第7章离散系统控制理论

1、1系统系统 ( (机械，机械， 电气，电气，过程等过程等) )建模方法建模方法 机理或实验机理或实验 数学模型数学模型（Tf, Ss, Zpk)性能分析性能分析 稳定性、稳定性、动态性能、动态性能、鲁棒性等鲁棒性等若性能若性能不满足要求不满足要求对系统进行校正对系统进行校正校正方法（控制器设计方法）校正方法（控制器设计方法） 滞后滞后- -超前、超前、PIDPID、LQLQ最优等最优等 第第7 7章章 离散系统控制理论离散系统控制理论wuhanligongdaxuewuhanligongdaxue2第第7 7章章 离散系统控制理论离散系统控制理论 7.1 7.1 信号的采样与保持信号的采样与保

2、持 7.2 7.2 差分方程差分方程 7.3 Z 7.3 Z 变换变换 7.4 Z7.4 Z传递函数传递函数 7.7 7.7 线性离散系统稳态误差分析线性离散系统稳态误差分析7.5 7.5 线性离散系统的稳定性分析线性离散系统的稳定性分析 7.8 7.8 线性离散系统设计方法线性离散系统设计方法7.6 7.6 线性离散系统的暂态性能分析线性离散系统的暂态性能分析7.9 MATLAB7.9 MATLAB在离散系统分析中的应用在离散系统分析中的应用3)(*teT0计算机控制系统计算机控制系统 ()e kT4T 以及采样过程)(tf)(kTf)(tf1 1、采样过程、采样过程 )(kTf7.1.1

3、7.1.1 信号的采样信号的采样5 0*)()(kkTtkTftf 0)(kTkTtt 0*)()(kkTttftf)()()(*ttftfT0*)()(kkTsekTfsFT 以及采样过程)(tf)(kTf)(tf 0*)()(kkTtkTftf2 2、采样、采样信号信号的数学表述的数学表述 6 tjkkkTsectdtetTctjkTTTks)(122TdtetTtjkTTs1)(122 tjkkTseTt1tjkkseTtftf1)()(*tjkksetfT)(1ktjksetfLTsF)(1)(*ksjksFTsF)(1)(*)()()(*ttftfTT 以及采样过程)(tf)(kTf

4、)(tf 0)(kTkTtt 0*)()(kkTttftf)()()(*ttftfT 0*)()(kkTtkTftf7ksjkjFTjF)(1)(*)(1)(1)2(1)(*jFTjjFTjjFTjFss)(1sjjFT采样信号的频谱，及与连续信号频谱的关系采样信号的频谱，及与连续信号频谱的关系 3 3、采样、采样定理定理 8从采样信号中不失真地恢复出原来的连续信号从采样信号中不失真地恢复出原来的连续信号 理想情况理想情况9零阶保持器零阶保持器 )(kTf)(kTf7.1.2 7.1.2 采样信号的保持采样信号的保持10零阶保持器的传递函数零阶保持器的传递函数 )(tfh)( 1)( 1)(0

5、TkTtkTtkTfk)( 1)( 1 )()(0TkTtkTtLkTfsFkhTskkTskeseskTf) 1(011)(seekTfTskTsk1)(0seTs1kTskekTf0)(seTs1)(* sFsesFsFsGTshoh1)()()(* 零阶保持器的传递函数为零阶保持器的传递函数为 )(tfh11)/(2/2/2/)/()/(sin22)(21)(sjsssjTjTjTjThejeeejejGTs/2零阶保持器的特性：零阶保持器的特性：（1 1）低通特性）低通特性（2 2）相角迟后特性）相角迟后特性（7 7）时间迟后特性）时间迟后特性（平均迟后时间（平均迟后时间 T/2T/2

6、）零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性 ()hGj相角相角12Zero-OrderHold1s +s2Transfer FcnScope1Scope1ConstantAdd采样周期采样周期 T T1 1采样周期采样周期 T T2 213Zero-OrderHold1s +s2Transfer FcnScope1Scope1ConstantAdd采样周期采样周期 T T7 7采样周期采样周期 T T4 414第第7 7章章 离散系统控制理论离散系统控制理论 7.1 7.1 信号的采样与保持信号的采样与保持 7.2 7.2 差分方程差分方程 7.3 Z 7.3 Z 变换变换 7.4 Z7.4

