第七章晶体中电子在电场和磁场中的运动

1、第七章第七章 晶体中电子在电场和磁场中的运动晶体中电子在电场和磁场中的运动 由于通常外加的场总是比晶体的周期场弱得多，因而可以在周期场的本征态的基础上进行讨论。采用的方法有两种：一是解含外场的波动方程一是解含外场的波动方程 222UVEm r通常情况下，这只能得到近似解；另一种方法是在一定条另一种方法是在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处件下，把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。理。条件：外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的跃迁，不考虑电子的衍射、干涉及碰撞等。7.1准经典运动准经典运动一、波包与电子速度一、波包与电子速度 在晶体中，可以用Bloch函数来

2、组成波包。由于波包中含有能量不同的本征态，因此，必须用含时间的Bloch函数。 对于一维情况，设波包由以k0为中心，在k的范围内的波函数组成，并假设k很小，可近似认为 0kkuxux不随k而变。对于一确定的k ，含时的Bloch函数为 ,i kxtkkx teux /kE k波包 0202,kkki kxtkkx teux dk 02002kkki kxtkkuxedk令0kk 00kdkdk 000022,expkki k xtkkdx tux ei xtddk 0000022sinki k xtkkkddkddkxtux ext 0kkuxux为分析波包的运动，只需分析2，即几率分布即可。

3、 000222222sin,kkkkddkkddkxtx tuxkxt令0kdwxtdkw2k2k0222sinkkww波函数集中在尺度为 的范围内，波包中心为：w0。2k有001kkddExttdkdk若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为001kdxdEv kdtdk E kk 布里渊区的宽度：2/a ，而假设k很小，一般要求2ka即2ak推广到三维情况，电子速度为1Ekv电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向，即垂直于等能面。因此，电子的运动方向决定于等能面的形状，在一般情况下，在k空间中，等能面并不是球面，因此，v的方向一般并不是k的方向，只有当等能面为球面，或在某些特殊方向上，v才与

4、k的方向相同。电子运动速度的大小与k的关系，以一维为例。在能带底和能带顶，E(k)取0dEdk极值， 。因此，在能带底和能带顶，电子速度v0。220d Edk而在能带中的某处，电子速度的数值最大，这种情况与自由电子的速度总是随能量的增加而单调上升是完全不同的。二、电子的准动量二、电子的准动量 在外场中，电子所受的力为F，在dt时间内，外场对电子所做的功为Fvdt根据功能原理，有dtdEE d kF vk1Ekv0ddtkFv 在平行于v的方向上， 和F的分量相等；当F与速度v垂直时，不能用功能原理来讨论电子能量状态的变化，但是我们仍可以证明在垂直于速度的方向上，ddtkddtk和外力F的分量也

5、相等。ddt kF上式是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，具有与经典力学中牛顿定律相似的形式。k 电子的准动量。三、电子的加速度和有效质量三、电子的加速度和有效质量晶体中电子准经典运动的基本关系式：1EddtkvkF由以上两式可直接导出在外力作用下电子的加速度。1. 一维情况2222211d EdkdvddEdk d EFadtdtdkdtdk引入电子的有效质量：222d EdkmdvFmdt有由于周期场中电子的能量E(k)与k的函数关系不是抛物线关系，因此，电子的有效质量m*与k有关。在能带底，220d EdkE(k)取极小值，这时，m*0；在能带顶，E(k)取极大值，220d Edk

6、所以，m*0，则k0点为能带底；k/a为能带顶。 112sindEaJv kkadk2221222cosd Edkma Jka在能带底k=0和能带顶k=/a处，电子速度v(k)=0；而在k=/2a处， v(k)分别为极大和极小。一、在一、在k空间中的运动图象空间中的运动图象若沿-x方向加一恒定电场，有F=e 沿+x方向。由 F=dk/dt=e， 得dk/dt= e/ =const.这表明电子在k空间中做匀速运动。 在准经典运动中，电子在同一能带中运动。因此，电子在k空间中的匀速运动意味着电子的能量本征值沿E(k)函数曲线周期性变化，即电子在k空间中做循环运动。 电子在k空间中的循环运动，表现在

