概率论与数理统计 第6章

1、.第六章第六章 参数估计参数估计o参数的点估计参数的点估计 o估计量的评选标准估计量的评选标准o正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计.6.1 参数的点估计参数的点估计一、参数估计的概念一、参数估计的概念问题的提出：问题的提出：已知已知总体总体X的的分布函数分布函数F(x;1,2,k)，其中其中1, 2, k是是未知参数未知参数，现从该总体中随机地抽，现从该总体中随机地抽样，得到一个样样，得到一个样X1,X2,Xn ，再依据该样本对参数，再依据该样本对参数1, 2, k作出估计作出估计,或者估计参数的某个已知函数。或者估计参数的某个已知函数。点估计点估计：用某个函数值作为总体未知函数的估

2、计值：用某个函数值作为总体未知函数的估计值区间估计区间估计：对未知参数：对未知参数给出一个范围给出一个范围，并给出在一定，并给出在一定的可靠度下使这个范围的可靠度下使这个范围包含包含未知参数的真值。未知参数的真值。.由于由于),(21nixxx现用它来估计未知参数现用它来估计未知参数 ，故称这种估计为故称这种估计为点估计点估计。是实数域上的一个点，是实数域上的一个点，),(21niiXXX作为参数作为参数i的估计，称的估计，称),(21niiXXX为参数为参数i的的估计量估计量。在不致混淆的情况下，估计量、估计值统称估计，记在不致混淆的情况下，估计量、估计值统称估计，记为为i样本样本(X1,X

3、2,Xn)的一组取值的一组取值(x1,x2,xn)称为样本观察称为样本观察值，将其代入估计量值，将其代入估计量i，得到数值，得到数值),(21niixxx称为参数称为参数i的的估计值估计值。点估计点估计：由总体的样本由总体的样本(X1,X2,Xn)对每一个未知参数对每一个未知参数i(i=1,2,k)构造统计量构造统计量.点估计的经典方法是：点估计的经典方法是： (1)矩估计法矩估计法 (2)极大似然估计法极大似然估计法二、矩估计法二、矩估计法(简称简称“矩法矩法”) 英国统计学家皮尔逊英国统计学家皮尔逊(K.pearson)提出提出1、矩法的基本思想：、矩法的基本思想：以以样本矩样本矩 作为相

4、应的作为相应的总体同阶矩总体同阶矩E(Xk)的估计的估计(P159)；以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计.11nkiiXn.2、矩法的步骤：、矩法的步骤：设总体设总体X的分布为的分布为F(x;1,2,k)，k个参数个参数1,2,k待估计待估计，(X1,X2,Xn)是一个样本是一个样本 。(1)计算总体分布的计算总体分布的i阶原点矩阶原点矩E(Xi)=i(1,2,k)，i=1,2,k，(计算到计算到k阶阶矩为止，矩为止，k个参数个参数)；(2)列方程列方程112122221211211( ,)()1( ,)()1( ,)()nkjjnkj

5、jnkkkkkjjE XXXnE XXXnE XXXn 从中解出方程组的解，记为从中解出方程组的解，记为k21，则则k21，分别为参数分别为参数1,2,k的的矩估计矩估计。.例例6.1 设总体设总体X的均值为的均值为，方差为方差为2，均未知。，均未知。 (X1,X2,Xn)是总体的一个样本，求是总体的一个样本，求和和2的矩估计。的矩估计。解解12222211()1()()()niiniiE XXnE XD XEXXn解得矩法估计量为解得矩法估计量为niiXn11niiniiniiXXnXXnXn122122122)(111注：注：niiXXn12)(1niiiXXXXn122)2(1ninii