7、Z传递变换传递变换 7.7 7.7 线性离散系统稳态性能分析线性离散系统稳态性能分析7.5 7.5 线性离散系统的稳定性分析线性离散系统的稳定性分析 7.8 7.8 线性离散系统设计方法线性离散系统设计方法7.6 7.6 线性离散系统的暂态分析线性离散系统的暂态分析7.9 MATLAB7.9 MATLAB在离散系统分析中的应用在离散系统分析中的应用15)()() 3(2kxkyky)()() 1(2)2(3kxkykyky)()(12)2(32kxkykkyk)() 3(12)2(16) 1(7)(kxkykykyky 7.2.1 7.2.1 差分方程的概念差分方程的概念 16)()()(tK

8、xtydttdy设系统输入在一个采样周期内保持不变，则设系统输入在一个采样周期内保持不变，则 )()(kTxtxTktkT) 1( )()()(kTKxtydttdy)()(kTKxtyp)()(kTKxCetyt)()(kTKxCekTykTkTekTKxkTyC)()(TktkT) 1( )()()()(kTKxekTKxkTytykTtTkt) 1( )()()() 1(kTKxekTKxkTyTkyT)()1 ()() 1(kTxeKkTyeTkyTT7.2.2 7.2.2 微分方程描述的差分化微分方程描述的差分化 求微分方程求微分方程 等价的差分方程等价的差分方程 微分方程对应的等价

9、差分方程为微分方程对应的等价差分方程为 177.2.3 7.2.3 差分方程的递推解法差分方程的递推解法) 1()() 1(2)(kukukyky0002)(kkkku1)0(y12) 1() 1(2)(22kkkkyky12) 1(2)(kkyky1112)0(2) 1 (yy5122) 1 (2)2(yy5132)2(2) 3(yy17142)3(2)4(yy .187.2.4 7.2.4 差分方程的经典解法差分方程的经典解法1.1.奇次解奇次解2.2.特解特解3.3.全解全解19第第7 7章章 离散系统控制理论离散系统控制理论 7.1 7.1 信号的采样与保持信号的采样与保持 7.2 7

10、.2 差分方程差分方程 7.3 Z 7.3 Z 变换变换 7.4 Z7.4 Z传递函数传递函数 7.7 7.7 线性离散系统稳态性能分析线性离散系统稳态性能分析7.5 7.5 线性离散系统的稳定性分析线性离散系统的稳定性分析 7.8 7.8 线性离散系统设计方法线性离散系统设计方法7.6 7.6 线性离散系统的暂态分析线性离散系统的暂态分析7.9 MATLAB7.9 MATLAB在离散系统分析中的应用在离散系统分析中的应用200)()()(kkzkfzFkfZ*0( )() ()nftf kTtkT *0( )()kTskFsf kT ezTSsFzFln1*| )()(离散序列离散序列f(k

11、)f(k)，k=0,1,2, k=0,1,2, 的的Z Z变换变换 7.3.1 Z7.3.1 Z变换的定义变换的定义 21 kzkTfzTfzTff)()2()()0(21 0)()(kkzkTfzF211zz111)( 1 1zzztZakTekTf)(，, 2 , 1 , 0k 00)()(kkkakTkzezkTfzF0)(kkaTzeaTaTatezzzeeZ1)(11典型信号的典型信号的Z Z变换变换10( )01kf kk 1001)(21zzzF( )1,0f kk221000( )()()kkkkkkkF zf kT za za zazzazaZk111( ),0kf kak,

12、 2 , 1 , 0sin)(kkTkTf00sin)()(kkkkkTzzkTfzFkkkTjkTjzjee0200)()(21kkkjwTkTjzezej)(11)(112111zezejTjTj211cos21sinzTzTz 23)()()(1mkkmzkTfzFzmTtfZ ()( )mZ f tmTzF z7.3.2 Z7.3.2 Z变换的基本定理变换的基本定理1212( )( )( )( )Z f tf tZ f tZ f t )()(zaFtafZ(1) (1) 线性定理线性定理 (2) (2) 滞后定理滞后定理 ( )0,0f tt240)()(kkzmTkTfmTtfZ10