7、电子速度上是v随时间作周期性振荡。二、在实空间中的运动图象二、在实空间中的运动图象Ex=0ExAB C电子速度的周期性振荡也就是电子在实空间中的振荡。设t=0时电子在较低的能带底A点，在电场力的作用下，电子从（能带底）AB C（能带顶），对应于电子从k=0运动到k=/a。在C点电子遇到能隙，相当于存在一个势垒。在准经典运动中，电子被限制在同一能带中运动，因此电子遇到势垒后将全部被反射回来，电子从CB A，对应于k=/a到k=0的运动，完成一次振荡过程。有两点必须指出：1. 上述的振荡现象实际上很难观察到。由于电子在运动 过程中不断受到声子、杂质和缺陷的散射，若相邻两 次散射（碰撞）间的平均时间

8、间隔为，如果很小， 电子还来不及完成一次振荡过程就已被散射。而电子 完成一次振荡所需的时间为22T简约区的宽度电子在 空间的速度kaee a为了观察到电子的振荡过程，要求 T。在晶体中， 1012 s，a 31010 m，由此可估算出若要观察到振荡现象，需加的电场 104105 V/cm。对金属，无法实现高电场；对绝缘体，将被击穿。2. 在准经典运动中，当电子运动到能隙时，将全部被 反射回来。而根据量子力学，电子遇到势垒时，将 有一定几率穿透势垒，而部分被反射回来。电子穿 透势垒的几率与势垒的高度（即能隙Eg）和势垒的 长度（由外场决定）有关。2expe穿透几率ggE2mE7.3 导体、绝缘体

9、和半导体的能带论解释导体、绝缘体和半导体的能带论解释在k空间中，对于同一能带有 nnEE-kk容易证明，对于同一能带，处于k态和处于k态的电子具有大小相等方向相反的速度。 -111 nnnEEEkkkv kkvkkkv k当没有外加电场时，在一定温度下，电子占据k态和k态的几率只与该状态的能量有关。所以，电子占据k态和k态的几率相同，这两态的电子对电流的贡献相互抵消。所以，无宏观电流I0。 在有电场存在时，由于不同材料中电子在能带中的填充情况不同，对电场的响应也不同，导电能力也各不相同。一、满带、导带和近满带中电子的导电能力，空穴概念一、满带、导带和近满带中电子的导电能力，空穴概念 满 带：能

10、带中电子已填满了所有的能态。 导 带：一个能带中只有部分能态填有电子，而其 余的能态为没有电子填充的空态。 近满带：一个能带的绝大部分能态已填有电子，只 有少数能态是空的。1. 满带 在有外加电场时，由于满带中所有能态均已被电子填满，电子在满带中的对称分布不会因外场的存在而改变，所以不产生宏观电流，I0。2. 导带 由于导带中还有部分没有电子填充的空态，因而导带中的电子在外场的作用下会产生能级跃迁，从而使导带中的对称分布被破坏，产生宏观电流，I0。3. 近满带和空穴 在有外场时，由于近满带中仍有少量没有电子占据的空态，所以在外场的作用下，电子也会发生能级跃迁，导致电子的不对称分布，所以， I0

11、。 假设近满带中有一个k态中没有电子，设I(k)为这种情况下整个近满带的总电流。设想在空的k态中填入一个电子，这个电子对电流的贡献为ev(k)。但由于填入这个电子后，能带变为满带，因此总电流为0。 0 I kv ke 这表明，近满带的总电流就如同一个带正电荷e，其速度为空状态k的电子速度一样。 在有电磁场存在时，设想在k态中仍填入一个电子形成满带。而满带电流始终为0，对任意t时刻都成立。 I kkddevdtdt作用在k态中电子上的外力为 keFvB= eI kv k =+ I kv kvB2ddeedtdtm I kv kBde=e +edtm 而在能带顶附近，电子的有效质量为负值，m* 几

