高等数学全套课件共10章62节之2-1

1、上页上页下页下页返回返回第 1 页第一节第一节 导数的概念导数的概念一、一、 导数的定义导数的定义三、三、 导数的实际意义导数的实际意义二、二、 可导与连续的关系可导与连续的关系本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出上页上页下页下页返回返回第 2 页一、导数的概念一、导数的概念1、引例、引例目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导：时刻的瞬时速度求)(00tvt平均速度,0时当t平均速度的极限为平均速度的极限为瞬时速度)(0tfs)(0ttf（1）.变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度)(,tfs

2、 关系为物体运动位移与时间的如图,00这段时间内到从tttttfttftsv)()(00ttfttftsvtvttt)()(limlimlim)(000000上页上页下页下页返回返回第 3 页（2）.曲线的切线斜率曲线的切线斜率 割线的极限位置割线的极限位置切线切线播放播放目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 4 页 T0 xxx0oxy)(xfy PM如图如图, 当曲线的割线当曲线的割线MP的的P点沿曲线趋向于点点沿曲线趋向于点M时，割线时，割线MP的极限位置的极限位置MT称为曲线在点称为曲线在点M处的处的切线切线.t

3、antan,割线倾斜角当MP的的斜斜率率为为切切线线MT.limtanlimtan00 xykxx目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导xy.)()(lim000 xxfxxfx上页上页下页下页返回返回第 5 页2、导数的定义、导数的定义,)(,)(,)()(limlim);()(,)(00000000000 xxxxyxxfyxxfyxxfxxfxyxfxxfyyxxxxxfy记为处的导数在点限值为函数并称这个极处可导在点则称函数存在如果极限有增量相应地函数时处取得增量在当自变量定义及其附近有在点设函数定义：定义：目录目录后退后退主主页页退退出出

4、本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 6 页.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)()(000 xxxxdxxdfdxdyxf或、即即目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 7 页.,00而变化的快慢程度因变量随自变量的变化它反映了的变化率处点的导数是因变量在点函数在xx.),()(,),()(内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果

5、函数baxfbaxfy 1）关于导数的说明：）关于导数的说明：目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 8 页简称导数。或函数记作的导数这个新函数叫做原来函导数值的一个确定的都对应着对于任一,)(),(,)(),()(),(dxxdfdxdyxfyxfxfxfbaxxxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(. 100 xxxfxf 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 9 页3、求简单函

6、数的导数举例、求简单函数的导数举例步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 10 页例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(

7、lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 11 页例例3 3.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复

8、习指导上页上页下页下页返回返回第 12 页练习练习6xy 32xy 5 xyxy131xy 5322xxxy 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 13 页答案566,xyxy655,xyxy433,1xyxy3132,32xyxy232121,1xyxyxy656125322532261xyxxxxxy目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 14 页例例4 4.)1, 0()(的的导导数数求求函函数数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)

9、(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 15 页例例5 5.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 16 页二、可导与连续的关

10、系二、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连连续续在在点点函函数数xxf)0(0 x 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 17 页连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(. 1000函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2x

11、y 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的的角角点点为为处处不不可可导导在在xfxx 注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.结论结论: : 可导一定连续可导一定连续目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 18 页31xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x目录目录后退后退主主页页

12、退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 19 页., )()(. 30点点不不可可导导则则指指摆摆动动不不定定不不存存在在在在连连续续点点的的左左右右导导数数都都函函数数xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,.0处不可导处不可导在在 x011/1/xy目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 20 页.)()(,)(. 4000不可导点不可导点的尖点的尖点为函数为函数则称点则称点符号相反符号相反的两个单侧导数的两个单侧导数且在点且在点若若xfxxxf xyox

13、y0 xo)(xfy )(xfy 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 21 页例例6 6.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 22 页三、导数的实际意义三、导数的实际意义

14、oxy)(xfy T0 xM1.几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 23 页例例7 7已知曲线已知曲线2xy 试求：试求：1 1）曲线在点（）曲线在点（1 1，1 1）处的切线方程和法线方程；）处的切线方程和法线方程；2 2）曲线上哪点处的切线与直线）曲线上哪点处的切线

15、与直线14 xy平行平行解：解：1 1）因为因为xy2 由导数的几何意义，由导数的几何意义，曲线曲线2xy 在点（在点（1 1，1 1）处的切线的斜率为：）处的切线的斜率为：21 xy故所求的切线方程为：故所求的切线方程为：) 1(21 xy即：即：012 yx法线方程为：法线方程为：) 1(211 xy即即032 yx目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 24 页例例8 8.,)2 ,21(1方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线

16、斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 25 页2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dt

17、dqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 26 页总结总结 可导一定连续，连续不一定可导。 不连续一定不可导。 不可导不一定不连续。目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 27 页例例8 8.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是是有有

18、界界函函数数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处处有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 28 页小结：小结：1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但

19、连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 29 页思考题思考题 函数函数)(xf在某点在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 与导函数与导函数)(xf 有什么区别与联系？有什么区别与联系？目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节

20、复习指导上页上页下页下页返回返回第 30 页思考题解答思考题解答 由导数的定义知，由导数的定义知，)(0 xf 是一个具体的是一个具体的数值，数值，)(xf 是由于是由于)(xf在某区间在某区间 I上每上每一点都可导而定义在一点都可导而定义在I上的一个新函数，即上的一个新函数，即Ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 与之对应，所以两与之对应，所以两者的者的区别区别是：一个是数值，另一个是函数两是：一个是数值，另一个是函数两者的者的联系联系是：在某点是：在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 即是导即是导函数函数)(xf 在在0 x处的函数值处的函数值 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引

21、入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 31 页一、一、 填空题：填空题： 1 1、 设设)(xf在在0 xx 处可导，即处可导，即)(0 xf 存在，则存在，则 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . . 2 2、 已知物体的运动规律为已知物体的运动规律为2ts ( (米米) )，则该物体在，则该物体在2 t秒时的速度为秒时的速度为_ ._ . 练练习习题题目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 32 页3 3、设、设2)(xxf , ,则

22、则 )(xff_； )(xff_. _. 4 4、 线线xey 在 点在 点)1,0(处 的 切 线 方 程 为处 的 切 线 方 程 为_._. 二、设函数二、设函数 0,00,1sin)(xxxxxfk问问k k满足什么条满足什么条 件，件，)(xf在在0 x处处 (1)(1)连续；连续； （2 2）可导；）可导； 三、设函数三、设函数 1,1,)(2xbaxxxxf, ,为了使函数为了使函数 )(xf在在1 x处连续且可导，处连续且可导，ba ,应取什么值应取什么值. . 主页目录后退退出目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页

23、返回返回第 33 页四四、已已知知 0,0,sin)(xxxxxf, ,求求)(xf. . 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 34 页 一、一、1 1、)(0 xf ； 2 2、)(0 xf ； 3 3、24x, ,22x； 4 4、01 yx. . 二、二、(1)(1)当当0 k时时, ,)(xf在在0 x处连续；处连续； (2)(2)当当1 k时时, ,)(xf在在0 x处可导处可导, ,且且0)0( f； 三、三、1, 2 ba. . 四、四、 0, 10,cos)(xxxxf. . 练习题答案练习题答案目录目

24、录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 35 页2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 36 页2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 37 页2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 38 页2.切线问题切线问题割线的极限

25、位置割线的极限位置切线位置切线位置本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 39 页2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 40 页2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 41 页2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 42 页2.切线问题切线问题割

26、线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 43 页2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 44 页2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 45 页2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回

27、返回第 46 页2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 47 页2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 48 页2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 49 页2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 50 页2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 51 页2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 52 页2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