13、()()k mi mkmif kT zf iT z 10()()mkmikmizf kT zzf iT z)()(1zFzkTfzmkkm)()(zFzmTtfZm滞后定理的证明滞后定理的证明 25)()()(10mkkmzkTfzFzmTtfZ)()(zFzmTtfZm0)()(kkzmTkTfmTtfZmimiziTf)()()()(100imiiimziTfziTfz)()(10kmkmzkTfzFz (3) (3) 超前定理及证明超前定理及证明 ( )0,f ttkm26)(lim)(lim)0(0zFtffzt10)()0()()(kkkkzkTffzkTfzF)()0(lim)(l

14、im1kkzzzkTffzF1)(lim)0(kkzzkTff)0()(lim)0(1fzkTffkkz (4) (4) 初值定理及证明初值定理及证明 27)() 1(lim)(lim)(lim)(1zFzkTftffzkt)()()(0zFzkTftfZkk)0()()(zfzzFTtfZ)()0()()()(zFzfzzFtfZTtfZ)0()() 1(zfzFz)0()() 1()()(zfzFztfTtfZ0)0()() 1()()(kkzfzFzzkTfTkTf01)0()() 1(lim)()(kzfzFzkTfTkTf)()0()()2()0()()()(0ffTfTffTfkT

15、fTkTfk1( )lim(1) ( )zfzF z )0()() 1(lim)0()(1fzFzffz (5) (5) 终值定理及证明终值定理及证明 287.3.3 Z7.3.3 Z变换的基本方法变换的基本方法 1 1、幂级数求和法、幂级数求和法0)()(kkzkTfzFkzkTfzTfzTff)()2()()0(212、部分分式法、部分分式法)()()(sMsNsFniiissAsF1)(nitsiieAsFLtf11)()(nitsiieAZtfZzF0)()(nitsiieZA1niTsiiezzA1niTsiiezzAzF1)(3、留数计算法、留数计算法4、查表法、查表法29 例例7

16、.14 7.14 求求)()(assasF的的Z Z变换。变换。asssF11)(asAsA2211, 1, 0, 1aTezzzzsFZ1)()2(1(1)aTaTaTzezeze 30)()()()(121sMsssNsFniiissAssAssAsF312211)()(nitsitstsieAeAteAtf32111)( niTsiTsTsTsiezzAezzAezTzeAzF3221111)()(31nnmmzazaazbzbbzF110110)(kkzczczcczF22110)(443333332222221113322115 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 .

17、05 . 05 . 05 . 05 . 015 . 05 . 05 . 0115 . 01zzzzzzzzzzzzzz15 . 011)(zzF1 1、幂级数展开法（长除法）、幂级数展开法（长除法） 例例7.3.4 Z7.3.4 Z逆变换逆变换 32zzzzzzF5 . 05 . 112)(23231122233212323375. 2375. 6375. 2125. 775. 475. 0.75. 475. 125. 55 . 315 . 05 . 35 . 05 . 1375. 675. 45 . 31125 . 05 . 1zzzzzzzzzzzzzzzzzzz例例7.18 7.18 3

18、3niiiBzAzzF1)( niiiBzzAzF1)( 011111111)(*)(knikiinikiiniiiniiiniiikTtBAtfBABzzzABzzAzBzzAzkTf2、部分分式法、部分分式法 342310)(2zzzzF210110)2)(1(102310)(2zzzzzzzzF210110)(zzzzzF2,10,1,102211BABA)21 (10)(kkTf00)() 12(10)()()(*kkkkTtkTtkTftf例例7.19 7.19 357.3.5 7.3.5 差分方程的差分方程的Z Z变换解法变换解法1) 1 (0)0(0)(2) 1(3)2(yyky