12、个eV。 如Al2O3： Eg8 eV；NaCl： Eg6 eV。半金属：介于金属与半导体之间的中间状态。电子密度：As：2.11020cm-3; Sb： 5.7 1019cm-3; Bi： 2.7 1017cm-3; Cu： 8.45 1022cm-3 电阻率：Bi：c 127 10-6(cm)；c 100 10-6(cm) Sb：c 29.310-6(cm)；c 38.4 10-6(cm) Cu： 1.55 10-6(cm)；Al：2.5 10-6(cm) 由于半导体材料的能隙较窄，因而在一定温度下，有少量电子从价带顶跃迁到导带底，从而在价带中产生少量空穴，而在导带底出现少量电子。因此，在

13、一定温度下，半导体具有一定的导电性，称为本征导电性。电子的跃迁几率exp(-Eg/kBT)，在一般情况下，由于EgkBT，所以，电子的跃迁几率很小，半导体的本征导电率较低。T升高，电子跃迁几率指数上升，半导体的本征电导率也随之迅速增大。 在金属中，其导带部分填充，导带中有足够多的载流子（电子或空穴），温度升高，载流子的数目基本上不增加。但温度升高，原子的热振动加剧，电子受声子散射的几率增大，电子的平均自由程减小。因此，金属的电导率随温度的升高而下降。T半导体金属 如果半导体中存在一定的杂质，其能带的填充情况将有所改变，可使导带中出现少量电子或价带中出现少量空穴，从而使半导体有一定的导电性，称为

14、非本征导电性。 绝缘体的带隙宽，在一般情况下，绝缘体没有可观察到的导电性。三、几个实例三、几个实例 碱金属碱金属 晶体结构：体心立方（ bcc）结构，每个原胞中 有一个原子。碱金属原子基态：内壳层饱和，最外层的 ns态有一个价电子。Li：1s22s1；Na：1s22s22p63s1 等。 由N个碱金属原子结合成晶体时，原子的内层电子刚好 填满相应的能带，而与外层ns态相应的能带却只填充了 一半。因此，碱金属是典型的金属导体。 贵金属贵金属（Cu、Ag和Au）的情况（fcc结构）与碱金属相 似，也是典型的金属导体。 第三族元素也有类似的情况，只不过这时形成导带的是np电子，而不是ns电子。所以，

15、第三族元素的晶体绝大多数为金属。 对于二价的碱土金属元素，与碱金属元素相似，其最外层有两个ns电子，如Be：1s22s2；Mg：1s22s22p63s2等。若按对碱金属的讨论，N个碱土金属原子中有2N个ns电子，应刚好填满其相应的ns能带而形成非导体。但实际上它们是金属导体，而不是非导体。这是由于在这些晶由于在这些晶体中，与体中，与ns态相应的能带与上面的能带发生重叠，因此，态相应的能带与上面的能带发生重叠，因此，2N个个ns电子尚未填满相应的能带就已开始填入更高的电子尚未填满相应的能带就已开始填入更高的能带，结果使得这两个能带都是部分填充的。能带，结果使得这两个能带都是部分填充的。 周期表中

16、第四族及其以上的元素，由于其电子态和结合形式比较复杂，所以必须经过具体计算之后，才能判断是金属还是非金属。 对绝缘体，如：NaCl晶体。Na原子基态：1s22s22p63s1；Cl原子基态：1s22s22p63s23p5。当Na原子与Cl原子结合成NaCl晶体时，Na的3s带比Cl的3p带高约6 eV，在Cl的3p带中可以填充6N个电子，但N个Cl原子中只有5N个3p电子，于是，在能量较高的Na的3s带中的N个电子就转移到能量较低的Cl的3p带中，刚好填满Cl的3p带，而Na的3s带成为空带，其能隙Eg 6 eV，所以，NaCl晶体为绝缘体。四、四、X射线发射谱射线发射谱 电子在价电子能带中的

17、填充情况可以用X射线发射谱实验来验证。1s2s2p价电子能 带KL1L2K：外层电子落入 空的1s态而发射 的X射线；L1：外层电子落入 2s态所发射的X 射线；L2：外层电子落入 2p态所发射的X 射线。发射谱的强度： IN E跃迁几率 X射线发射谱的强度可较直接地反映价电子能带的能态密度状况。7.4 在恒定磁场中电子的运动在恒定磁场中电子的运动 讨论电子在恒定磁场中的运动有两种方法：准经典近似和求解含磁场的Schrdinger方程。一、恒定磁场中的准经典运动一、恒定磁场中的准经典运动准经典运动的两个基本方程： =1Ededtkv kkkFv kB =1. 在k空间中的运动图象ddtkB这表