6、niiXnXXnXn1211212112112121XXnXXnniinii2121XXnnii.例例6.2 设总体设总体XP()，求求的矩估计。的矩估计。解解XXnXEnii11)(X例例6.3 设设(X1,X2,Xn)来自来自X的一个样本，且的一个样本，且其它其它01),(bxaabbaxfX求求a,b的矩估计。的矩估计。解解 XU(a,b)2)(baXE12)()(2abXD222)(12)()(2)(EXabXEXbaXEniiniiXXnXXnabXba122122)(1112)(2解得矩估计为解得矩估计为23aXB23bXB2211()niiBXXn2阶中心矩阶中心矩.矩法估计的优

7、点：矩法估计的优点：计算简单计算简单；矩法估计的缺点矩法估计的缺点：(1)矩法估计有时会得到不合理的解；矩法估计有时会得到不合理的解；(2)求矩法估计时，不同的做法会得到不同的解；求矩法估计时，不同的做法会得到不同的解；(通常规定，在求矩法估计时，要尽量使用低阶矩通常规定，在求矩法估计时，要尽量使用低阶矩)如例如例6.2中，若不是用中，若不是用1阶矩，而是用阶矩，而是用2阶矩阶矩niiXnXEXXDXE122221)()()()(niiniiXXnXXn12212)(11与与不同不同X(3)总体分布的矩不一定存在，所以矩法估计不一定有总体分布的矩不一定存在，所以矩法估计不一定有解。如解。如xx

8、xxfX0)(2)lnlnlim()(2xdxxdxxxdxxxfEXx.先看一个简单例子：先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过一只野兔从前方窜过 . .是谁打中的呢？是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一起某位同学与一位猎人一起外出打猎外出打猎 . .如果要你推测，如果要你推测，你会如何想呢你会如何想呢? ?只听一声枪响，野兔应声倒下只听一声枪响，野兔应声倒下 .二、极大似然估计法二、极大似然估计法( (R.A.Fisher费歇费歇) ).1、极大似然估计法的基本思想、极大似然估计法的基本思想 一般说，事件一般说，事件A发生的概率与参数发生的概率与参数 有关，有关， 取值不同，则取值不同，则P(

9、A)也不同。因而应记也不同。因而应记事件事件A发生的发生的概率为概率为P(A| )。若若A发生了，则认为此时的发生了，则认为此时的 值应是值应是在在 中使中使P(A| )达到最大的那一个达到最大的那一个。这就是极大似然。这就是极大似然思想。思想。使得取该样本值发生的使得取该样本值发生的可能性最大可能性最大。 由样本的具体取值，选择参数由样本的具体取值，选择参数的估计量的估计量.例例6.4 设总体设总体X服从服从01分布，即分布律为分布，即分布律为1()(1)xxP Xxx=0,1，其中其中00未知，未知，求求的极大似然估计量。的极大似然估计量。解解 总体总体X的分布律为的分布律为!xP Xxe

10、xx=1,2,设设(x1,x2,xn)为样本为样本(X1,X2,Xn)的一个观察值，的一个观察值，似然函数似然函数niixXPL1)()(niixexi1!niixnxei1!对数似然函数对数似然函数niiixxnL1) !ln(ln)(ln0)(lnLdd011niixnniixn1101)(ln1222xnxLddniixx是是的极大似然估计值的极大似然估计值,的极大似然估计量为的极大似然估计量为所以所以XL.例例6.6 设设(X1,X2,Xn)是来自正态总体是来自正态总体XN(,2)的一个的一个样本，样本，,2未知，求未知，求,2的极大似然估计。的极大似然估计。解解 设设(x1,x2,x

11、n)为样本为样本(X1,X2,Xn)的一个观察值，则的一个观察值，则似然函数为似然函数为22()22111( ,)( )2ixnniiiLf xe niixne122)(2122)2(niixnnL12222)(21ln22ln2),(ln0)(212),(ln0)(1),(ln124222122niiniixnLxL12211=1()niiniixxnxxn解得解得所以所以,2的极大似然估计量分别为的极大似然估计量分别为XLniiLXXn122)(1思考：当思考：当已知已知时，时，?2L.例例6.7 设设XUa,b， a,b未知，未知，(X1,X2,Xn)是总体是总体X的一个的一个样本，求样