19、kyky0)(2)1(3)2(kyZkyZkyZ0)(2)0()(3) 1 ()0()(22zYyzzYzyzyzzYz0)(2)(3)(2zYzYzzzYzzzYzz)()23(223)(2zzzzY,2,1,0)2() 1()(kkykk36第第7 7章章 离散系统控制理论离散系统控制理论 7.1 7.1 信号的采样与保持信号的采样与保持 7.2 7.2 差分方程差分方程 7.3 Z 7.3 Z 变换变换 7.4 Z7.4 Z传递函数传递函数 7.7 7.7 线性离散系统稳态性能分析线性离散系统稳态性能分析7.5 7.5 线性离散系统的稳定性分析线性离散系统的稳定性分析 7.8 7.8 线

20、性离散系统设计方法线性离散系统设计方法7.6 7.6 线性离散系统的暂态分析线性离散系统的暂态分析7.9 MATLAB7.9 MATLAB在离散系统分析中的应用在离散系统分析中的应用37)()()(zRzCzG)(.) 1()(1nkyakyakyn)(.) 1()(10mkxbkxbkxbm (0)( 1)( 2).0yyy(0)( 1)( 2).0 xxx)(.)()(11zyzazyzazynn101( )( ).( )mmb x zb z x zb zx z )().1 (2211zyzazazann101(.) ( )mmbb zb zx znnmmzazazazbzbbzRzYzG

21、.1.)()()(22111107.4.1 Z7.4.1 Z传递函数的概念传递函数的概念 系统G(z)R(z)C(z)在零初始条件下，线性定常系统（环节）输在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出采样信号的出采样信号的Z Z变换与输入的采样信号的变换与输入的采样信号的Z Z变变换之比，称为该系统（环节）的换之比，称为该系统（环节）的Z Z传递函数。传递函数。 若某离散系统由如下的差分方程描述：若某离散系统由如下的差分方程描述：38)()()(sGZtgZzG*0( )() ()(0) ( )( ) ()(2 ) (2 ).kr tr kTtkTrtr TtTrTtT 10( )(1) (1)

22、() ()miC tr mT g tmTr iT g tiT 为系统为系统G(s)G(s)的脉冲响应函数。的脉冲响应函数。)(tg 00)()()()(*kikTtiTkTgiTrtC0000( )() ()()()kkkiikC zr iT g kTiTzr iTg kTiT z 0( )()()j iijiC zr iTg jT z ikj00( )()()j iijC zr iTg jT z () ,0g jTj00( )()()ijijC zr iT zg jT z0( )()iiR zr iT z0( )()jjG zg jT z)()()(zRzCzG)()()(sGZtgZzG3

23、9)()()()()(zGHsHsGZzEzY)(*)()(sEsGsC)(*)()(sCsHsY)(*)(*)(*sEsGsC)(*)(*)(*sEsHsY)(*)(*)(*)(*sEsGsHsY)()()()(zEzGzHzY)()()()(zHzGzEzY)()()()(zHzGzEzY7.4.2 7.4.2 开环开环Z Z传递函数传递函数40例例7.25 7.25 某系统中锁相环的方框图，求系统的开环某系统中锁相环的方框图，求系统的开环Z Z传递函数。传递函数。 111)(0sKsseZzWTs) 1(1)1 (210ssZzK1)1 (22210sssZzK 1) 1()1 (222

24、10TezzzzzTzzK) 1(10TezzzTK, 1, 1, 10TK)368. 0)(1(264. 0368. 0)(zzzzW41)()()(*sEsGsC)()()()(sCsHsRsE)()()()()(*sEsGsHsRsE)()()()()(*sEsHsGsRsE*)()(1)()(sHsGsRsE*)()()(sEsGsC)()(*sEsG*)()(1)()(sHsGsRsG)(1)()()(zGHzRzGzC)(1)()()()(zGHzGzRzCz)(11)()()(zGHzRzEze闭环离散系统的闭环离散系统的z z传递函数传递函数和误差和误差z z传递函数传递函数