18、明沿磁场方向k的分量不随时间而变，即在k空间中，电子在垂直于磁场B的平面内运动；又由于Lorentz力不做功， ，所以电子的能量E(k)不随时间而变，即电子在等能面上运动。 电子在电子在k空间中的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等空间中的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面的交线，即电子在垂直于磁场的等能线上运动。能面的交线，即电子在垂直于磁场的等能线上运动。Fv 在k空间中，电子作循环运动。 ed =dtkv kB电子的循环周期： T等能线等能线dkdteBvk回转园频率： 022eBdkvkT对自由电子： 22kE2mk电子的回旋轨道为园 kvmk在等能线上，kconst. 0222eBeBeB

19、dkmmkvkk2. 在实空间中的运动图象在实空间中，电子的运动轨迹为一螺旋线。对于自由电子：k =vm如设磁场沿z 轴方向，有0 xyyxzdveBvdtmdveBvdtmdvdt解为0000cossinttxyzvvvvvconst.22200 xyvvveBm实空间中电子的运动图象：沿磁场方向（实空间中电子的运动图象：沿磁场方向（z方向），电方向），电子作匀速运动，在垂直于磁场的平面内，电子作匀速子作匀速运动，在垂直于磁场的平面内，电子作匀速圆周运动。圆周运动。回转频率：0eBm对于晶体中的电子1ddtmevFF =vB在主轴坐标系中有111,yxzxyzxyzdvdvdvFFFdtmd

20、tmdtm 若磁场方向取在z轴方向，BBk，即可写出其相应的准经典运动方程。0 xyxyxyzdveBvdtmdveBvdtmdvdt 二、自由电子的量子理论二、自由电子的量子理论在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为22pHm当有磁场存在时，电子运动的哈密顿量为212HempAA为磁场的矢势， BA若磁场B沿z方向，则可取,0,0By A22212xyzHpeByppm由于哈密顿算符中不含x和z， 与Hxpix zpiz 及对易。根据量子力学，H和px、pz有共同本征态。设为其共同本征态，有xxzzpkpk波函数可以写成 xzi k x k zeyr代入波动方程HE 222212xyzkeByp

21、kyEym 2222221222zxkkeByyEym ymm 2222002122myyyym y其中0,eBm0,xykeB222zkEm上式是中心位置在y=y0，振动园频率为0的线性谐振子。解为00000exp2nnnmmyyNyyHyyNn为归一化因子，Hn(y)为厄密多项式。相应的能量本征值为012nnn=0, 1, 2, 0 xzi k x k zneyyr 222201222zznkkEnmmk 即，根据量子理论，在垂直于磁场平面内的匀速圆周运动对应于一种简谐振动，其能量是量子化的。我们将这些两种量子化的能级称为朗道能级。三、晶体中电子的有效质量近似三、晶体中电子的有效质量近似晶

22、体中电子在磁场中运动时，其哈密顿量为 212HeUmpAr其中，U(r)为 晶体的周期性势场，严格求解晶体中的电子在磁场中的运动是非常困难的。但在有些情况下，可将哈密顿量近似写成212HempA即将周期场的影响概括为有效质量的变化，称为有效质量近似。一般半导体材料中，在导带底和价带顶附近常一般半导体材料中，在导带底和价带顶附近常常可以采用有效质量近似。对有些金属材料（如碱金属）常可以采用有效质量近似。对有些金属材料（如碱金属）有时也可以采用。有时也可以采用。在有效质量近似的框架内，前面我们对自由电子的讨论可以推广到晶体中的电子，只需用有效质量m*代替自由电子的质量m即可。四、电子回旋共振和四、电子回旋共振和De HaasVan Alphen效应效应1. 电子回旋共振 将一晶片垂直置于磁场中，若沿磁场方向输入一频率为的交变电场，且EB。Beh讯号讯号当0时，电子回旋与电场同步，电子吸收电场能量达到极大，这种现象称为电子回旋共振。从量子理论的观点，电子吸收了电场的能量，相当于实现了电子在朗道能级间的跃迁。测量