12、本，求a,b的极大似然估计。的极大似然估计。解解 X的密度函数为的密度函数为其它其它01)(bxaabxf设设(x1,x2,xn)为样本为样本(X1,X2,Xn)的一个观察值，则似然函的一个观察值，则似然函数数nniababbaL)(11),(1axi b，i=1,2,n)ln(),(lnabnbaLln ( , )0L a bnabaln( , )0L a bnbba 无法求出估计无法求出估计La Lb设设x1*=min(x1,x2,xn)，xn*=max(x1,x2,xn)，则则a的取值范围的取值范围ax1*，b的取值范围的取值范围bxn* 当当a=x1*，b=xn*时，有时，有nnnxx

13、ab)(1)(1*1*L(a,b)当当a=x1*，b=xn*时取得最大值。所以时取得最大值。所以),min(21nLXXXa),max(21nLXXXb.注：注：由似然方程解不出由似然方程解不出 的似然估计时，可由定义的似然估计时，可由定义通过分析直接推求。事实上通过分析直接推求。事实上)(max)(LLLL满足满足极大似然估计具有下述性质：极大似然估计具有下述性质：若若 是未知参数是未知参数 的极大似然估计，的极大似然估计， g( )是是 的严格的严格单调函数，则单调函数，则g( )的极大似然估计为的极大似然估计为g( ),.6.2 估计量的评选标准估计量的评选标准一、无偏性一、无偏性估计量

14、估计量),(21nXXX的观察或试验的结果，估计值可能较真实的参数值偏大的观察或试验的结果，估计值可能较真实的参数值偏大或偏小，而一个好的估计量不应总是偏大或偏小，在多或偏小，而一个好的估计量不应总是偏大或偏小，在多次试验中所得的估计量的平均值应与真实参数吻合，这次试验中所得的估计量的平均值应与真实参数吻合，这就是无偏性所要求的。就是无偏性所要求的。 是一个随机变量，对一次具体是一个随机变量，对一次具体定义定义),(21nXXX是是 的一个估计量，如果的一个估计量，如果 有有( )E则称则称是是 的一个的一个无偏估计无偏估计。如果如果不是无偏的，就称该估计是有偏的。不是无偏的，就称该估计是有偏

15、的。称称)()( Eb为为的偏差。的偏差。.例例6.9 设总体设总体X的的k阶矩存在，则不论阶矩存在，则不论X的分布如何，样的分布如何，样本本k阶原点矩阶原点矩nikikXnA11是总体是总体k阶矩的无偏估计。阶矩的无偏估计。证明证明设设X的的k阶矩阶矩 k=E(Xk)，k1(X1,X2,Xn)是来自总体是来自总体X的一个样本，则的一个样本，则kkkiXEXE)()(ni, 2 , 1)1()(1nikikXnEAEnikiXEn1)(1knikEn1)(1所以所以Ak是是k的无偏估计的无偏估计.例例6.10 (P163)设设XN(,2)，其中其中,2未知，问未知，问,2的的极大似然估计是否为

16、极大似然估计是否为,2的无偏估计？若不是，请修的无偏估计？若不是，请修正使它成为无偏估计。正使它成为无偏估计。解解 设设(X1,X2,Xn)是取自总体是取自总体X的一个样本，由例的一个样本，由例6.6知知XLniiLXXn122)(1)()(XEELXL是是的无偏估计的无偏估计) 1() 1(222nSn) 1(222nn2221)(nnE) 1(22nnE不是不是2的无偏估计，而的无偏估计，而222211()11niinXSXnn为为2的无偏估计的无偏估计。（P153 定理定理1）.例例(考题考题)设设 是总体是总体X的未知参数的未知参数 的无偏估计量，且的无偏估计量，且D( ) 0，证明，