25、7.4.3 7.4.3 闭环闭环Z Z传递函数传递函数42)()()(*susGsC)()()()(sCsHsRsE )()()()(*sUsHsGsR)()()()()(*sUsHsGsRsE)()()()(zUzGHzRzE)()()()()(zEzDzGHzRzE )()(1)()(zDzGHzRzE*)()()(sUsGsC)()(*sUsG)()()()()()(zEzDzGzUzGzC)()()(1)()(zRzGHzDzGzD )()(1)()()()()(zGHzDzGzDzRzCz)()(11)()()(zGHzDzRzEze例例7.27 7.27 闭环离散系统的闭环离散系统

26、的z z传传递函数和误差递函数和误差z z传递函数传递函数 43*21( )( )( )( )( )C sG s G s E sN s)()()()(sCsHsRsE )()()()()()()()(2*21sNsHsGsEsHsGsGsR*2*21*)()()()()()()()()(sNsHsGsEsHsGsGsRsE*21*2*)()()(1)()()()()(sHsGsGsNsHsGsRsE )(1)()()(212zHGGzHNGzRzE7.4.4 7.4.4 带有扰动的系统的输出带有扰动的系统的输出Z Z变换式变换式44 )()()()()()(2*21sNsGsEsGsGsC*2

27、*21*)()()()()()(sNsGsEsGsGsC)()()()(221zNGzEzGGzC )()(1)()()()(221221zNGzHGGzHNGzRzGGzC )()(1)(2121zRzHGGzGG)(1)()()()()(212212212zHGGzHNGzGGzNGzHGGzNG)(1)()()(1)()(2122121zGGzNGzRzGGzGGzC带有扰动的系统的输出带有扰动的系统的输出Z Z变换式变换式45第第7 7章章 离散系统控制理论离散系统控制理论 7.1 7.1 信号的采样与保持信号的采样与保持 7.2 7.2 差分方程差分方程 7.3 Z 7.3 Z 变换

28、变换 7.4 Z7.4 Z传递函数传递函数 7.7 7.7 线性离散系统稳态性能分析线性离散系统稳态性能分析7.5 7.5 线性离散系统的稳定性分析线性离散系统的稳定性分析 7.8 7.8 线性离散系统设计方法线性离散系统设计方法7.6 7.6 线性离散系统的暂态分析线性离散系统的暂态分析7.9 MATLAB7.9 MATLAB在离散系统分析中的应用在离散系统分析中的应用46设离散系统的特征方程为：设离散系统的特征方程为： 0)(0111azazazazDnnnn0najnjnjaaaab0jnjnjbbbbc11003300ssssr 13201ssssr 23102ssssr 朱利表朱利表

29、 朱利表构成朱利表构成 7.5.1 7.5.1 朱利稳定判据朱利稳定判据47为奇数为偶数nnDD00) 1(0) 1 (203020100rrssccbbaannn 线性离散系统稳定的充分必要条件为：线性离散系统稳定的充分必要条件为：朱利表朱利表 48例例7.28 7.28 已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为0225232)(2345678zzzzzzzzzD，判别系统稳定性。，判别系统稳定性。 因为不满足因为不满足 naa0或者因为或者因为 01) 1(D，所以该系统不稳定。，所以该系统不稳定。 例例7.29 7.29 已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为08 . 09 . 12)

30、(23zzzzD，判别系统稳定性。，判别系统稳定性。 D(1)=5.70D(1)=5.70，D(-1)=-0.10D(-1)=-0.10，18 . 030aa满足朱利判据的前三个条件，下面再列表检验是否满足后面的条件：满足朱利判据的前三个条件，下面再列表检验是否满足后面的条件： 满足约束条件满足约束条件 3 . 036. 020bb该系统是稳定的。该系统是稳定的。 49 7.5.3 7.5.3 修正劳斯稳定判据修正劳斯稳定判据 7.5.2 7.5.2 舒尔舒尔- -科恩稳定判据科恩稳定判据50第第7 7章章 离散系统控制理论离散系统控制理论 7.1 7.1 信号的采样与保持信号的采样与保持 7

