐标变量r，的函数乘积起来，并线性组合，再利用给定的边界条件确定分离常数和组合系数后，得电位 的通解为上式对n的求和( ,)r11( , )(cossin)(cossin)nnnnnnnnrr AnBnrCnDn( , )(cossin)(cossin)nnnnnnnrrAnBnrCnDn考虑到以上各种情况，电位微分方程的解可取下列一般形式 0011( , )ln(cossin)(cossin)nnnnnnnnrAr Br AnBnrCnDn 若所讨论的静电场又与

36、变量 无关，则 n = 0。那么，电位微分方程: ,其解为 00( )lnR rArB0ddRrrdrdr 第第 3 3 章章例例1 1、在无限大的均匀电场中放一根无限长、半径为、在无限大的均匀电场中放一根无限长、半径为a a 的接地导体圆柱，的接地导体圆柱，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求放入导体圆柱后的场分布。电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求放入导体圆柱后的场分布。 解解：选取圆柱坐标系，令z 轴为圆柱轴线，电场强度的方向与x 轴一致，即 00 xEeE00(r, )E xE rcos 放入导体前空间任一点的电位 （设O点位零电位） 导体柱是一个等位体，且接地，在柱内(

37、ra), ;圆柱外电位 分布与z 无关， 故满足二维拉普拉斯方程。本例的边界条件是：102 r，柱外电场E2E0ex ， r=a，导体柱内、外电位连续，即 。20E rcos 20 第第 3 3 章章21()cosnnnnnC rD rn)(ar 由于, 且电位关于x轴对称，于是， ( )(2 ) ( )cossincosAkBkAk同时，( )nnR rCrDr所以，圆柱外任一点的电位为下面由边界条件确定常数Cn 、 Dn 、和n的取值由r=a时 得 202nnnDC a 20,cosrE r 且2201lim()coscosnnnnrnC ra rnE r 要使上式成立，n只能取1，故10

38、,0,2,3,4nCE Cn 第第 3 3 章章这样原问题的解为 2120( , )()cosrE ra r 22002211cos1sinrrrraaEErr Eeeee则圆柱外电场强度为xyaE0电场线电场线等位面等位面圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如右图所示。 第第 3 3 章章例例2 2、若在电场强度为、若在电场强度为E E0 0的均匀静电场中放入一个半径为的均匀静电场中放入一个半径为a a的电介质圆柱，柱的轴线与电场互相垂直，介质柱的介电的电介质圆柱，柱的轴线与电场互相垂直，介质柱的介电常数为常数为，柱外为真空，如图所示，求柱内、外的电场。，柱外为真空，如图所示，求柱内、

39、外的电场。 第第 3 3 章章解解:设柱内电位为设柱内电位为1，柱外电位为，柱外电位为2，1和和2与与z无关。无关。 取取坐标原点为电位参考点，边界条件如下：坐标原点为电位参考点，边界条件如下： r, 2=-E0rcos r=0, 1=0 r=a, 1=2 r=a, rr201 第第 3 3 章章于是，柱内、柱外电位的通解为于是，柱内、柱外电位的通解为: )sincos()sincos(),()sincos()sincos(),(112111nDnCrnBnArrnDnCrnBnArrnnnnnnnnnnnnnnnn 考虑本题的外加电场、极化面电荷均关于考虑本题的外加电场、极化面电荷均关于x轴

40、对称，柱内、轴对称，柱内、柱外电位解只有余弦项，即柱外电位解只有余弦项，即: 0nnnnDBDB)2( n于是于是nArrnnn11cos),(nrCrErnnn102coscos),(根据边界条件 r=0, 1=0，可知Cn=o r, 2=-E0rcos,可知n=1，且An=-E0 第第 3 3 章章由边界条件由边界条件和和， 可得可得: 0111100011coscoscoscoscoscosnnnnnnnnnnnnA anE aC annA anEnC an 2011021,110,0 (2)rrrnnEACE aACn 其中，r=/0，是介质圆柱的相对介电常数。 第第 3 3 章章于是柱内、外的电位为于是柱内、外的电位为 1022022cos111cos1rrrE raE rr 00112)sincos(12EeeeEErxrrsin111cos1110220222EraeEraeErrrrr 第第 3 3 章章3 、球坐标系中的分离变量法、球坐标系中的分离变量法