17、证明 不是不是 的无偏估计量。的无偏估计量。22.二、有效性二、有效性对于参数对于参数 的无偏估计量，其取值应在真值附近波动，的无偏估计量，其取值应在真值附近波动，我们希望它与真值之间的偏差越小越好。我们希望它与真值之间的偏差越小越好。 定义定义 设设12均为未知参数均为未知参数 的无偏估计量，若的无偏估计量，若)()(21DD则称则称1比比2有效有效。在在 的所有无偏估计量中，若的所有无偏估计量中，若估计量，则称估计量，则称1是具有最小方差的无偏是具有最小方差的无偏显然也是最有效的无偏估计量，简称有效估计量。显然也是最有效的无偏估计量，简称有效估计量。1为一致最小方差无偏估计量。为一致最小方

18、差无偏估计量。.例例6.11 设总体设总体XU1, ， 1，未知，未知， (X1,X2,Xn)是总体是总体X的一个样本，的一个样本，(1)求求 的矩估计和极大似然估计；的矩估计和极大似然估计；(2)上述两个估计是否为无偏估计量，若不是，请修正为无上述两个估计是否为无偏估计量，若不是，请修正为无偏估计量；偏估计量；(3)问在问在(2)中的两个无偏估计量哪一个更有效？中的两个无偏估计量哪一个更有效？解解 X的密度函数的密度函数其其它它0111);(xxf(1)XXE21)( 的矩估计为的矩估计为121X设设(x1,x2,xn)为样本观察值，则似然函数为样本观察值，则似然函数其其它它01) 1(1)

19、(inxLi=1,2,n令令xn*=max(x1,x2,xn)，则则xn* nnnx) 1(1) 1(1*即即 的极大似然估计为的极大似然估计为nnXXXX,max21*2.(2) 12()(1XEE1)(2XE1212是是 的无偏估计。的无偏估计。1为求为求)(2E先求先求Xn*的密度函数的密度函数(P85)其其它它01) 1() 1()(1*zznzfnnXndzzzfXEEnXn)()()(*211) 1() 1(dznznznn1) 1(1nn显然，它不是显然，它不是 的无偏估计，修正如下：的无偏估计，修正如下：令令1) 1(122nn211nnn则则2是是 的无偏估计。的无偏估计。.

20、(3) 12()(1XDD)(4XDniiDXn1214nn3) 1(12) 1(142221221(1)()(1)nnn zEzdz11) 1(22) 1(12nnnnuz令22222)()()(EED221) 1(111) 1(22) 1(nnnnnn22) 1)(2() 1(nnn2221(1)()(2)nDnn n2211()nDDnn当当n1时，对任意时，对任意 1，)()(12DD因此因此2比比1更有效。更有效。.三、一致性（相合性）三、一致性（相合性） 在参数估计中，很容易想到，如果样本容量越大，在参数估计中，很容易想到，如果样本容量越大，样本所含的总体分布的信息越多。样本所含的

21、总体分布的信息越多。n越大，越能精确估越大，越能精确估计总体的未知参数。随着计总体的未知参数。随着n的无限增大，一个好的估计的无限增大，一个好的估计量与被估参数的真值之间任意接近的可能性会越来越量与被估参数的真值之间任意接近的可能性会越来越大，这就是所谓的相合性或一致性。大，这就是所谓的相合性或一致性。定义定义 设设 为未知参数为未知参数 的估计量，若对任意给定的正数的估计量，若对任意给定的正数0，都有都有0)(limPn即即依概率收敛于参数依概率收敛于参数 ，则称则称为参数为参数 的的一致估计一致估计或相合估计量。或相合估计量。.例例6.12 设设 是总体是总体X的样本均值，则作为总体期望的