31、.2 7.2 差分方程差分方程 7.3 Z 7.3 Z 变换变换 7.4 Z7.4 Z传递函数传递函数 7.7 7.7 线性离散系统稳态性能分析线性离散系统稳态性能分析7.5 7.5 线性离散系统的稳定性分析线性离散系统的稳定性分析 7.8 7.8 线性离散系统设计方法线性离散系统设计方法7.6 7.6 线性离散系统的暂态分析线性离散系统的暂态分析7.9 MATLAB7.9 MATLAB在离散系统分析中的应用在离散系统分析中的应用517.6.1 7.6.1 离散系统的暂态性能指标离散系统的暂态性能指标（1） （最大）超调量（最大）超调量%100)()(%maxcccp（2 2）（最大）超调时间

32、）（最大）超调时间 （3 3） 稳态误差稳态误差pt （4 4）调节时间）调节时间 )(%)()(cctc527.6.2 7.6.2 离散系统极点分布与动态响应的关系离散系统极点分布与动态响应的关系531. 1. 实轴上的单极点实轴上的单极点azAzzy)(kAaky)(对于极点对于极点a的不同位置，有不同的序列的不同位置，有不同的序列( )y k（1 1） 当当1,()ay k是发散序列是发散序列（2 2） 当当（5 5） 当当（4 4） 当当（3 3） 当当1,()ayk是等幅序列是等幅序列01, ( )ay k是单调衰减正序列，是单调衰减正序列， 且且a越小，衰减越快越小，衰减越快10,

33、 ( )ay k 是交替变号的衰减序列，是交替变号的衰减序列， 且且a越小，衰减越快越小，衰减越快1, ( )ay k 是交替变号的等幅序列是交替变号的等幅序列（6 6） 当当1, ( )ay k 是交替变号的发散序列是交替变号的发散序列542. 2. 共轭复数极点共轭复数极点jbazzAjbazzAzy21)(kkjbaAjbaAky)()()(21)cos()(122abkktgbaA22bar)cos()(kArkyk55第第7 7章章 离散系统控制理论离散系统控制理论 7.1 7.1 信号的采样与保持信号的采样与保持 7.2 7.2 差分方程差分方程 7.3 Z 7.3 Z 变换变换

34、7.4 Z7.4 Z传递函数传递函数 7.7 7.7 线性离散系统稳态性能分析线性离散系统稳态性能分析7.5 7.5 线性离散系统的稳定性分析线性离散系统的稳定性分析 7.8 7.8 线性离散系统设计方法线性离散系统设计方法7.6 7.6 线性离散系统的暂态分析线性离散系统的暂态分析7.9 MATLAB7.9 MATLAB在离散系统分析中的应用在离散系统分析中的应用56 7.7 7.7 线性离散系统的稳态误差分析线性离散系统的稳态误差分析)(1)()(zGzRzE)() 1(zEz 在在Z Z平面以原点为圆心的单位圆上和单位圆外没有极点，平面以原点为圆心的单位圆上和单位圆外没有极点，则离散系统

35、的稳态误差的终值为则离散系统的稳态误差的终值为)(1)()1 (lim)()1 (lim)(lim)(1111zGzRzzEzteezzt5758第第7 7章章 离散系统控制理论离散系统控制理论 7.1 7.1 信号的采样与保持信号的采样与保持 7.2 7.2 差分方程差分方程 7.3 Z 7.3 Z 变换变换 7.4 Z7.4 Z传递函数传递函数 7.7 7.7 线性离散系统稳态性能分析线性离散系统稳态性能分析7.5 7.5 线性离散系统的稳定性分析线性离散系统的稳定性分析 7.8 7.8 线性离散系统设计方法线性离散系统设计方法7.6 7.6 线性离散系统的暂态分析线性离散系统的暂态分析7.9 MATLAB7.9 MATLAB在离散系统分析中的应用在离散系统分析中的应用59 7.8.1 7.8.1 数字数字PIDPID控制控制sKsKKsTsTKsEsUsGDIPDIPc1)11 ()()()(dttdeTdtteTteKtuDIP)()(1)()(dttdeKdtteKteKDIP)()()() 1()()()()(0kekeTTmekeKkuDkmTTPI) 1()()()(0kekeKme