22、样本均值，则作为总体期望E(X)的估计量时，的估计量时， 是是E(X)的一致估计量。的一致估计量。XX证明证明 由大数定律可知，当由大数定律可知，当n时时0)(1lim)(limXEXnPXEXPinnX是是E(X)的一致估计量。的一致估计量。.例例6.13 设设 为为 的无偏估计量，若的无偏估计量，若则则 为为 的一致估计量的一致估计量0)(limDn证明证明)(E由切贝雪夫不等式可知由切贝雪夫不等式可知02)()(DP0)(limDn0)(limPn为为 的一致估计量。的一致估计量。.6.3 区间估计区间估计 上一节中，我们讨论了参数的点估计，只要给定上一节中，我们讨论了参数的点估计，只要

23、给定样本观察值，就能算出参数的估计值。但用点估计的样本观察值，就能算出参数的估计值。但用点估计的方法得到的估计值不一定是参数的真值，即使与真值方法得到的估计值不一定是参数的真值，即使与真值相等也无法肯定这种相等（因为总体参数本身是未知相等也无法肯定这种相等（因为总体参数本身是未知的），也就是说，由的），也就是说，由点估计得到的参数估计值没有给点估计得到的参数估计值没有给出它与真值之间的可靠程度出它与真值之间的可靠程度，在实际应用中往往还需，在实际应用中往往还需要知道参数的估计值落在其真值附近的一个范围。为要知道参数的估计值落在其真值附近的一个范围。为此我们要求由样本此我们要求由样本构造一个以较

24、大的概率包含真实参构造一个以较大的概率包含真实参数的一个范围或区间数的一个范围或区间，这种带有概率的区间称为，这种带有概率的区间称为置信置信区间区间，通过构造一个置信区间对未知参数进行估计的，通过构造一个置信区间对未知参数进行估计的方法称为方法称为区间估计区间估计。 .定义定义 设总体设总体X的分布函数族为的分布函数族为F(x;), ，对于对于给定的给定的(01)，如果有两个统计量如果有两个统计量),(2111nXXX),(2122nXXX使得使得11122212(,)(,)1nnPXXXXXX 对一切对一切成立，则称随机区间成立，则称随机区间,21是是的置信度的置信度1双侧置信下限；双侧置信

25、下限； 双侧置信上限；双侧置信上限； 21- -置信度。置信度。由定义可知，置信区间是以统计量为端点的随机区间，对于给定由定义可知，置信区间是以统计量为端点的随机区间，对于给定的样本观察值的样本观察值(x1,x2,xn)，由统计量，由统计量12构成的置信区间构成的置信区间,21可能包含真值可能包含真值，也可能不包含真值，也可能不包含真值，但在多次观察或试验中，但在多次观察或试验中，每一个样本皆得到一个置信区间，在这些区间中包含真值每一个样本皆得到一个置信区间，在这些区间中包含真值的区的区间占间占100(1-)%，不包含不包含的仅占的仅占100%。为为1- -的的双侧置信区间双侧置信区间。.求置

26、信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤(1)选取未知参数选取未知参数 的某个最优估计量的某个最优估计量 ；(2)围绕围绕 构造一个依赖于样本与参数的函数构造一个依赖于样本与参数的函数 U=U(X1,Xn, )；(已知已知U服从的分布服从的分布)(3)对给定的置信水平对给定的置信水平1-，确定，确定1与与2 ，使，使 P1 U 2=1- 通常可选取满足通常可选取满足PU 1=PU 2 =/2的的1与与2 。(4)对不等式做恒等变形后化为对不等式做恒等变形后化为则则121P ,21是是的置信度的置信度为为1- -的的双侧置信区间双侧置信区间。.求正态总体参数置信区间的解题步骤：求正态总体参数置信区间

27、的解题步骤：(1)根据实际问题构造样本的函数，根据实际问题构造样本的函数，要求仅含待估要求仅含待估参数且分布已知参数且分布已知；即枢轴变量；即枢轴变量(2)令该令该函数落在由分位点确定函数落在由分位点确定的区间里的概率为的区间里的概率为给定的置信度给定的置信度1，要求要求区间按几何对称或概率对区间按几何对称或概率对称称；(3)解不等式得随机变量的置信解不等式得随机变量的置信区间；区间；(4)由观测值及由观测值及 值查表计算得所求值查表计算得所求置信置信区间。区间。.例例6.14 设设(X1,X2,Xn)是取自总体是取自总体XN(,2)的一个样本，其中的一个样本，其中2已知，已知，未知。试求出未

28、知。试求出的置信度为的置信度为1- -的置信区间。的置信区间。解解 由于样本均值由于样本均值是总体均值是总体均值的无偏估计，且的无偏估计，且X),(2nNX故故) 1 , 0( NnXZ由标准正态分布上侧由标准正态分布上侧p分位点的定义可知分位点的定义可知2221PZUPUZU 221XPUUn 221P XUXUnn 即即落在区间落在区间22,XUXUnn内的概率为内的概率为1- -。此区间称为此区间称为的置信度为的置信度为1- -的置信区间。的置信区间。 -u/2 O u/2 x(x)/2/21- -.从此例我们发现随机变量从此例我们发现随机变量Z在区间的构造中起着关键的在区间的构造中起着

29、关键的作用，它具有下述特点：作用，它具有下述特点：(1) Z是待估参数是待估参数和统计量和统计量(2)不含其它未知参数；不含其它未知参数；(3)服从与未知参数无关的已知分布。服从与未知参数无关的已知分布。的函数；的函数；X枢轴变量枢轴变量.例例6.15 设一批产品的一级品率为设一批产品的一级品率为p，如今从中随机抽出如今从中随机抽出100个样个样品，其中一级品为品，其中一级品为60个，要求个，要求p的的0.95的置信区间。的置信区间。解解 设总体为设总体为X产品不是一级品产品不是一级品产品是一级品产品是一级品01X则则X服从服从0-1分布，即分布，即XB(1,p)，其中其中0p1未知；未知；(

30、 162)LpX P1( , )niinXXB n pnpXEnXnE)()(niiXnDnXnD121)(niiDXnn1221)1 (pnpnpq由中心极限定理可知由中心极限定理可知)1 (pnpnpXn近似地服从正态分布近似地服从正态分布N(0,1)22()1(1)n XpPUUpp 2(1)nXnpUpp222()(1)n XpU pp解得解得p的双侧置信区间上下限为的双侧置信区间上下限为)4(212acbba设设(X1,X2,Xn)是取自这个总体的样本，其中是取自这个总体的样本，其中“Xi=1”表示抽得表示抽得的第的第i个样品是一级品。个样品是一级品。22anU22(2)bnXU 2

31、Xnc 其中其中.一、正态总体一、正态总体N(,2)的均值的均值的置信区间的置信区间1、方差、方差2已知已知由例由例6.14可知可知) 1 , 0( NnXZ则置信度为则置信度为1- -的的的置信区间为的置信区间为22,XUXUnn.2、方差、方差2未知未知由于由于方差方差2未知，不能使用未知，不能使用nXZ作为枢轴变量作为枢轴变量用用2的无偏估计量的无偏估计量niiXXnS122)(11代替代替2) 1(ntnSXZ22(1)(1)1PtnZtn 22(1)(1)1XPtntnSn 则则的置信度为的置信度为1- -的置信区间为的置信区间为22(1),(1)SSXtnXtnnn.求正态总体参数

32、置信区间的解题步骤：求正态总体参数置信区间的解题步骤：(1)根据实际问题构造样本的函数，根据实际问题构造样本的函数，要求仅含待估要求仅含待估参数且分布已知参数且分布已知；(2)令该令该函数落在由分位点确定函数落在由分位点确定的区间里的概率为的区间里的概率为给定的置信度给定的置信度1，要求要求区间按几何对称或概率对区间按几何对称或概率对称称；(3)解不等式得随机变量的置信解不等式得随机变量的置信区间；区间；(4)由观测值及由观测值及 值查表计算得所求值查表计算得所求置信置信区间。区间。.例例6.16 已知某批灯泡的寿命已知某批灯泡的寿命X(单位单位:小时小时)N(,2)，现从这批灯现从这批灯泡中

33、抽取泡中抽取10个，测得寿命分别为个，测得寿命分别为1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200若若=0.05，求求的置信区间的置信区间(1)2=8，(2)未知。未知。解解(1)由于由于2=8，由样本观察值计算得，由样本观察值计算得1147Xn=10，=0.05查查标准正态分布表标准正态分布表得得2XUn102296. 1114775. 11147的置信度为的置信度为0.95的置信区间为的置信区间为1145.25，1148.75。 (2)由于由于2未知，由样本观察值计算得未知，由样本观察值计算得1147XS=87.0568, n=10, =

34、0.05，查查t分布表得分布表得0.0252(1)(9)tnt287.0568(1)11472.2622114762.2810SXtnn的置信度为的置信度为0.95的置信区间为的置信区间为1084.72，1209.28。 20.0251.96UU2.2622.1、均值、均值已知已知此时此时2的极大似然估计为的极大似然估计为niiXn122)(1且且)()(2212nXZnii由由2分布分位点的概念可知分布分位点的概念可知22122( )( )1PnZn 22212122()( )( )1niiXPnn 二、正态总体二、正态总体N(,2)的方差的方差2的置信区间的置信区间2221122122()

35、()1( )( )nniiiiXXPnn 则则2的置信度为的置信度为1- -的置信区间为的置信区间为221122122()(),( )( )nniiiiXXnn.(2)均值均值未知未知) 1() 1()(222212nSnXXZnii此时取此时取可得可得2的置信度为的置信度为1- -的置信区间为的置信区间为2222122(1)(1),(1)(1)nSnSnn.例例6.17 为测定某家具中的甲醛含量，取得为测定某家具中的甲醛含量，取得4个独立的测量值的个独立的测量值的样本，并算得样本均值为样本，并算得样本均值为8.34%，样本标准差为，样本标准差为0.03%，设被测，设被测总体近似服从正态分布，

36、总体近似服从正态分布，=0.05，求，求,2的置信区间。的置信区间。 解解 由题意：由题意：2未知，未知，n=4，S=0.03%，%34. 8X查查t分布表得分布表得0.0252(1)(3)3.1824tnt2(1)8.34%0.0477%SXtnn的置信度为的置信度为0.95的置信区间为的置信区间为8.2923%，8.3877%。对于对于2 ，由于，由于未知，未知，查查2分布表分布表2220.025(1)(3)9.348n12220.975(1)(3)0.216n22422(1)3 (0.03%)0.00029 10(1)9.348nSn224212(1)3 (0.03%)0.0125 10

37、(1)0.216nSn则则2的置信度为的置信度为0.95的置信区间为的置信区间为0.0002910-4，0.012510-4.三、双正态总体三、双正态总体均值差均值差的置信区间的置信区间设样本设样本X1,X2,Xn1来自正态总体来自正态总体XN(1,12) 样本样本Y1,Y2,Yn2来自正态总体来自正态总体YN(2,22)，且相互独立且相互独立XYS12为为X的样本均值和样本方差的样本均值和样本方差S22为为Y的样本均值和样本方差的样本均值和样本方差1、12，22已知，已知，1- -2的区间估计的区间估计),(1211nNX),(2222nNYXY相互独立相互独立),(22212121nnNYXYX 是是1- -2的极大似然估计的极大似然估计) 1 , 0()()(22212121NnnYXZ取取可知可知1- -2的置信度为的置信度为1- -的的置信区间为置信区间为22221122112222,XYUnnXYUnn.2、若、若12，22未知，但已知未知，但已知12=22 ，1- -2的区间估计的区间估计此时，取此时，取2) 1() 1(21222211nnSnSnSW)2(11)(212121nntnnSYXZW可知可知1- -2的置信度为的置信度为1- -的置信区间为的置信区间为1212121222